高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合是目要求的.1.已知，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】由，得，則，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為.故選：A2.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，命題p：是等比數(shù)列；命題q：，，.成等比數(shù)列，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】令，數(shù)列是等比數(shù)列，，不成等比數(shù)列，則不能推出；令，則，成等比數(shù)列，而不是等比數(shù)列，不能推出，所以p是q的既不充分也不必要條件.故選：D3.已知向量，滿足，，則在上的投影向量為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄浚瑵M足，，所以，所以，則在上的投影向量為.故選：B.4.某校組織1000名學(xué)生參加“新中國(guó)成立75周年”知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這1000名學(xué)生的成績(jī)都在區(qū)間內(nèi)，按分?jǐn)?shù)分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A.1000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是77B.成績(jī)不低于80分的學(xué)生所占比例為40%C.用分層抽樣從該校學(xué)生中抽取容量為100的樣本，則應(yīng)在內(nèi)抽取30人D.這1000名學(xué)生成績(jī)的第50百分位數(shù)是80【答案】D【解析】對(duì)于A，由頻率分布直方圖，得1000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，成績(jī)不低于80分的學(xué)生頻率為，成績(jī)不低于80分的學(xué)生所占比例為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由分層抽樣特點(diǎn)得，則應(yīng)在內(nèi)抽取人，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，1000名學(xué)生成績(jī)的第50百分位數(shù)即中位數(shù)為80，D正確.故選：D5.雙曲線的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M，N是雙曲線上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn).若直線AM與AN的斜率之積為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】依題意，設(shè)雙曲線方程為，則，設(shè)點(diǎn)，則，，即，因此，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B6.已知函數(shù)，，若有一個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，因此有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為R，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線的圖象，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有1個(gè)交點(diǎn)，所以m的取值范圍是.故選：C7.正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BEF周長(zhǎng)的最小值為時(shí)，三棱錐的側(cè)面積為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】將正三棱錐的側(cè)面沿側(cè)棱剪開并展開在同一平面內(nèi)，如圖，連接，當(dāng)分別為與的交點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，而，，則，，所以三棱錐的側(cè)面積為.故選：A8.設(shè)函數(shù)，其中，若有兩個(gè)零點(diǎn)且取最小整數(shù)P時(shí)，的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，函數(shù)定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)從大于0的方向趨近于0時(shí)，值趨近于正無(wú)窮大；當(dāng)趨近于正無(wú)窮大時(shí)，值趨近于正無(wú)窮大，由有兩個(gè)零點(diǎn)，得，即，函數(shù)在上都遞增，則函數(shù)在上遞增，，因此存在，使得，則不等式成立時(shí)，的最小整數(shù)值為3，即，由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，B正確.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】觀察函數(shù)圖象，設(shè)函數(shù)，則，最小正周期，解得，又，則，又，則，所以，B正確；，A錯(cuò)誤；，，C正確，，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，l是C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N是C上一點(diǎn)且位于第一象限，直線FN與圓A：相切于點(diǎn)E，點(diǎn)E在線段FN上，過點(diǎn)N作l的垂線，垂足為P，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.直線FN的方程為C. D.△PFN的面積為【答案】BCD【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，圓的圓心，半徑，連接，由切圓于，得，對(duì)于A，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，直線的斜率為1，方程為，B正確；對(duì)于C，設(shè)，由，解得，，C正確；對(duì)于D，的面積，D正確.故選：BCD11.數(shù)列滿足前兩項(xiàng)都是1，之后每項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，這就是著名的斐波那契數(shù)列，若的前n項(xiàng)和為，下列關(guān)于斐波那契數(shù)列說(shuō)法正確的是（）A.B.若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則的前2024項(xiàng)之和為2697C.前2024項(xiàng)中奇數(shù)共有1350個(gè)D.