高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省煙臺市2023-2024學年高二下學期期中學業水平診斷數學試卷注意事項:1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.2.答卷前，務必將姓名和準考證號填涂在答題紙上.3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰;超出答題區書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.由可以組成無重復數字三位數的個數為（）A.4 B.24 C.64 D.81【答案】B【解析】由題意，4個不同數字中取出3個，排成一列，共有個不同數字，故選：B2.如圖，在某城市中兩地之間有整齊的方格形道路網，是道路網中的一個交匯處，小明要從道路網的處出發，途經處到達處，則小明可以選擇的最短路徑條數為（）A.6 B.9 C.12 D.18【答案】B【解析】依題意，從到的最短路徑是共行3段，向右2段向上1段，有種方法，同理從處到達處有種方法，由分步乘法計數原理得小明可以選擇的最短路徑條數為.故選：B3.若隨機變量，，則（）A.0.15 B.0.3 C.0.35 D.0.7【答案】A【解析】由隨機變量，，可知，故選：A4.甲、乙兩人各自獨立射擊，甲射擊兩次，乙射擊一次．若甲每次射擊命中目標的概率為，乙每次射擊命中目標的概率為，甲、乙兩人每次射擊是否命中目標互不影響．則在兩人三次射擊中至少命中目標兩次的條件下，甲恰好命中目標兩次的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設甲、乙兩人三次射擊中至少命中目標兩次為事件，甲恰好命中目標兩次為事件，則,，所以.故選：C5.若能被8整除，則的值可能為（）A.1 B.2 C.4 D.7【答案】D【解析】因為，所以能被整除，故四個選項中只有D符合.故選：D6.已知隨機變量，若，且，則（）A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】因為，所以，即，解得，所以，又，所以.故選：C7.依次拋擲一枚質地均勻且六個面分別標有數字的正六面體骰子兩次，設事件“第一次出現的點數是奇數”，“第一次出現的點數是1”，“兩次的點數之和為奇數”，“兩次的點數之和為7”，則下列結論錯誤的是（）A.與相互獨立 B.與相互獨立C.與相互獨立 D.與相互獨立【答案】D【解析】由題意，當兩次分別為或或時，兩次的點數之和為7，所以，對A，，所以，即與相互獨立，故A正確；對B，，，所以，故B正確；對C，，所以，故C正確；對D，，，所以，故D錯誤.故選：D8.排球比賽一般采用五局三勝制，第一局比賽用抽簽的方式，等可能地決定首先發球的球隊，在每局比賽中，發球方贏得此球后可獲得下一球的發球權，否則交換發球權．甲、乙兩隊進行排球比賽，若甲隊發球，則甲隊贏得此球的概率為，若乙隊發球，則甲隊贏得此球的概率為．則在第一局比賽中，甲隊獲得第三個球的發球權的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲乙獲得發第一個球的概率均為，由甲獲得第三個球的發球權，得第二球甲必勝，當甲發第一個球時，有甲勝甲勝和乙勝甲勝兩種情況，概率為，當乙發第一個球時，有甲勝甲勝和乙勝甲勝兩種情況，概率為，所以甲隊獲得第三個球的發球權的概率為.故選：C二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的有（）A.離散型隨機變量的方差越大，隨機變量取值越集中B.經驗回歸方程的決定系數越大，該模型的擬合效果越好C.回歸分析中，兩個變量的相關系數的絕對值越大，它們的線性相關程度越強D.正態曲線是單峰的，其與軸圍成的面積是隨參數的變化而變化的【答案】BC【解析】離散型隨機變量的方差越大，隨機變量取值越分散，故A錯誤；經驗回歸方程的決定系數越大，模型的擬合效果越好，故B正確；回歸分析中，兩個變量的相關系數的絕對值越大，則線性相關程度越強，故C正確；正態曲線是單峰的，其與軸圍成的面積不隨參數的變化而變化，始終為1，故D錯誤.故選：BC10.一個袋子中裝有個除顏色外完全相同的小球，其中黃球占比．現從袋子中隨機摸出3個球，用分別表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黃球個數．則（）A.B.若，則C.若，則D.【答案】ABD【解析】對于A，分別服從超幾何分布和二項分布，而摸到黃球的概率為，則，A正確；對于B，，，B正確；對于C，，，C錯誤；對于D，，，，因此，D正確.故選：ABD11.甲、乙兩人進行趣味籃球對抗賽，約定比賽規則如下：每局比賽獲勝的一方積1分，負者積0分，無平局，積分首先達到3分的一方獲得最終勝利，比賽結束．若甲每局比賽獲勝的概率為，且每局比賽相互獨立，表示比賽結束時兩人的積分之和，則（）A.服從二項分布B.C.比賽結束時，甲、乙的積分之比為的概率為D.隨機變量的數學期望為【答案】BCD【解析】對于A，的可能取值為，而二項分布的隨機變量取值是從0開始的連續自然數，因此不服從二項分布，A錯誤；對于B，表示比賽結束時，賽了3局，要么是甲勝3局，要么是乙勝3局，因此，B正確；對于C，比賽結束時，甲、乙的積分之比為，則甲乙共賽4局，第4局甲勝，前3局甲輸1局，概率為，C正確；對于D，，，，，D正確.故選：BCD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知的展開式中的系數為21，則實數的值為______．