高級中學名校試題PAGEPAGE1上海市虹口區2025屆高三下學期期中學生學習能力診斷測試數學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.已知全集，，則_________【答案】【解析】由題全集，，所以.故答案為：.2.不等式的解集是____________．【答案】【解析】原不等式等價于且，解為，故答案為『點石成金』：分式不等式，，這里容易出錯，要注意．3.若，則___________.【答案】【解析】.故答案為：.4.已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則其側面積為______________.【答案】【解析】由題意，圓柱的底面半徑為1，母線長為2，根據圓柱的側面積公式，可得其側面積為.5.若直線與直線平行，且經過圓的圓心，則的方程為______【答案】【解析】圓的標準方程為，圓心坐標為，因為直線與直線平行，且經過圓的圓心，所以，直線的方程為.故答案為：.6.某公司為了解用電量（單位：千瓦時）與氣溫（單位：攝氏度）之間的關系，隨機統計了4天的用電量與當天氣溫，繪制了如右表格，由表中數據可得回歸方程，則實數______【答案】【解析】由表格中的數據可知，，，所以，樣本中心點的坐標為，將樣本中心點坐標代入回歸直線方程可得，解得.故答案為：.7.若的三條邊的長分別為、、，則的外接圓面積為______.（結果保留）【答案】【解析】不妨設，，，由余弦定理可得，所以，角為銳角，故，設的外接圓半徑為，則，所以，，因此，的外接圓的面積為.故答案為：.8.已知是實系數一元二次方程的一個虛根，且，若在復平面上所對應的點在拋物線上，則______.【答案】【解析】設，因為在復平面上所對應的點在拋物線上，所以，，因為，故，即，解得：或（舍去），故，，當時，代入方程得，，即，故,當時，代入方程得，，即，故,綜上可得，故答案為：9.某工廠生產的零件長度（單位：毫米）服從正態分布，且，若對該工廠同批生產的4個零件逐一檢查，則僅有1個零件的長度大于3.5毫米的概率為______【答案】【解析】根據可得，即，又由對稱性可知，所以，即任取1個零件其長度大于3.5毫米的概率為；因此4個零件逐一檢查，僅有1個零件的長度大于3.5毫米的概率為；故答案為：10.已知個小球的編號為、、、，從中有放回地摸取小球三次，并依次記錄其編號，若這三個編號成等差數列，則共有______種不同的摸取方法.【答案】【解析】若三個編號成等差數列，若三個編號相同，共有種，若三個編號彼此都不相同，設這三個編號為、、，則，則、同為奇數或同為偶數，則可由來確定，奇數編號的小球共個，偶數編號的小球共個，若、同為奇數，則、的選擇方法種數為種；若、同為偶數，則、的選擇方法種數為種.當三個編號彼此不同時，不同的摸法種數為種.綜上所述，不同的摸法種數為種.故答案為：.11.1798年，人口學家馬爾薩斯假設：①人口數是隨著時間連續變化的函數；②人口增長率為常數，且單位時間內的人口增長量與成正比，進而建立了人口增長模型.19世紀中葉的生物學家們發現由于人類生存條件的限制，不是常數，因此改進了馬爾薩斯的假設②，并添加了1條假設：②是隨著時間連續變化的函數，存在人口最大瞬時增長率，使，且僅與和有關；③存在最大人口數，當人口數達到時，.那么在這些假設下建立的人口增長模型______.（用含有、、的式子表示）【答案】【解析】根據假設，可得，當時，，代入可得，解得，由單位時間內的人口增長量與成正比，可得，將，代入可得，所以假設下建立的人口增長模型.故答案：.12.記為有限集合中的元素個數.設，能被整除}，若對于任意實數和任意正整數，恒有，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】由于，所以，被除余數為，因此，集合中的元素只需滿足能被整除即可，設，從而可得,即需取以為間隔的等間隔分布的實數，不論實數和正整數如何選取，區間中最多只能找到三個值，考慮到任意性，考慮區間長度最長的情況，即求的最大值，設，其中，則，由可得，由可得，所以，函數的增區間為，減區間為，所以，，因此，問題的要求是在任意一段長度不超過的區間里最多只能找到三個值，而的取值是以為間隔的，故臨界情況是：長度為的區間剛好對應個間隔，因此，只需，解得.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置上，將所選答案的代號涂黑.13.若是實數，則“”是“”的（）條件.A.充要 B.充分非必要C.必要非充分 D.既非充分又非必要【答案】C【解析】“”即“或”，故“”不能推出“”，“”可以推出“”，故“”是“”的必要非充分條件.故選：C14.下列函數中為奇函數的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A選項，函數的定義域為，該函數為非奇非偶函數，A不滿足要求；對于B選項，函數的定義域為，且，設，則，故函數為偶函數，B不滿足要求；對于C選項，函數為偶函數，C不滿足要求；對于D選項，函數為奇函數，D滿足要求.故選：D.15.春節期間，小明和弟弟玩起了一種自定義游戲，規定先由弟弟擲一顆質量均勻的骰子，若弟弟擲出的點數為6，則吃1顆花生；若擲出其他點數，則記下這個點數，然后由小明開始兩個人輪流擲這顆骰子，直至任意一方擲出這個記下的點數或者6，一次游戲結束.若擲出的是這個記下的點數，則弟弟吃1顆花生；若是6，則小明吃3顆花生.任意一次游戲中弟弟能吃到1顆花生的概率為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】第一步：第一次擲骰子的概率（1）擲出6點：概率為，弟弟直接吃1顆花生；（2）非6點：概率為，記下點數，進入后續階段.