第二章函數概念與基本初等函數I

第1講函數的概念及其表示法

考試要求1.函數的概念，求簡單函數的定義域和值域，B級要求；2.選擇恰當

的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數，B級要求；3.簡單的分段函數及

應用，A級要求.

基礎診斷梳理自測，理解記憶

知識梳理

1.函數與映射的概念

函數映射

兩個集合設/,5是兩個設/,n是兩個

A,B非空數集非空集合

如果按照某種確定的對應關如果按某一個確定的對應關

對應關系系力使對于集合力中的任意系力使對于集合力中的任意

f：AB一個數x,在集合B中都有唯一個元素X,在集合5中都有

二a定的數段)和它對應唯一確定的元素第與之對應

稱江上三為從集合/到集稱。4fB為從集合4到集

名稱

合B的一個函數合B的一個映射

記法函數y=/(x),X^A映射：f：A^B

2.函數的定義域、值域

(1)在函數y=/(x),中，x叫做自變量，x的取值范圍2叫做函數的定義域;

與尤的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域.

(2)如果兩個函數的定義域相同,并且對應關系完全一致,則這兩個函數為相等

函數.

3.函數的表示法

表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數

(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子

來表示，這種函數稱為分段函數.

(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的丑集，其值域等于各段函數的值

域的并集,分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數.

診斷自測

1.判斷正誤(在括號內打“?”或“X”)

(1)函數y=l與y=x°是同一個函數.()

(2)與x軸垂直的直線和一個函數的圖象至多有一個交點.()

(3)函數+l—1的值域是()

(4)若兩個函數的定義域與值域相同，則這兩個函數相等.()

解析(1)函數y=l的定義域為R,而y=x°的定義域為*|xWO),其定義域不同，

故不是同一函數.

(3)由于x2+l^1,故—120,故函數—1的值域是{y[y>0}.

(4)若兩個函數的定義域、對應法則均對應相同時，才是相等函數.

答案(1)X(2)V(3)X(4)X

2.(必修1P26練習4改編)下列給出的四個對應中：

①N=_B=N*,對任意的xG/,ftx-|x-2|；

②z4=R,B={y\y>0},對任意的x?/,f：》一志

③N=5=R,對任意的xG/,ftx-3x+2；

?A={(x,y)|x,yGR},B=R,對任意的(x,y)^A,f-.(x,y)->x+y.

其中對應為函數的有(填序號).

解析①中，當x=2時，\2-2\=0tB,此對應不是函數；②中，x=0時，△無

意義，此對應不是函數；③對應是函數；④中，/不是數集，故此對應不是函數.

答案③

3.(2017?蘇、錫、常、鎮四市二調)函數/)=1"匚J)的定義域為.

ln(2x—X?)2x—x?〉。，

解析要使函數段)=,,有意義,則解得04<2,且xWl,

工-1lx—17^0,

故函數作)的定義域為(0J)U(l,2).

答案(0,1)U(1,2)

’1,x>0,

1,X為有理數,

4.（必修1P52習題6改編）設於尸0,x=0,g(x)='

0,x為無理數,

A,x<0,

德（兀））的值為?

解析gm）=o,xg（K））=xo）=o.

答案0

5.（2015?全國II卷）已知函數段）=/—2x的圖象過點（一1,4）,則4=.

解析由題意知點（一1,4）在函數"》）=雙3—2r的圖象上，所以4=—。+2,則a

=-2.

答案一2

I考點突破分類講練，以例求法

考點一求函數的定義域

r±

[例1]（1）（2017?南通調研）函數上）=ln-十力的定義域為.

（2）若函數y=?x）的定義域是[1,2017],則函數g（x）的定義域是

X

-7>0>x

解析⑴要使函數本）有意義，應滿足X—1解得X>1,故函數危尸后占

IJC1

、工20,

+工？的定義域為（1,+°°）.

（2）..）二段）的定義域為[1,2017],

1WX+1W2017,

，g（x）有意義，應滿足，

—1W0.

