高級中學名校試題PAGEPAGE1云南省2025屆高三下學期3月大聯(lián)考數(shù)學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，而，所以.故選：B2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.3.設且，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由且，得，所以“”是“”的充要條件.故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.5.已知正三角形的邊長為2，點滿足，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】因為，所以，，故選：C6.在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)的頻率分別為，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A.2 B.2.4 C.3 D.4【答案】B【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).方差.故選：B.7.函數(shù)在上的零點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】令函數(shù)，根據(jù)“勾函數(shù)”的性質可知：函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且，.所以當時，，由，.只有當時，的值分別對應.又因為在上各有2個解，所以在上有6個零點.故選：C8.象牙鏤雕套球又稱“同心球”，制作相當繁復，工藝要求極高.據(jù)《格古要論》記載，早在宋代就已出現(xiàn)3層套球，時稱“鬼工球”.某象牙鏤雕套球的直徑為，其表面的圓形孔的直徑均為，記其中兩個圓形孔的圓心為，如圖所示，若，則圓與圓所在平面的夾角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記該象牙鏤雕套球的球心為，圓與圓所在平面的夾角即為（或其補角），.所以，所以，故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)下列命題正確的是（）A.若是奇函數(shù)，則B.若是奇函數(shù)，則C.若是減函數(shù)，則的取值范圍為D.若是減函數(shù)，則的取值范圍為【答案】AC【解析】當時，.若是奇函數(shù)，則，解得，當時，時，，也滿足奇函數(shù)，故A正確.若是減函數(shù)，則，解得，C正確.故選：AC10.已知拋物線的頂點為，焦點為，準線為是拋物線上異于的一點，過點作于點，下列結論正確的是（）A.線段的垂直平分線經(jīng)過點B.過點且與拋物線相切的直線垂直平分線段C.直線與直線可能垂直D.若是直角三角形，則直線的斜率為【答案】ABD【解析】因為線段的垂直平分線上的點到點的距離相等，且點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點，A正確.不妨設點在第一象限，設，線段的中點坐標為.結合A選項的結論可得，線段的垂直平分線的斜率為.由，可得，所以過點的切線的斜率為，所以過點的切線與線段的垂直平分線重合，即過點且與拋物線相切的直線垂直平分線段，B正確.，若直線與直線垂直，則，解得或，都不符合題意，所以直線與直線不可能垂直，C錯誤.若是直角三角形，結合C選項的結論，只能是，所以，直線的斜率為，D正確.故選；ABD.11.某校籃球社團準備招收新成員，要求通過考核才能加入，考核規(guī)則如下：報名參加該社團的學生投籃次，若投中次數(shù)不低于投籃次數(shù)的，則通過考核.學生甲準備參加該社團，且他的投籃命中率為0.9，每次是否投中相互獨立.若，記甲通過考核的概率為，若，記甲通過考核的概率為，若，記甲通過考核的概率為，若，記甲通過考核的概率為，若，記甲通過考核的概率為，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】記甲的投中次數(shù)為，則.對于A選項，當時，甲通過考核最少要投中2次，0.972，A正確.對于B選項，當時，將甲的投中次數(shù)分為以下3種情況，分別為..當時，甲通過考核最少要投中11次.若前20次里投中次數(shù)不少于11，則第21次不管投中與否都通過考核；若前20次投中10次，則第21次投中才能通過考核；若前20次里投中次數(shù)不超過9，則第21次不管投中與否都不能通過考核.，顯然，B錯誤.對于C選項，當時，將甲的投中次數(shù)分為以下3種情況，分別為..當時，若前19次里投中次數(shù)不少于10，則第20次不管投中與否都通過考核；若前19次投中9次，則第20次投中才能通過考核；若前19次里投中次數(shù)不超過8，則第20次不管投中與否都不能通過考核.