高級中學名校試題PAGEPAGE1上海市普陀區2025屆高三下學期質量調研數學試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對前6題得4分、后6題得5分，否則一律得零分.1.不等式的解集是____________.【答案】【解析】因為,所以原不等式的解集為：.故答案為：2.已知復數，其中i為虛數單位，則____________.【答案】【解析】因為，.故答案為：3.已知事件與事件相互獨立，若，則____________.【答案】【解析】由獨立事件性質，，,故答案為：4.設，，是等差數列的前項和，若，則的值為____________.【答案】##【解析】設等差數列的首項為，公差為，.所以，，所以：.故答案為：5.設，拋物線上的點到的焦點的距離為5，點到軸的距離為3，則的值為____________.【答案】9【解析】拋物線的準線為，由點到軸的距離為3，得點的縱坐標，由點到的焦點的距離為5，得，解得或，而，所以.故答案為：96.設，若的展開式中項的系數為10，則____________.【答案】2【解析】項為，由.故答案為：27.在一個不透明的盒中裝著標有數字1，2，3，4的大小與質地都相同的小球各2個，現從該盒中一次取出2個球，設事件為“取出2個球的數字之和大于5”，事件為“取出的2個球中最小數字是2”，則____________.【答案】【解析】事件（數字之和大于5）的基本事件數（數字組合），共有種；而事件（最小數字是2且和大于5，即）的基本事件數有種，由條件概率公式.故答案為：8.若一個圓錐的高為，側面積為，則該圓錐側面展開圖中扇形的中心角的大小為____________.【答案】【解析】設底面半徑為，母線長為l由，得，又，由勾股定理，所以，解得，底面圓周長，扇形中心角，故答案為：9.設，函數的表達式為，則對任意的實數，皆有成立的一個充分條件是____________.【答案】【解析】因為函數，要使，則周期，即，因為，所以一個充分條件是，故答案：10.設為正整數，集合，若集合滿足，且對中任意的兩個元素，皆有成立，記滿足條件的集合的個數為，則____________.【答案】28【解析】當時，若為空集，符合題意；只有1種，若為一元集：共有8種，若為二元集：如，共有15種，若為三元集：如共有4種，所以總共有：種；故答案為：28.11.在棱長為4的正方體中，，若一動點滿足，則三棱錐體積的最大值為____________.【答案】【解析】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則有.又，所以.設，則.因為，代入可得，整理可得，即在以點為球心，為半徑的球上.又的面積為，平面到平面的距離為4，所以到平面的最大距離為.體積最大值為.故答案為：.12.設，函數的表達式為，若函數恰有三個零點，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】①當時，所以，，，解得，不符合題意，所以在上無解.②當時，，所以，，，令，所以，即令，所以，所以，所以在單調遞增，所以，即.此時在上有唯一解；③當時，，因為函數恰有三個零點，所以在上有兩解，即在上有兩解，即在上有兩解.令所以，即解得，綜上①②③，所以的取值范圍是.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13－14題每題4分，第15－16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在大題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，否則一律得零分.13.某市職業技能大賽的移動機器人比賽項目有19位同學參賽，他們在預賽中所得的積分互不相同，只有積分在前10位的同學才能進入決賽.若該比賽項目中的某同學知道自己的積分后，要判斷自己能否進入決賽，則他只需要知道這19位同學的預賽積分的（）A.平均數 B.眾數 C.中位數 D.方差【答案】C【解析】因為19位同學的積分，中位數是第10名，所以知道中位數即可判斷是否在前10.故選：C14.設，在平面直角坐標系xOy中，角的頂點在坐標原點，始邊與軸的正半軸重合，若角的終邊經過點，且，則角屬于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以，異號，所以在第二、四象限，又，所以在第二象限.