，0WxW2016,且xWl.

因此g（x）的定義域為{x|0WxW2016,且xWl}.

答案（1）（1,+oo）（2）{X|0WXW2016,且xWl}

規律方法求函數定義域的類型及求法

（1）已知函數的解析式，則構造使解析式有意義的不等式（組）求解.

(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構成的不等式(組)求解.

(3)若已知兀r)的定義域為[a,b],則/(g(x))的定義域可由aWg(x)Wb求出；若已

知衣(x))的定義域為[a,b],則危)的定義域為g(x)在xG[a,6]時的值域?

【訓練11(1)(2015?湖北卷改編)函數危)=狙4—國+lg*."6的定義域為

(2)若函數外)=、2/+2"”一1的定義域為R,則a的取值范圍為

'4—|x|^0,

解析⑴要使函數本)有意義，應滿足＜f—5x+6〉0

、x—3''

|x|W4,

則2<xW4,且xW3.

x—2>0且xW3,

所以人x)的定義域為(2,3)U(3,4].

(2)因為函數本)的定義域為R,所以爐2+2冰1巳0對xdR恒成立，則￥+2公

一口巳0恒成立.因此有/=(2a)2+4aW0,解得一iWaWO.

答案(1)(2,3)U(3,4](2)[-1,0]

考點二求函數的解析式

【例2】(1)已知《+l)=lgx,貝I危)=；

⑵已知於)是二次函數且共0)=2,-+l)-/(x)=x—1,則危尸；

(3)已知函數作)的定義域為(0,+8),且於)=4電.而—1,則外)=.

22

解析(1)令，=7+1(61),則x==,

%I1

22

即於)=坨^7@>[),

(2)設作)=辦2+6%+。(。#0),

由八0)=2,得。=2,

/(x+1)-fix)—a(x+1)2+b(x~\-1)+2—ax2—bx—2=x—1,

則2ax+a+6=x—1,

1

2a=1,

即i

a~\~b——1,z)=-|.

.123

.*./(x)=2^—/+2.

(3)在外)=皆停)點一1中,

將x換成;，則;換成x,

答案(l)lg^j<x>l)(2)^X2—|x+2(3)|\/x+1

規律方法求函數解析式的常用方法

(1)待定系數法：若已知函數的類型，可用待定系數法.

(2)換元法：已知復合函數/但(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值

范圍.

(3)構造法：已知關于｛x)與我或人一x)的表達式，可根據已知條件再構造出另

外一個等式，通過解方程組求出外).

(4)配湊法：由已知條件衣(x))=斤(x),可將斤(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后

以X替代g(x),便得“X)的表達式.

【訓練2】⑴已知質6+1)=工+2而，則危尸.

(2)定義在R上的函數外)滿足五x+l)=〃(x).若當OWxWl時，危)=x(l—x),

則當一lWxWO時，?x)=.

⑶定義在(-1,1)內的函數於)滿足賀x)—X—x)=lg(x+l),則左尸.

解析(1)令也+1=7,則X=?—1)2(后1),代入原式得

xo=a-i)2+2a-i)=?-i,

所以外)=f—

(2)當一lWxWO時，OWx+lWl,

(3)當xG(-I」)時，

有2/(x)—X—x)=lg(x+1).①

將龍換成一X,則一X換成X,

得紈一x)—y(x)=ig(—x+i).②

由①②消去人一X)得，

21

/(x)=§lg(x+l)+§lg(l—x),xG(—1,1).

答案(l)x2—1(x21)(2)—：x(x+l)

21

(3)§lg(x+l)+§lg(l—x)(—1<X<1)

考點三分段函數(多維探究)

命題角度一求分段函數的函數值

1+log2(2—X),X<1,

【例3—1](2015?全國II卷改編)設函數穴x)=L1則八一2)

、29x1,

+Xlog212)=.

解析根據分段函數的意義，人-2)=1+1082(2+2)=1+2=3.又1。8212>1

.,?Xlog2l2)=2(iog212T)=2嗎6=6,

因此五―2)+｛log212)=3+6=9.

