高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省青島市2025屆高三年級第一次適應性檢測數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點坐標為A. B. C. D.【答案】B【解析】由拋物線方程的特點可知，拋物線的焦點位于軸正半軸，由，可得：，即焦點坐標為.本題選擇B選項.2.若，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】，所以，所以.故選：C3.若樣本數據1，，，…，的平均數為1，方差為2，則數據，，…，相對于原數據（）A.平均數變小 B.平均數變大 C.方差變小 D.方差變大【答案】D【解析】設原數據的平均數為，方差為，變化后的數據的平均數為，方差為，根據題意有：，所以，故選：D.4.近年來，家用冰箱使用的氟化物的釋放等破壞了臭氧層，真氧含量與時間（單位：年）的關系為，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的時間約為（）（，精確到年）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】D【解析】令可得，可得，所以，故臭氧消失一半所需要的時間約為年.故選：D.5.已知，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在上的投影向量為.故選：A.6.設U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，得，而，則，故“存在集合C使得，”是“”的充分條件；由，存在一個集合，使得，，如圖，所以“存在集合C使得，”是“”的必要條件.故選：C.7.在平面直角坐標系中，動點在以原點為圓心，為半徑的圓上，以的角速度按逆時針方向做勻速圓周運動；動點在以原點為圓心，為半徑的圓上，以的角速度按逆時針方向做勻速圓周運動.、分別以、為起點同時開始運動，經過后，動點、的坐標分別為、，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三角函數的定義可知，，，則，因為，其中，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故選：C.8.設是關于的方程的實數根.記，其中表示不超過的最大整數，設數列的前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則函數在上為增函數，因，，由零點存在定理可得，則，當為正奇數時，設，則，則，當為正偶數時，設，則，則，所以，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在正三棱柱中，為AC的中點，點滿足，，則（）A.當時， B.當時，C.存在，使得 D.存在，使得平面【答案】AD【解析】取的中點，建立如圖所示空間直角坐標系：設底面邊長為2，則，所以，所以，A.當時，，，，所以，故A正確；B.當時，，，，所以不成立，故B錯誤；C.，，故C錯誤；D.因為，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，使得平面，所以，所以，，符合，故D正確；故選：AD.10.已知狄利克雷函數設函數，則（）A.是奇函數 B.是周期函數C.的值域是 D.在區間上的有理數零點恰有3個【答案】ABD【解析】的定義域為，當為有理數時，是有理數，則，當為無理數時，是無理數，則，即為偶函數，故，是奇函數，故A正確；對于任意的整數，當為有理數時，也是有理數，則，當為無理數時，也是無理數，則，，即函數是周期函數，故B正確；函數的值域為，當為無理數時，，當為有理數時，，不能取到一個周期所有實數，所以取不到全部，故C錯誤；，當為有理數時，，得出在區間上有，3個有理數零點，故D正確；故選：ABD．11.在平面直角坐標系中，為坐標原點，直線、的方程分別為、，過點作、的垂線，垂足分別為、，四邊形的面積為，點的軌跡為曲線.則（）A.圓與沒有公共點B.曲線與沒有公共點C.上存在三點、、，使得為等邊三角形D.在點處的切線與、分別交于、兩點，則的面積為定值【答案】BCD【解析】易知，又因為，，則四邊形為矩形，設點，則，，矩形的面積為，可得，故曲線的方程為，對于A選項，聯立可得或，所以，曲線與圓有個公共點，其坐標分別為、、、，A錯；對于B選項，聯立可得，該方程無解，所以，曲線與沒有公共點，B對；對于C選項，不妨取點，取直線的方程為，取直線的方程為，聯立，解得，即點，聯立，解得，即點，由平面內兩點間的距離公式可得，同理可得，此時，為等邊三角形，C對；對于D選項，設為雙曲線上一點，先證明出雙曲線在點處的切線方程為，聯立可得，，所以，雙曲線在點處的切線方程為，易知，直線、的方程可視為，設點、，聯立可得，由韋達定理可得，所以，，因為點關于直線的對稱點為，則，所以，曲線關于直線對稱，由對稱性可知，當點在曲線上時，的面積也為定值，D對.故選：BCD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中常數項為__________．（用數字作答）【答案】【解析】的展開式的通項公式為，令，，故該展開式中的常數項為，故答案為．13.