【答案】3【解析】二項式展開式的通項公式為，因此展開式中項為，則，解得，所以實數的值為3.故答案為：313.甲、乙、丙、丁等6名同學站成一排照相，若要求甲與乙、丙均相鄰，丁不站在兩端，則不同的站法種數為______．（用數字作答）【答案】24【解析】甲、乙、丙均相鄰，則甲在乙、丙之間，乙丙的排列有種，把甲、乙、丙視為一個整體，與余下3個人共4個位置，丁只能在中間兩個位置之一，不同的排法種數是種，故答案：24.14.如果是離散型隨機變量，則在條件下的期望滿足，其中是所有可能取值的集合．現甲、乙兩選手進行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．若表示“甲第一次獲勝時已進行的比賽局數”，表示“甲恰好第二次獲勝時已進行的比賽局數”，則______；______．（兩空均用數字作答．）【答案】；【解析】由題意，時甲恰好第二次獲勝時已進行的比賽局數為5，即前4局甲獲勝1局，所以當時，的可能取值為，所以，，，，所以.故答案為：；四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知二項式的展開式中第6項與第7項的系數相等．（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）若，求的值．解：（1）二項式的展開式中的第項為，由題得，解得，所以展開式中共9項，第5項二項式系數最大，第5項.（2）由（1）知，，所以，令得，令得，所以.16.乒乓球是我國的國球，是一種世界流行的球類體育項目．某學校為了解學生是否喜歡“乒乓球運動”，從全校學生中隨機抽取100名學生進行問卷調查．統計數據整理如下：男生喜歡乒乓球運動的人數比女生喜歡乒乓球運動的人數多20人，設事件“喜歡乒乓球運動”，“學生為男生”，，．（1）完成如圖列聯表；喜歡乒乓球運動不喜歡乒乓球運動合計男生女生合計100（2）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為喜歡乒乓球運動與性別有關聯？參考公式：，其中．．解：（1）設抽取100名學生中男生有人，則女生人，因為，所以女生中喜歡乒乓球運動的有人，又因為，所以，所以喜歡乒乓球運動的共有人，所以，解得，所以抽取100名學生中男生55人，女生45人，其中喜歡乒乓球運動女生為20人，不喜歡乒乓球運動的女生為25人，喜歡乒乓球運動的男生為40人，不喜歡乒乓球運動的男生為15人，所以列聯表為：喜歡乒乓球運動不喜歡乒乓球運動合計男生401555女生202545合計6040100（2）零假設為：是否喜歡乒乓球運動與性別無關聯.根據列聯表中數據，計算得到，依據小概率值的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即認為是否喜歡乒乓球運動與性別有關聯.17.某小微企業對其產品研發的年投入金額（單位：萬元）與其年銷售量（單位：萬件）的數據進行統計，整理后得到如下的數據統計表：157892368110.71.11.82.12.4（1）公司擬分別用①和②兩種模型作為年銷售量關于年投入金額的回歸分析模型，根據上表數據，分別求出兩種模型的經驗回歸方程；（2）統計學中常通過殘差的平方和比較兩個模型的擬合效果，若模型①和②的殘差的平方和分別為9.9和4.2，請在①和②中選擇擬合效果更好的模型，并估計當年投入金額為10萬元時的年銷售量．參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：．參考數據：，，．解：（1）由題知，所以，所以，，所以模型①的經驗回歸方程為，由，兩邊取自然對數可得，即，所以，，所以模型②的經驗回歸方程為（2）因為，即②的殘差平方和較小，所以，模型②的擬合效果更好.所以當時，，即當年投入金額為10萬元時的年銷售量的估計值為11.94萬件.18.某校為了解本校學生每天的體育活動時間，隨機抽取了100名學生作為樣本，統計并繪制了如下的頻率分布直方圖：（1）估計這100名學生的平均體育活動時間；（2）從這100名學生中按照分層抽樣的方式在體育活動時間位于和的兩組學生中抽取12名學生，再從這12名學生中隨機抽取3人，用表示這3人中屬于的人數，求的分布列和數學期望；（3）以這100名學生體育活動時間的頻率估計該校學生體育活動時間的概率，若從該校學生中隨機抽取且名學生，求當為何值時，“抽取的名學生中恰有5人每天的體育活動時間不低于40分鐘”的概率最大？解：（1）這100名學生的平均活動時間分鐘.（2）因為體育活動時間位于和的頻率分別為和，所以抽取的12名學生中位于的有人，位于的有人，所以隨機變量所有可能取值為，且服從超幾何分布，故，，，所以的分布列為：0123所以.（3）由頻率分布直方圖可知，每天的運動時間不低于40分鐘的頻率為：.設“抽取的名學生中每天的運動時間不低于40分鐘的人數”為，則，，設，則當“抽取的名學生中恰有5人每天的體育活動時間不低于40分鐘”的概率最大時，有，即，化簡得，解得，因為且，所以.19.已知編號為的三個袋子中裝有除標號外完全相同的小球，其中1號袋子內裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號袋子內裝有兩個1號球，一個3號球；3號袋子內裝有三個1號球，兩個2號球和一個3號球．現按照如下規則連續摸球兩次；第一次先從1號袋子中隨機摸出1個球，并將摸出的球放入與球編號相同的袋子中，第二次從剛放入球的袋子中再隨機摸出1個球．（1）若第二次摸到的是3號球，計算此3號球在第二次摸球過程中分別來自號袋子的概率；（2）設是樣本空間上的兩個離散型隨機變量，則稱是上的二維離散型隨機變量．設的一切