答案9

命題角度二求參數的值或取值范圍

3x—b,x<l,

【例3—2】(1)(2015?山東卷改編)設函數段)=｛》x>l若就打|=4,則

b=.

-1

rl,x<l,

(2)(2014?全國I卷)設函數｛x)=j則使得於)W2成立的x的取值范

,xNl,

圍是.

解析（1湍）=3x（—b=|—6,

53

若即6>5時，

貝,」優）]HIi）=3住i）T=4,

7

解之得6=&,不合題意舍去.

O

541

若6N1,即則22=4,解得6=7

（2）當x<l時,e'1W2,解得xWl+ln2,

所以x<l.

?

當x2l時，/§W2,解得xW8,所以1WXW8.

綜上可知x的取值范圍是（-8,8].

答案（1）；（2）（—8,8]

規律方法（1）根據分段函數解析式求函數值.首先確定自變量的值屬于哪個區

間，其次選定相應的解析式代入求解.

（2）已知函數值或函數的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據每一段的解析

式分別求解，但栗注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取

值范圍.

提醒當分段函數的自變量范圍不確定時，應分類討論.

—2,xWll,

【訓練3】（1）（2015?全國I卷改編）已知函數穴x）={,:['且尬）

「10g2（X十1）,X>1,

=-3,貝1」八6一。）=.

Q+1,xWO,

（2）（2017南京、鹽城模擬）已知函數外）=j2則不等式外）2—1

[—（X—1）2,X>0,

的解集是.

解析（1）當aWl時，穴4）=251—2=—3,

即2°T=—1,不成立，舍去；

當d>l時，角力=-log2（a+l）=-3,

即log2（a+1）=3,解得q=7,

7

此時共6_4）寸_1）=2-2_2=一］

（2）當xWO時，由題意得］+1》一1,

解之得一4WxW0.

當X>0時，由題意得一（X—1）2'—1,

解之得0<xW2,

綜上段）2—1的解集為{x|一4WxW2}.

7

答案（1）—W（2）{x|-4WxW2}

課堂盤結

［思想方法］

1.在判斷兩個函數是否為同一函數時，要緊扣兩點：一是定義域是否相同；二

是對應關系是否相同.

2.函數的定義域是函數的靈魂，它決定了函數的值域，并且它是研究函數性質

和圖象的基礎.因此，我們一定要樹立函數定義域優先意識.

3.函數解析式的幾種常用求法：待定系數法、換元法、配湊法、構造解方程組

法.

4.分段函數問題要用分類討論思想分段求解.

［易錯防范］

1.復合函數德（X）］的定義域也是解析式中X的范圍，不要和人X）的定義域相混.

2.易混“函數”與“映射”的概念：函數是特殊的映射，映射不一定是函數，

從力到5的一個映射，A,5若不是數集，則這個映射便不是函數.

3.分段函數無論分成幾段，都是一個函數，求分段函數的函數值，如果自變量

的范圍不確定，要分類討論.

課時作業分層訓練，提升能力

基礎鞏固題組

（建議用時：25分鐘）

1.（2017?揚州中學質檢）函數段）=log2（/+2x—3）的定義域是.

解析使函數上）有意義需滿足—3>0,解得x>l或x<—3,所以?x）的定

義域為（一8,—3）U（1,+°°）.

答案（一8,-3）U（1,+℃）

2.（2017?衡水中學月考）設力g都是由/到2的映射，其對應法則如下：

則地（1）］的值為.

解析由映射g的對應法則，可知g（l）=4,

由映射f的對應法則,知｛4）=1,故慮（1）］=1.

答案1

3.（2016?江蘇卷）函數y=，3—2x—f的定義域是

解析要使函數有意義，則3—2x—

.*.X2+2X—3WO,解之得一3WxWl.

答案［-3,1］

lx,x<0,

4.已知函數外）='71

一tanx,

解析???瑪卜一tan^T

???^j］=X-l）=2X（-l）3=-2.

