高級中學名校試題PAGEPAGE1四川省成都市郫都區2025屆高三三模數學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的．）1.如圖所示，集合是全集的三個真子集，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由韋恩圖知：陰影部分表示對應元素不屬于集合，但屬于集合，所以陰影部分所表示的集合是.故選：C.2.在復平面內，為坐標原點，復數對應的向量分別是，則對應的復數為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】復數對應的點為,所以，對應復數為.故選：A3.已知圓與圓相交于兩點，若線段的中點為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓，即，圓心為，半徑；圓，即，圓心為，半徑.兩個圓的方程相減并化簡得，將代入得，此時圓，，，滿足兩圓相交，符合題意.故選：B4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，又，所以，故，，又，解得，故選：B.5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，O是正六邊形的中心，若，則點的縱坐標為A. B. C. D.【答案】C【解析】由題，設，解得故選C.6.數列是等差數列，且，數列的前項和為，若，則使不等式成立的的最小值為（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】C【解析】因為為等差數列，且，則，所以其公差為，，所以，則，所以，則，又，解得，即n的最小值為.故選：C7.函數，若方程有四個不等的實根，且，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.取值范圍為【答案】C【解析】對于A，當時，，則，易得上單調遞減，且，當時，，則，易得在上單調遞增，且，即，當時，，則由正弦函數的性質可得在上單調遞減，在上單調遞增，且，，，，，從而利用對數函數與正弦函數的性質，畫出的圖象，如圖所示，因為方程有四個不等的實根，所以與的圖像有四個交點，所以，故A錯誤；對于B，結合選項A中分析可得，所以，則，故B錯誤；對于C，由正弦函數的性質結合圖像可知與關于對稱，所以，故C正確；對于D，當時，，令，得，所以，，又由圖像可知同增同減，所以，故D錯誤.故選：C．8.在空間直角坐標系中，平面、平面、平面把空間分成了八個部分.在空間直角坐標系中，確定若干個點，點的橫坐標、縱坐標、豎坐標均取自集合，這樣的點共有個，從這個點中任選2個，則這2個點不在同一個部分的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，從這個點中任選2個，共有種選法，在坐標系同一部分的點的橫坐標、縱坐標、豎坐標的正負均相同，所以八個部分中的點的個數分別為，從這27個點中任選2個，若這2個點在同一個部分，概率為所以這2個點不在同一個部分的概率為．故選：B.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分．）9.把一邊不光滑的一條紙（A，B）卷成小筒，得到的是（1～4）中的小筒，其中配對正確的是（）A.A—4 B.A—2C.B—3 D.B—1【答案】AD【解析】將紙和紙B卷成小筒時，需要注意紙的不光滑邊在卷成筒后的位置.對于紙，其光滑邊在紙的一側，當卷成筒時，光滑邊會形成筒的一條螺旋線，與圖相符.對于紙B，其不光滑邊在紙的一端，當卷成筒時，不光滑邊會形成筒的一端的鋸齒狀邊緣，與圖相符.故選：AD．10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.的值域為B.是的極小值點C.若，則D.若過點的曲線的切線有且僅有兩條，則a的取值范圍為【答案】BCD【解析】根據題意，，則當時，，所以單調遞減，當時，，所以單調遞增，所以是的極小值點，且，所以的值域為，A錯誤，B正確；由，可得，，令，是函數、函數與函數的圖象的交點A，B的橫坐標，因為函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，所以，兩點關于直線對稱，因此，即，C正確；設切點為，所以切線方程為，因為切線過點，所以，即方程有兩個解，則，解得或，D正確．故選：BCD11.數學中有許多形狀優美的曲線，如圖，曲線與軸交于，兩點，與軸交于，兩點，點是上一個動點，則（）A.點在上B.面積的最大值為1C.曲線恰好經過4個整點（即橫，縱坐標均為整數的點）D.【答案】BCD【解析】將點代入曲線的方程左側可得，所以點不在上，故錯誤；取可得，所以，，所以，由曲線可得，因為，設，當時，，當時，，代入曲線的方程成立，所以直線與曲線的交點坐標為，所以點的縱坐標的絕對值的最大值為，所以面積的最大值為，故正確；取可得，所以，，取可得，所以直線與曲線交于點，直線與曲線交于點，所以曲線經過點，，，，故正確；坐標平面內到定點，的距離和為的點的軌跡為以，為焦點，長軸長為的橢圓，設橢圓方程為，由已知可得，又，，所以，所以橢圓方程為，聯立，所以，所以，所以，所以，故橢圓與曲線的交點為，，如圖，故曲線上所有點都滿足，故正確.故選：.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12____________.【答案】【解析】.故答案為.13.已知，則_____．（用數字作答）【答案】【解析】令，則，所以，即為，又展開式的通項為，（其中且），所以.故答案為：14.設橢圓的一個焦點為，為內一點，若上存在一點，使得，則橢圓離心率的取值范圍是_____．【答案】【解析】令橢圓的左焦點為，則，由橢圓的定義知，則，設直線交橢圓于、兩點（如圖），而，即，當且僅當點、、共線時取等號.當點與重合時，，則，當點與重合時，，則，所以，即，經檢驗，此時點在內，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.現將近幾日某地區門鎖銷售的數量進行統計，得到如下表格：第x天1234567數量y200260280350420440500（1）若y與x線性相關，求出y關于x的經驗回歸方程，并預測第10天該地區門鎖的銷售數量；（參考公式和數據:）（2）某人手里有三把鑰匙，其中只有一把可以打開門鎖，他現在無法分清哪一把能夠打．記X為他有放回的進行開鎖時的開鎖次數，Y為他無放回的進行開鎖時的開鎖次數．求的概率．解：（1）依題意可得；又，所以，可知，所以經驗回歸方程為，將代入該方程可得預測第10天該地區門鎖的銷售數量為；（2）有放回時，隨機變量對應的概率為；無放回時，隨機變量對應的概率為；若，則有以下情況：當時，，此時概率；當時，或，此時概率為;因此可得的概率為.16.已知雙曲線的離心率為2，的頂點到漸近線的距離為．（1）求的方程；（2）已知直線過原點，與交于兩點，與交于兩點，若直線過點，且四邊形的面積為，求直線的方程.解：（1）雙曲線的離心率為，則，所以，故雙曲線的漸近線方程為，即，雙曲線的頂點到漸近線的距離為，則，故，所以雙曲線的方程為；（2）已知直線過原點，與交于兩點，與交于兩點，則關于原點對稱，關于原點對稱，由題可設直線，，則，聯立，則且，得或，所以，點到直線的距離為，所以四邊形的面積，則，整理得，解得或，所以或，所以直線的方程為或.17.在四棱錐中，平面．（1）證明：平面．（2）若底面，底面為矩形，，E為棱的中點，F為平面內的動點，當取得最小值時，求直線與底面所成角的正弦值．（1）證明：因為平面，平面，平面平面，所以，又平面，平面，所以平面．（2）以A為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，依題意可設，則，所以，當且時，取得最小值，此時．易知平面的一個法向量為，故當取得最小值時，直線與底面所成角的正弦值為．18.已知函數，若存在實數與，使得對任意實數，恒成立，則稱為“周期函數”.（1）求，的值，使得為“周期函數”；（2）若為“周期函數”，證明：為周期函數；（3）已知為“周期函數”，記函數.若在區間上單調遞減，且，，求的最小值.（1）解：令