故選：.15.設，點，是坐標原點，，是雙曲線的左焦點，若直線經過點，且與雙曲線的右支在第一象限內交于點，則雙曲線的離心率的一個可能的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖：因為，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，方程為：.因為點到直線：的距離為：，所以直線與圓相切.又過點，且，直線與雙曲線右支在第一象限內交于點，所以直線的斜率為：.又一、三象限雙曲線的漸近線的斜率為：.又.即.故選：D16.設，，、，是數列的前項和，且滿足，數列是由個大于的整數組成的有窮數列，若，，則稱數列是數列的“數列”.對于數列有如下兩個命題：①若，則數列不是數列的“數列”；②若，則數列的“數列”至少有5個.則下列結論中正確的是（）A.①為真②為真 B.①為真②為假 C.①為假②為真 D.①為假②為假【答案】A【解析】對數列：①②①－②得：，所以是以3為公比的等比數列，令，對①：若，.因為，且為整數，，其余.以為例，.若，則，這與矛盾.所以不能恒成立.故①為真.對②：以為例：設，令，則方程的解有，，，，5個滿足.即時，數列的“數列”有5個.當時，，令，則方程滿足的解的個數更多.即時，數列的“數列”多于5個.……依次類推：當數列至少5個，故②為真.故選：A三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.17.如圖，在三棱柱中，，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.（1）證明：連結，連結CO在中，，故是等邊三角形，所以為菱形，所以，且是的中點.因為，所以.因為，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：以為原點，為軸，為軸，OC為軸建立空間直角坐標系，則，所以，.設平面的一個法向量，則有，即.令，可得平面的一個法向量為，所以，直線與平面所成的角的正弦值為.18.設，函數的表達式為.（1）若，設的內角的對邊分別為，，且，求的面積.（2）對任意的，皆有成立，且該函數在區間上不存在最小值，求函數在的單調區間.解：（1）因為，所以，所以，解得或，所以或，若，則，不符；所以，所以，所以，由，得，所以，；（2）由，得，所以，，令，因為，所以，又函數在無最小值，所以，解得，所以，則，所以，令，所以，當時，，因為，所以在單調遞減，在單調遞增.19.某區為推進教育數字化轉型，通過聚合區域學校的教育資源，依托AI技術搭建了區域智慧題庫系統，形成了“通識過關—綜合拓展—創新提升”三層動態原庫，且三層題量之比為，設該題庫中任意1道題被選到的可能性都相同.（1）現有4人參加一項比賽，若每人分別獨立地從該題庫中隨機選取一道題作答，求這4人中至少有2人的選題來自層的概率；（2）現采用分層隨機抽樣的方法，使用智能組卷系統從該題庫中選取12道題生成試卷，若某老師要從生成的這份12道題的試卷中隨機選取3道題做進一步改編，記該老師選到層題的題數為，求的分布與期望．解：（1）因為三層題量之比為，所以在層選題的概率為，不在層選題的概率為，設至少2人的選題來自層的概率為，從層選題數量為，由題意得，而二項分布概率公式為，則至少2人的選題來自層的概率為，故.（2）因為三層題量之比為，所以在層最多抽到7道，且可取，則，，其分布列為所以期望.20.設，點分別是橢圓的上頂點與右焦點，且，直線經過點與交于兩點，是坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）若，點是軸上的一點，且的面積為，求點的坐標；（3）若點在直線上，向量在直線上的投影為向量，證明.（1）解：，直線l過所以右焦點，即，所以，橢圓方程為.（2）解：當，直線，，解得，，設，到直線距離，由面積，得或，即或.（3）證明：設，因為向量在直線上的投影為向量，故，故直線的斜率為，故直線的方程為，故，而，故，聯立，，，故，設，設，由雙勾函數的性質可得在為增函數，故，故，.21已知，對于函數，，設集合，，記.（1）若函數，請判斷中元素的個數，并說明理由；（2）設，函數，若，求的值以及曲線在點處的切線方程；（3）設，函數，若對于任意的，皆有成立，求的取