答案一2

5.已知人x）是一次函數，且力/（x）］=x+2,則危尸.

解析設於）=丘+6（左W0）,又/［/（x）］=x+2,

得左（丘+6）+6=x+2,即9x+筋+6=x+2.

.二9=1,且劫+6=2,解得左=6=1.

答案x+1

6.（2017?鹽城中學一模次x）=⑴a<°）'則/圈=.

,log3x（x>0）,

解析娘=log3/=—2，

.?槌卜汽-2）O=9.

答案9

7.（2016?全國II卷改編）在函數?y=x；?y=lgx；③y=2"；④中，其定

義域和值域分別與函數y=10L的定義域和值域相同的有（填序號）.

解析函數^=10毆的定義域、值域均為（0,+8）,而^=羽）；=2工的定義域均

為R；y=lgx的值域為R,的定義域和值域為（0,+°°）.

■\］x

答案④

8.某學校要召開學生代表大會，規定各班每10人推選一名代表，當各班人數除

以10的余數大于6時再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數y與該班人

數x之間的函數關系用取整函數y=［對（團表示不大于x的最大整數）可以表示為

（填序號）.

八「、1—「x+3］-「x+4~|三「x+5

①尸國］;②尸O③尸［丁］;④尸［可?

解析設x=10加+”（0WaW9,m,a￡N）,

..———「x+3'|「?a+3'|「x

當0WaW6時，~J。=加+~YQ—=m=,

->,「x+3~|「,a+3~|,「x~L

當6<aW9時，=加+J。=m+l=正+1.

答案②

9.（2016?江蘇卷）設人x）是定義在R上且周期為2的函數，在區間［—1,1）上，加）

x~\~a,—lWx〈0,

2其中a￡R.

x,OWx〈l,

一尹戶記，則a=q,

32

故人5口）=/（3）=/（_1）=_1+5=—1

答案V2

10.（2017?南師大附中一模）設P（xo，加是函數加0圖象上任意一點，且居》器

則作）的解析式可以是（填序號）.

14

①/a）=x—；；（sy（x）=ex-i；dy（x）=x+-；

（4）/（x）=tanx.

解析對于①，當X=l,/（l）=o,此時。2三仔不成立.對于②，取x=—1,

X—1）=|—h此時g—1，》（一1）2不成立.在④中，君7t）=tan（兀=1,此時

仔》?兀）不成立.

①②④均不正確.事實上，在③中，對Vx°GR，

近=（配+寺2有/一舄=裳+8>0,有器成立.

答案③

11.已知函數加）滿足Cj=logzM^i，則段）的解析式是-

解析根據題意知X>0,所以《J=log2X,則上）=log2]=—log2X.

答案人x）=—log2X

2%,xWO,1

12.設函數｛x）=L,八則使人x）=5的x的集合為________.

JlogzR,x>0,

解析由題意知，若xWO,則2—,解得X=—1；若40,則|log2x|《，解得

1

1

.

，亭]

為啦

集合

或故X的

2

-

--

X

2

2

'/'

]一1

答案

升題組

能力提

分鐘）

：10

用時

（建議

域為

的定義

二7

）+加

（l+§

）=ln

函數危

13.

1

r

>0,

1或%

&<一

0,

1+->

X

<

§

義，則

）有意

數｛x

要使函

解析

\Xx)

WL.

?0<x

,

xWO

x#0,

xW1

、一1W

一

,1].

域為（0

的定義

（0,1]

答案

>0,

1,x

列四

給出下

0,

0,x=

<

gnx=

函數s

符號

,定義

￡R

）設x

卷改編

?湖北

（2015

14.

x<0.

、-1,

論：

個結

x.

xsgn

（4）|x|=

nx；

|x|sg

\x\=

n|x|；?

\=xsg

|；?\x

|sgnx

①因=x

號）.

（填序

論是

的結

正確

其中

x；

sgn

則慟=x

=l,

gnx