高二數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先對化簡求出其實(shí)部和虛部，然后由其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，列不等式組可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)椋栽趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以，解得.故選：D.2.對某批電子元件的使用壽命進(jìn)行測試，從該批次的電子元件中隨機(jī)抽取200個進(jìn)行使用壽命試驗(yàn)，測得的使用壽命（單位：小時）結(jié)果如下表所示：使用壽命（小時）100120150165185200210230個數(shù)832453523261912估計(jì)這批電子元件使用壽命的第60百分位數(shù)為（）A.165B.170C.175D.185【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)闉檎麛?shù)，所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是將這組數(shù)據(jù)從小到大排列后第120個數(shù)據(jù)和第121個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由表知，第120個數(shù)據(jù)為165，第121個數(shù)據(jù)為185，所以第60百分位數(shù)為.故選：C.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)式，由定義求出準(zhǔn)線.【詳解】由得，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：D4.如圖，在矩形中，過邊上的點(diǎn)分別作的垂線，分別交于，過邊上點(diǎn)作的垂線，分別交于，，則集合中的元素個數(shù)為（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】在上的投影向量僅有4種情況，分別是，由數(shù)量積的幾何意義知也僅有4個不同的值，所以該集合中有4個元素.故選：B.5.已知，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】先由求出，然后利用充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】若，則，或，所以，或.當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性，故；當(dāng)時，，故由，可得；反之，當(dāng)時，顯然也成立.故“”是“”的充要條件.故選：C.6.在中，角的對邊分別為.若，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】已知條件利用正弦定理化簡得，余弦定理把角化邊，結(jié)合基本不等式求最小值.【詳解】由，有，由正弦定理，得，則，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為.故選：A.7.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時，令，求導(dǎo)后結(jié)合已知可得在上單調(diào)遞減，再由可得到時，，當(dāng)時，，再利用為奇函數(shù)，可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕谑钱?dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.又為上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，所以的解集為.故選：A.8.已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則取得最小值時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由，得點(diǎn)軌跡方程，，故當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在之間時，取得最小值，點(diǎn)軌跡方程與直線聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】設(shè)，由，得，化簡得，由，得，所以，故當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在之間時，取得最小值，此時線段的方程為，由并結(jié)合，解得故此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.圍棋是我國發(fā)明的古老的也是最復(fù)雜的智力競技活動之一.現(xiàn)代圍棋棋盤共有19行19列，361個格點(diǎn)，每個格點(diǎn)上可能出現(xiàn)黑子?白子?空三種情況，因此整個棋盤上有種不同的情況，下面對于數(shù)字的判斷正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.的個位數(shù)是3B.的個位數(shù)是1C.是173位數(shù)D.是172位數(shù)【答案】AC【解析】【分析】對于AB，因?yàn)榈膫€位數(shù)以4為周期循環(huán)往復(fù)，則的個位數(shù)與的個位數(shù)相同，即可判斷AB；對于CD，通過對數(shù)運(yùn)算，得即可判斷CD.【詳解】對于AB,由，個位數(shù)分別為以4為周期循環(huán)往復(fù)，因?yàn)榈挠鄶?shù)為1，故的個位數(shù)與的個位數(shù)相同，即的個位數(shù)為3，故A正確，B錯誤；對于CD，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋詾?73位數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)在內(nèi)無極值點(diǎn)，且，則（）A.B.的最小正周期為C.若不等式在區(qū)間上有解，則D.將的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關(guān)于軸對稱【答案】ACD【解析】【分析】先對函數(shù)化簡變形得，然后由可得，再由在內(nèi)無極值點(diǎn)，得，則得，從而可求出，求出的解析式，再逐個分析判斷即可.【詳解】，由，得，所以的最小正周期，又在內(nèi)無極值點(diǎn)，所以，所以，所以，經(jīng)驗(yàn)證符合條件，所以，對于A，，所以A正確，對于B，的最小正周期為，所以B錯誤；對于C，若，則，由在上有解，得在上有解，所以，解得，故C正確；對于D，將的圖象向左平移個單位長度，得的圖象，令，則，所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長為4的正方體中，為棱的中點(diǎn)，，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為，則（）A.不存在，使得平面B.當(dāng)平面平面時，C.線段長的最小值為D.當(dāng)時，【答案】BCD【解析】【分析】利用舉反例可判斷A，利用面面平行的性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算可判斷BC選項(xiàng)，通過畫正方體的截面判斷D選項(xiàng)的正確性，從而確定正確答案.【詳解】當(dāng)時，與重合，與重合，易證平面，即存在，使得平面，故A錯誤；若平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫裕O(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以，延長到，使得，同理可得，又，所以，又為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，故B正確；由題意知，且，故（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故C正確；當(dāng)時，易得為正六邊形（如圖六邊形），其邊長為，故的面積為.，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】-448【解析】【分析】根據(jù)展開式，將配為即可根據(jù)二項(xiàng)式定理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意知為的展開式中項(xiàng)的系數(shù)，即展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)，其為.