【答案】ACD【解析】數(shù)列中，，對(duì)于A，，則，即，因此，A正確；對(duì)于B，數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次為，因此數(shù)列是周期數(shù)列，周期為6，前6項(xiàng)和為，的前2024項(xiàng)和為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列中項(xiàng)是以奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)一組，因此數(shù)列前2024項(xiàng)中奇數(shù)共有，C正確；對(duì)于D，，則，于是，又，等式成立，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數(shù)列的通項(xiàng)公式，則________.【答案】【解析】數(shù)列中，，，數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列亦是等差數(shù)列，所以.故答案為：13.已知，滿足，，則________.【答案】【解析】因?yàn)椋忠驗(yàn)椋裕?故答案為：.14.近年來(lái)，西安因?yàn)橛耙晞《優(yōu)榫W(wǎng)紅城市，長(zhǎng)安十二時(shí)辰主題街區(qū)成為西安一張靚麗的名片，根據(jù)馬伯庸的小說(shuō)《長(zhǎng)安十二時(shí)辰》同名改編的電視劇中，靖安司通過長(zhǎng)安城內(nèi)的望樓傳遞信息，望樓傳遞信息的方式如下：如圖所示，信號(hào)旗的旗面為九宮格，每個(gè)小方格可以在白色和黑色之間變換，從而一共可以有________種不同的顏色組合來(lái)傳遞不同的信息.若要求最多出現(xiàn)3個(gè)黑色格子，那么一共可以傳遞________種不同的信息.【答案】①.512②.130【解析】信號(hào)旗的旗面為九宮格，每個(gè)小方格可以在白色和黑色之間變換，從而一共可以有種不同顏色組合來(lái)傳遞不同的信息；若一個(gè)黑色格子也沒出現(xiàn)，可以傳遞1種信息；若出現(xiàn)1個(gè)黑色格子，可以傳遞9種不同信息；若出現(xiàn)2個(gè)黑色格子，可以傳遞種不同信息；若出現(xiàn)3個(gè)黑色格子，可以傳遞種不同信息；所以若最多出現(xiàn)3個(gè)黑色格子，可以傳遞種不同信息故答案為：512；130.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，D為BC上一動(dòng)點(diǎn).（1）若AD平分，求證：；（2）若D為BC上靠近B的三等分點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求AD的長(zhǎng).解：（1）設(shè)，垂足為，在中，，在中，，因AD平分，所以，于是有，因此有；（2）因?yàn)镈為BC上靠近B的三等分點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?6.已知函數(shù)，.（1）記的導(dǎo)數(shù)為，求的值，其中；（2）若，恒有，求a的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，所以（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由，得，函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，當(dāng)時(shí)，，由，恒有，得，因此，解得，所以a的取值范圍是.17.如圖三棱錐中，四個(gè)面均為直角三角形，其中，且.取BC中點(diǎn)為E，過E作于點(diǎn)F.（1）證明：；（2）求平面PAC與平面ABC夾角的正弦值.（1）證明：三棱錐中，由平面，得平面，而平面，則，又，平面，因此平面，而平面，所以.（2）解：過點(diǎn)作，由（1）知平面，又，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面PAC與平面ABC的夾角為，則，所以平面PAC與平面ABC夾角的正弦值.18.某商場(chǎng)進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)置摸獎(jiǎng)箱內(nèi)有紅球個(gè)，白球個(gè)，黑球個(gè)，小球除顏色外沒有任何區(qū)別.規(guī)定：摸到紅球記分，摸到白球記分，摸到黑球記分.抽獎(jiǎng)人摸個(gè)球?yàn)橐淮纬楠?jiǎng)，總分記為，若，則獲獎(jiǎng).方案一：從中一次摸個(gè)球，記錄分?jǐn)?shù)后不放回.方案二：從中一次摸個(gè)球，記錄分?jǐn)?shù)后放回.（1）若甲顧客按照方案一摸球記分，求甲顧客獲獎(jiǎng)的概率；（2）若乙顧客按照方案一摸球記分，求第二次摸到紅球條件下，乙顧客獲獎(jiǎng)的概率；（3）若丙顧客按照方案二摸球記分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）若，則甲顧客摸到個(gè)紅球個(gè)白球、或者是個(gè)紅球個(gè)白球個(gè)黑球，所以，.（2）記事件乙顧客按照方案一摸球獲獎(jiǎng)，由（1）可知，記事件乙顧客第二次摸到紅球，則，，所以，.（3）摸到次紅球的概率為，摸到次白球的概率為，摸到次黑球的概率為，則可能取值有、、、、、、，，，，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：故.19.已知圓錐曲線G：，稱點(diǎn)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線，其中極線方程是將圓錐曲線以替換，以替換x（另一變量y也是如此）.特別地，對(duì)于橢圓，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為.已知橢圓C：，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為、.（1）若極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線l為，求橢圓C的方程；（2）當(dāng)極點(diǎn)Q在曲線外時(shí)，過點(diǎn)Q向橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，證明：直線MN為極點(diǎn)Q的極線；（3）已知P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）解：因?yàn)闃O點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線l為，即，所以，因?yàn)橛医裹c(diǎn)是，所以，所以，所以橢圓C的方程為；（2）證明：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)切點(diǎn)，可得，化簡(jiǎn)可得：，由題可得：化簡(jiǎn)可得：，該方程只有一個(gè)根，記作，，為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由于，則，則切線方程為：，化簡(jiǎn)得：．當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線為，也符合方程，綜上上一點(diǎn),的切線方程為；同理上一點(diǎn),的切線方程為；設(shè)，點(diǎn)在兩個(gè)切線上，所以，所以的直線