高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1陜西省西安市長安區(qū)2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵對數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，∴由得，故，∵，∴.故選：D.2.若，則cos2α＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，可得：即，解得

分子分母同時除以（因?yàn)椋簦瑒t不存在），可得：，將代入上式可得：

，所以.故選：B.3.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以要使為純虛數(shù)，則，解得：．故選：B．4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，可得：，因?yàn)椋裕獾茫海蔬x：C5.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為B．若，則該橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)，因?yàn)椋傻茫裕瑒t，所以橢圓的方程為.故選：A.6.一個圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，軸截面的面積為9，則該圓臺的體積為（）A. B.2π C. D.7π【答案】D【解析】設(shè)圓臺的高為，由題意可知，，得，圓臺的體積.故選：D7.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫裕郑裕驗(yàn)椋裕矗郑裕曰颍ㄉ幔裕?故選：B.8.已知是定義在R上的奇函數(shù)且滿足，當(dāng)時，．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，又因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù).因?yàn)楫?dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.函數(shù)的草圖如下：根據(jù)圖象可知，若，則，，解得，.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：，.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，直線是C的一條漸近線，P是l上一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.C的虛軸長為B.C的離心率為C.的最小值為D.過點(diǎn)能作4條直線與C僅有一個交點(diǎn)【答案】ACD【解析】雙曲線的漸近線方程為，依題意，解得，所以雙曲線，對于A，的虛軸長，A正確；對于B，的離心率，B錯誤；對于C，點(diǎn)到直線的距離為，即的最小值為，C正確；對于D，過點(diǎn)垂直于軸的直線為，此直線與雙曲線相切與點(diǎn)，符合題意，設(shè)過點(diǎn)斜率存在的直線為，聯(lián)立方程組，得，當(dāng)時，即時，直線平行于漸近線，與雙曲線只有一個交點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時，，解得，此時直線與雙曲線相切，故過點(diǎn)能作4條直線與C僅有一個交點(diǎn)，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù)B.最小正周期為2πC.區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間內(nèi)有40個極值點(diǎn)【答案】AD【解析】A.函數(shù)的定義域?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，故A正確；B.，故B錯誤；C.時，，，當(dāng)，，此時，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)，，此時，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故C錯誤；D.時，，，，當(dāng)，則，共20個變號零點(diǎn)，所以在區(qū)間有20個極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間共有40個極值點(diǎn)，故D正確.故選：AD11.對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目（若兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)是1，則稱這兩個正整數(shù)互質(zhì)）．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，（10與1，3，7，9均互質(zhì)）則（）A.B.數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列C.若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列為等比數(shù)列D.數(shù)列的前5項(xiàng)和等于【答案】AC【解析】A.12與1,5,7,11均互質(zhì)，所以，17與1,2,3,4,5,…,13,14,15,16均互質(zhì)，所以，所以，故A正確；B.7與1,2,3,4,5,6互質(zhì)，則，9與1,2,4,5,7,8互質(zhì)，所以，，所以數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，故B錯誤；C.設(shè)為質(zhì)數(shù)，則小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)為，即每個數(shù)當(dāng)中就有一個與不互質(zhì)，所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為,故，所以為常數(shù)，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；根據(jù)選項(xiàng)C可知，，數(shù)列的前5項(xiàng)和為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)均為實(shí)數(shù)，且，則____________.【答案】【解析】，取對數(shù)得，，；.故答案為:.13.排球比賽實(shí)行“五局三勝制”（當(dāng)一隊(duì)贏得三場勝利時，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束），根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，在甲、乙兩隊(duì)的比賽中，每場比賽甲隊(duì)獲勝的概率為，乙隊(duì)獲勝的概率為，則在這場“五局三勝制”的排球比賽中甲隊(duì)獲勝的概率為________．【答案】【解析】命題可以轉(zhuǎn)化為：即使某一隊(duì)獲勝三場，也照常進(jìn)行后續(xù)的場次，直至五場全部結(jié)束，最后獲勝場次數(shù)多的隊(duì)獲勝。二者等效（區(qū)別僅在于勝負(fù)已定后，后續(xù)場次是否真正進(jìn)行）.此時，甲隊(duì)獲勝的概率即為甲隊(duì)獲勝場數(shù)不小于的概率，即．故答案為：．14.在三棱錐中，，且．記直線，與平面所成角分別為，，已知，當(dāng)三棱錐的體積最小時，平面截三棱錐的外接球的截面面積為________.【答案】【解析】如圖，過點(diǎn)作平面，垂足為，則，由平面得.在中，，在中，，∴，故.由，得，且.當(dāng)三點(diǎn)構(gòu)成三角形時，，即，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，由得，，，此時三棱錐的高最小，體積最小.當(dāng)點(diǎn)在線段上時，由得，，取線段中點(diǎn)，由和為直角三角形得，，故點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，∵為外接球直徑，平面，∴平面截三棱錐的外接球的截面面積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展水平，組織本校2000名學(xué)生進(jìn)行針對性檢測（檢測分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本的80％分位數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）；（3）若所有學(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．解：（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為，則.所以，樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62.（2）由圖可知，前三組的頻率和為，第四組的頻率為，所以樣本的80％分位數(shù)為（3）由（1）可知，樣本平均數(shù)的估計(jì)值，所以，則所以，估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入k個相同的數(shù)，構(gòu)成一個新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，求的前100項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，依題意，，，即，解得，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（2）設(shè)和插入的個數(shù)構(gòu)成一組數(shù)，則前組共有個數(shù)，令，又，解得：；當(dāng)時，，∴的前100項(xiàng)中包含前12組數(shù)和第13組數(shù)的前10個，∴．17.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)．（ⅰ）求的值；（ⅱ）證明：存在實(shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對稱．解：（1）由題意可知，則的定義域?yàn)椋?dāng)時，在區(qū)間上恒成立，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，即，解得，若，，若，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（i）函數(shù)，則，，故．（ii）函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖冢沟们€關(guān)于直線對稱，則關(guān)于直線對稱，所以，又．可知曲線關(guān)于直線對稱.18.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：四邊形是菱形，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫裕忠驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫?（2）證明：取與中點(diǎn)，．連接，，，，則運(yùn)用中位線性質(zhì)知，且,則，，則四邊形是平行四邊形，是正三角形，易知，，底面是菱形，，則是正三角形，則，平面，平面，平面，，由于四邊形是菱形，四邊形是平行四邊形，所以，，．（3）由（2）知為二面角的平面角，即，前面知道，則過做的垂線，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則進(jìn)而求得一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則．19.拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，由拋物線的三條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線過點(diǎn)F，過x軸下方的一點(diǎn)P作C的兩條切線和，且，分別交x軸于點(diǎn)A，B，交l于點(diǎn)M，N．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若△PMN為阿基米德三角形，求∠MPN；（3）證明：切線三角形PAB的外接圓過定點(diǎn)．解：（1）由題意得，則，所以拋物線的方程為，（2）因?yàn)榘?/p>