第二步：后續階段的概率分析設小明擲骰子時弟弟吃到花生的概率為，弟弟擲骰子時弟弟吃到花生的概率為，若小明擲骰子：（1）擲出：概率為，弟弟吃1顆花生；（2）擲出：概率為，小明吃3顆花生；（3）其他點數：概率為，輪到弟弟擲骰子，此時概率為，故有①；若弟弟擲骰子：（1）擲出：概率為，弟弟吃1顆花生；（2）擲出：概率為，小明吃3顆花生；（3）其他點數：概率，輪到小明擲骰子，此時概率為，故有②；聯立①②兩式，可得，即后續階段弟弟吃到花生的概率為，故任意一次游戲中弟弟能吃到1顆花生的概率為.故選：D16.在空間中，點為定點，設集合，則以下說法正確的是（）.①若在上的數量投影為，則線段在運動過程中所形成的幾何體體積為；②對于任意的以及任意的正實數，設，若，則.A.①是真命題，②是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是假命題，②是假命題【答案】A【解析】由，因且，可得，即，即，所以是以為球心，半徑為的球體內部及其表面，①若在上的數量投影為，即，設是軸上的單位向量，點的坐標為，則滿足，且，將代入可得，解得，所以軌跡為半徑為，位于平面上，所以線段在運動中所形成的幾何體為圓錐，其中底面半徑為，高為，則圓錐的體積為，所以①是真命題；由集合是以為球心，半徑為的球體內部及其表面，對于任意的，以及任意的正實數，且，即，且，且若，因為球體中的任意兩點的連線段上的點均在球體內，根據是凸集，結合凸集的性質，可得，即，所以，所以②正確.故選：A.三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應位置寫出必要步驟.17.如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若異面直線和所成角為，求點到平面距離.（1）證明：取的中點，連接，，，，，且，四邊形是平行四邊形，，，，，，，,，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：連接，，，由(1)可知，，四邊形是平行四邊形，，且，是異面直線和所成角，即，設，，，，是等邊三角形，，，即，，，，由(1)知，平面，，，，設點到平面的距離為，，即，即，，即點到平面的距離為.18.已知函數的表達式為，.（1）解不等式：；（2）若存在實數，使得，，成等比數列，求實數的最小值.解：（1）由已知代入可得不等式：，根據對數函數的單調性可得：且，則且，解得：（2）由已知可得：則令，因為，所以，即，則，此時在上單調遞增，則，要使得等式，則，故的最小值為.19.已知某區組建了一支120人的志愿者隊伍，并由其中72人組成“志愿模范隊”.經過一年的實踐，全隊共有72人的周平均服務時長超過2小時，其中有54人來自“志愿模范隊”，如下表所示.是“志愿模范隊”成員不是“志愿模范隊”成員總計周平均服務時長超過2小時5472周平均服務時長不超過2小時總計72120（1）已知一名志愿者是“志愿模范隊”成員，求其周平均服務時長超過2小時的概率.（2）請完成列聯表，并根據表中數據回答：是否有99.9%的把握認為“是‘志愿模范隊’成員”與“周平均服務時長超過2小時”有關系？（3）現從周平均服務時長超過2小時的人員中按照是否為“志愿模范隊”成員進行分層抽樣，選取8人組建“志愿突擊隊”，并從這8人中再隨機選取2人做深度訪談，記隨機變量為這2人中來自于“志愿模范隊”的人數，求的分布與方差附錄：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范隊”成員，則其周平均服務時長超過2小時的概率：.（2）根據題意，可將表格補充完整：是“志愿模范隊”成員不是“志愿模范隊”成員總計周平均服務時長超過2小時541872周平均服務時長不超過2小時183048總計7248120故，所以有99.9%的把握認為“是‘志愿模范隊’成員”與“周平均服務時長超過2小時”有關系.（3）由分層抽樣可知，這8人中有6個來自“志愿模范隊”，2個不是“志愿模范隊”成員，故隨機變量可能為且,故分布列如下：012所以期望：，方差：.20.已知點和是雙曲線的左、右焦點.（1）若是雙曲線的一條漸近線，求的離心率；（2）當時，若雙曲線上存在一點滿足，求的面積；（3）若在雙曲線上分別存在兩點和，點在第一象限，點在第二象限，使得四邊形的面積為，且存在實數使，求實數的取值范圍.解：（1）若是雙曲線的一條漸近線，則，可得，此時，雙曲線的離心率為.（2）若，不妨設點位于第一象限，且，則，由雙曲線的定義可得，又因為，則，，所以，，所以，，故.（3）取點關于原點的對稱點，由雙曲線的對稱性可知，點在雙曲線上，連接、，則為、的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，又因為，則，即、、三點共線，易知，直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，因為，所以，，則，聯立可得，由題意可得，可得，由韋達定理可得，，所以，，整理可得，令，則，則關于的二次方程在上有解，設，則二次函數在上單調遞減，所以，，解得，因此，的取值范圍是.21.對于定義在上的函數和，，設.（1）若，，求；（2）若，，，求實數的取值范圍；（3）已知對任意，均有，記，求證：“對任意，函數零點個數均有限”的充要條件是“在上是嚴格增函數”.（1）解：記，函數上的值域為，即．（2）解：設在上的最小值．.當時，嚴格增；當時，嚴格減；當時，嚴格增．當時取得極小值．當時，舍去．當時，．綜上，．（3）證明：（充分性）若是嚴格增函數，則的最小值為，而，故對任意，都有，即與是相同函數．故是嚴格增函數，所以嚴格增函數，故對任意的零點個數有限．（必要性）對任意，都有，故的值域為，即在上的最小值為．先證是嚴格增函數．對任意，函數和的最小值分別為和，則由最小值的定義，，故函數是增函數．假設