，顯然，C錯誤.對于D選項，當時，將甲的投中次數(shù)分為以下4種情況，分別為..當時，甲通過考核最少要投中11次.若前20次里投中次數(shù)不少于11，則第21，22次不管投中與否都通過考核；若前20次投中10次，則第次至少要投中1次才能通過考核；若前20次投中9次，則第21，22次都投中才能通過考核；若前20次里投中次數(shù)不超過8，則第21，22次不管投中與否都不能通過考核.，.，所以，D正確.故選：AD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等差數(shù)列中，，則__________.【答案】【解析】因為，.故答案為：13.已知均為實數(shù)，若的解集是且，則函數(shù)的極大值為__________.【答案】【解析】因為原不等式的解集是且，故、為的零點，則或（舍）所以，則，，得或；，得，則在和上單調遞增，在上單調遞減，則的極大值為.故答案為：.14.臺球是球類運動項目之一，是運動員在臺球桌上，用一根長的球桿，按照一定的規(guī)則，通過擊打白色主球，使目標球入袋的一項體育休閑項目.如圖，三角架內有15個大小相同的球，且球與球，球與三角架均相切.若三角架為邊長是的等邊三角形，則球的半徑為__________.（取）【答案】3【解析】可構建如圖所示的平面圖形，設球的半徑為，則，所以，解得.故答案為：3.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在平面四邊形中，為線段的中點，.（1）若，求的面積；（2）若，求.解：（1）過點作，垂足為.由，得，在四邊形中，由，得，所以四邊形是平行四邊形，∴，，所以面積為.（2）連接.在中，因為，所以,在中，由,得.所以為等邊三角形，在中，由余弦定理知16.已知雙曲線的左、右頂點分別為，離心率為2.（1）求雙曲線的方程；（2）為坐標原點，過點且斜率不為0的直線交雙曲線于兩點（點在第一象限，點在第二象限），直線交雙曲線于點，證明：.（1）解：由題意可得解得，所以雙曲線的方程為.（2）證明：設直線，點，則.聯(lián)立，得，.，則，，，所以.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，.（1）證明：是等腰三角形.（2）若平面平面，求點到平面的距離.（1）證明：設為的中點，連接，.因為，，，所以，所以，，即，又，，平面，，所以平面，因為平面，所以，因為平面平面，平面平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面.因為平面，所以，在中，，為的中點，所以，即是等腰三角形.（2）解：建立如圖所示以為坐標原點，為軸，過與平行方向為軸，為軸的空間直角坐標系，設，則，，，，，，，設平面的法向量為，則取，則.設平面的法向量為，則取，則.因為平面平面，所以，解得（舍去），所以，，，所以，，所以，所以，所以是等腰直角三角形，取的中點，連接，則.又因為平面平面，平面平面，所以平面，所以的長為點到平面的距離.因為，所以點到平面的距離為.18.已知有窮數(shù)列的通項公式為.從中選取第項、第項，…、第項，若是等比數(shù)列，則稱新數(shù)列為的等比子列.（1）要使得有等比子列，至少有多少項？（2）若共有25項，從中隨機選取3項，求這3項可以構成的等比子列的概率.（3）若共有100項，求的等比子列的公比的最小值.解：（1）因為，所以至少有3項.當有3項時，為，不是等比數(shù)列.當有4項時，為，選取第1項，第2項，第4項，是等比數(shù)列，所以有等比子列.綜上，要使得有等比子列，至少有4項.（2）因為共有25項，所以.從中隨機選取3項，這3項可以構成的等比子列的情況如下：1，2，4；1，3，9；1，4，16；1,5,25；2,4,8；2，6,18；3,6,12；4,6,9；4,8,16；4,10,25；5,10,20；6,12,24；8,12,18；9,12,16；9,15,25；16,20,25.共16種情況，故這3項可以構成的等比子列的概率為.（3）只考慮的等比子列的公比情況，則從中選取3項研究即可.假設是等比數(shù)列，其公比為.因為共有100項，所以.當為整數(shù)時，的最小值為2.當為分數(shù)時，設為最簡分數(shù)，且，則.因為的各項都是整數(shù)，所以為整數(shù)，所以是的約數(shù).設（為整數(shù)），則.因為為最簡分數(shù)，且，所以.當取最小值時，即.要使得取最小值，則取最大值.，當時，取最大值，最大值為100，即的最大值為9，所以的最小值為.故的等比子列的公比的最小值為.19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，求的取值范圍；（3）若的定義域為，求的取值集合.解：（1）當時，..故曲線在點處的切線方程為，即.（2），即.①當時，，原不等式恒成立.②當時，令函數(shù)，所以在上單調遞增.令，解得.當時，，原不等式恒成立.當時，，原不等式等價于，化簡得.令函數(shù).若，則當時，恒