故答案為：-448.13.在三棱錐中，，若該三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為__________.【答案】##【解析】【分析】由三棱錐三條側(cè)棱相等可知三棱錐的外接球球心在正三棱錐的高上且點(diǎn)在底面的射影即為的外心,可先由正弦定理求得外接圓半徑，再由勾股定理求得外接球半徑,即可求得球的表面積.【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)在平面上的射影為的外心，如下圖，又，所以的外接圓的半徑，從而三棱錐的高為.設(shè)該三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，故球的表面積為.故答案為：.14.已知分別為橢圓的上?下焦點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，若垂直平分線段，則的周長為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線l過，求出c和a的值；連接，根據(jù)垂直平分線段得，從而可得的周長為．【詳解】由題意知A為的左頂點(diǎn)，設(shè)的半焦距為，則，所以線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為，所以的斜率為，所以直線的方程為，又過，所以，解得，所以.連接，因?yàn)榇怪逼椒志€段，所以，所以的周長為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.學(xué)生的安全是關(guān)乎千家萬戶的大事，對學(xué)生進(jìn)行安全教育是學(xué)校教育的一個重要方面.臨近暑假，某市教體局針對當(dāng)前的實(shí)際情況，組織各學(xué)校進(jìn)行安全教育，并進(jìn)行了安全知識和意識的測試，滿分100分，成績不低于60分為合格，否則為不合格.為了解安全教育的成效，隨機(jī)抽查了轄區(qū)內(nèi)某校180名學(xué)生的測試成績，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果制作成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若抽查的學(xué)生中，分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為測試成績與性別有關(guān)聯(lián)？不合格合格合計(jì)男生女生合計(jì)（2）若對抽查學(xué)生的測試成績進(jìn)行量化轉(zhuǎn)換，“合格”記5分，“不合格”記0分.按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從“合格”與“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)選取10人進(jìn)行座談，再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.10.050.0052.70638417.879【答案】（1）列聯(lián)表見解析，測試成績與性別無關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，12【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出每一組的人數(shù)，然后填寫列聯(lián)表，再利用公式求出，與臨界值表比較可得答案；（2）利用分層隨機(jī)抽樣的定義計(jì)算出從“合格”與“不合格”的學(xué)生中抽取的人數(shù)，則可得的取值為，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，得分在的人數(shù)分別為，，由題意知“不合格”的人數(shù)為72，“合格”的人數(shù)為108，故列聯(lián)表為：不合格合格合計(jì)男生424890女生306090合計(jì)72108180零假設(shè)：測試成績與性別無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即測試成績與性別無關(guān)聯(lián).【小問2詳解】在“合格”中抽的人數(shù)為，“不合格”中抽的人數(shù)為，故的取值為，則，，故所求分布列為05101520所以.16已知函數(shù).（1）若，當(dāng)時，證明：；（2）若，討論的單調(diào)性.【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)性，進(jìn)而可得到，即可證明結(jié)果；（2）對求導(dǎo)得到，令，得到或，再對進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，即證當(dāng)時，，令，則，令，則在區(qū)間上恒成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以在區(qū)間上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以在上單調(diào)遞減，所以對，所以，即.【小問2詳解】，令，得或，①當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，令，得，或，令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，，令，得，或，令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.17.如圖，在中，分別為邊的中點(diǎn)，將沿折起到處，為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明平面，即可求解；（2）以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個平面的法向量，即可解出.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，則，且，由題意知，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，由題意知，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫妫云矫妫制矫妫云矫嫫矫?【小問2詳解】解：設(shè)，則，所以，所以，因?yàn)樵谥校裕裕詢蓛纱怪保室詾樵c(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，解得，所以設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，解得，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知雙曲線左?右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，一條漸近線的傾斜角為的離心率為在上.（1）求的方程；（2）過的直線交于兩點(diǎn)（在軸上方），直線分別交軸于點(diǎn)，判斷（為坐標(biāo)原點(diǎn)）是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.【答案】（1）（2）是，【解析】【分析】（1）由漸近線的傾斜角為，可得，從而可求出離心率，則可得，代入雙曲線方程，再結(jié)合可求得，從而可求出雙曲線的方程；（2）設(shè)的方程為，代入雙曲線方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線的方程和直線的方程，從而可表示出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后化簡計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)榈囊粭l漸近線的傾斜角為，所以其斜率為，所以，所以，又，即在上，所以，所以，故的方程為.【小問2詳解】由（1）得，設(shè)，由題意知的斜率不為0，設(shè)的方程為，代入的方程并整理，得，則，所以，且.直線的方程為，令，得，故，直線的方程為，令，得，故，所以所以為定值，且定值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線方程的求法，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線中的定值問題，（2）問解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入雙曲線方程化簡后，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想和