已知函數圖象的兩條切線相互垂直，并分別交軸于A，B兩點，則__________.【答案】2【解析】設函數在點和處的兩條切線互相垂直，如圖，可得的零點為1，故不妨設，，則，，當時，，，當時，，，則，．所以，即．因為：，即，：，即，則，，因為，且，故.故答案為：2.14.已知的內角對邊分別為，邊上的高為h，，則的最小值為__________.【答案】【解析】在中，，，即；又，，即，又；故，如圖，在中，過作的垂線，且使，則，，即，可得，，即，，,設，，在區間單調遞減，，即,，當且僅當時，即三點共線時等號成立.驗證：如下圖中，若時，滿足，此時，，故存在這樣的，使得成立.因此的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了調查某地區高中學生對于體育運動的愛好程度，隨機調查了該地區部分學生的日均運動時間.在被調查的學生中，女生占，女生中有的人日均運動時間大于小時，男生中有的人日均運動時間大于小時.（1）在被調查的學生中任選人，若此人日均運動時間大于小時，求此人為男生的概率；（2）用頻率估計概率，從該地區的高中生中隨機抽取人，求日均運動時間大于小時的人數的期望和方差.解：（1）記事件抽取的人為男生，記事件抽取的人日均運動時間大于小時，則，，，，由全概率公式可得，由條件概率公式可得.因此，在被調查的學生中任選人，若此人日均運動時間大于小時，則此人為男生的概率為.（2）從該地區的高中生中隨機抽取人，該生日均運動時間大于小時的概率為，由題意可知，所以，，.16.如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，、是底面半徑，，為劣弧上的動點.（1）若為劣弧的中點，證明：平面；（2）若圓錐底面半徑為，體積為，當四邊形面積最大時，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）連接，因為，為的中點，則，因為，則和均為等邊三角形，所以，，故四邊形為菱形，所以，，因為平面，平面，所以，平面.（2）由題意可知，底面，圓錐的體積為，可得，設，則，其中，四邊形的面積為，因為，則，故當時，即當時，取最大值，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內過點且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設平面的一個法向量為，，，則，取，則，設平面的一個法向量為，，，則，取，可得，，則，所以，，因此，當四邊形面積最大時，平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數，.（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個極值點，記極大值和極小值分別為M，m，證明：.（1）解：當時，，，則，當或時，；當時，，所以函數在上單調遞減，在和上單調遞增.（2）證明：由，，得，因為函數有兩個極值點，所以方程有兩個不相等的實根，設為且，因為函數在時的圖象關于軸對稱，所以，即，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以分別是函數的極大值點和極小值點，即，，又，即，則，又，則，，設，，則，即函數在上單調遞減，所以，即.18.已知橢圓的左，右焦點分別為，，短軸長為，離心率為.（1）求的方程；（2）記的左頂點為，直線與交于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之積為.（i）證明：直線過定點；（ii）若在軸上方，直線與圓交于點，點在軸上方.是否存在點，使得與的面積之比為3：5？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.解：（1）由題意得，，故，，又，解得，所以橢圓方程為；（2）（i），當直線的斜率不存在時，此時直線與交于關于軸對稱的兩點，設，則，即，又，所以，所以，解得或，當時，，此時與重合，直線AP或直線AQ的斜率不存在，不合要求，當時，直線方程為，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立得，，解得，設，則，所以，由得，化簡得，，解得或，當時，，過定點，直線AP或直線AQ的斜率不存在，不合要求，當時，，過定點，顯然此時滿足，其中也過點，綜上，直線過定點；（ii）存在點，使得與的面積之比為3：5，理由如下：在軸上方，故在軸下方，即，，由橢圓定義可知，，又的圓心為，半徑為4，故，所以，由于，，所以，令，當直線斜率不存在時，，此時，解得，令中得，又在軸上方，故，滿足要求，當直線斜率存在時，設，中，，，，由余弦定理得，即，解得，同理可得，由可得，解得或，均不合要求，舍去，綜上，存在點，使得與的面積之比為3：519.若數列滿足：①；②；③當整數時，存正整數及，，…，，使得；④對于任意正整數及，，…，，都有.則稱數列“非零可表”.（1）若數列滿足，判斷是否“非零可表”，并說明理由；（2）若數列滿足，，證明：數列“非零可表”；（3）證明：存在滿足的數列“非零可表”.（1）解：不“非零可表”，理由如下：中，則當，，不滿足④，故不“非零可表”；（2）解：，當時，，則，所以，，故，，又，所以，，時，，，所以，滿足①②