高級中學名校試題PAGEPAGE1陜西省渭南市2025屆高三下學期聯考聯評模擬試題（三）（二模）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集為，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，所以，故選：D2.已知向量，若，則實數（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】由題意，又，所以，解得，故選：B．3.下列雙曲線，焦點在軸上且漸近線方程為的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為雙曲線的焦點在y軸，故AB錯誤；對于C，雙曲線的漸近線方程為，故C錯誤；對于D，雙曲線的漸近線方程為，故D正確.故選：D.4.已知函數為奇函數，則的值是（）A.3 B.1或3 C.2 D.1或2【答案】C【解析】因為為奇函數，所以，解得或.當時，，，故不合題意，舍去；當時，，，故符合題意.故選：C.5.下列函數中，最小正周期為，且在上單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】選項A中，選項B中，選項C中，選項D中，排除AB，時，，遞減，則遞增，時，，遞增，則遞減，故選：C．6.在中，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由余弦定理得，解得，舍去，則的面積為.故選：A7.某同學擲一枚正方體骰子5次，記錄每次骰子出現的點數，統計出結果的平均數為2，方差為0.4，可判斷這組數據的眾數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】不妨設五個點數為，由題意平均數為2，方差為0.4，知.可知五次的點數中最大點數不可能為4，5，6.五個點也不可能都是2，則五個點數情況可能是3，3，2，1，1，其方差為，不合題意.若五個點數情況為3，2，2，2，1，其方差為，符合題意，其眾數為2.故選：B.8.已知函數的大致圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】觀察圖象知，是函數的極小值點，求導得，則，解得，當時，；當時，，則是函數的極小值點，，，不等式，解得，所以不等式的解集為.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是復數，則下列說法正確的是（）A.若，則實數B.若為虛數，則是虛數C.對于任意的復數都是實數D.【答案】BCD【解析】設，選項A，若，則，不一定是實數，A錯；選項B，是虛數，則，，但，是虛數，B正確；選項C，是實數，C正確；選項D，設，則，D正確；故選：BCD．10.已知直線，圓和拋物線，則（）A.直線過拋物線的焦點B.直線與圓相交C.直線被圓截得的最短弦長為D.圓與拋物線的公共弦長為【答案】B【解析】對于A：拋物線的焦點為代入直線得，所以直線過拋物線的焦點，當時，直線不過拋物線線的焦點，故A錯誤；對于B：直線，令得，將代入圓有，所以點在圓的內部，所以直線與圓相交，故B正確；對于C：直線定點為，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交弦長為，當時，，故C錯誤；對于D：由或（舍去）當時，，所以圓與拋物線的公共弦長為，故D錯誤，故選：B11.數學中有許多形狀優美的曲線，曲線就是其中之一?下列說法正確的是（）A.曲線有4條對稱軸B.曲線內有9個整點（橫、縱坐標均為整數的點）C.若是曲線上的任意一點，則的最大值為5D.設直線與曲線交于兩點，則的最大值為4【答案】ABD【解析】對于A，點是曲線上任意點，顯然都滿足曲線的方程，因此曲線關于軸、軸、直線、直線都對稱，A正確；對于B，由，得，解得，同理，因此曲線在兩組平行直線所圍成的正方形及內部，而點中，任意一點坐標都使，因此曲線內有9個整點，B正確；對于C，由曲線的對稱性知，當位于第二象限時，取得最大值，此時方程為，令，將代入，得，故，解得，因此的最大值為，C錯誤；對于D，由消去得，解得，則，當且僅當時取等號，D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】由，可得：，所以，所以，故答案為：13.已知正三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為__________.【答案】【解析】設正三棱錐的底面中心為，外接球的球心為，顯然球心在直線上.設正三棱錐的高為，外接球的半徑為，由，可得正三角形的面積為，所以，解得，球心到底面的距離為，，由，得，得，所以外接球的表面積為.故答案為：.14.如圖，有一個觸屏感應燈，該燈共有9個燈區，每個燈區都處于“點亮”或“熄滅”狀態，觸按其中一個燈區，將導致該燈區及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區改變狀態.假設起初所有燈區均處于“點亮”狀態，若從中隨機先后按下兩個不同燈區，則燈區最終仍處于“點亮”狀態的概率為__________.【答案】【解析】從9個燈區中隨機先后按下兩個燈區，共有種按法，與相鄰的燈區為，與相鄰的燈區為，將9個燈區分為三類：第一類燈區，第二類燈區，第三類燈區，若要使得燈區最終仍處于“點亮”狀態，則需在同類燈區中隨機先后按兩個不同燈區．①若先后按下的是燈區中的兩個，則燈區最終仍處于“點亮”狀態，共有種按法；②若先后按下的是燈區中的兩個，則燈區最終仍處于“點亮”狀態，共有種按法；③若先后按下的是燈區中的兩個，則燈區最終仍處于“點亮”狀態，共有種按法，所以燈區最終仍處于“點亮”狀態的概率為．故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數在上的最值.解：（1），，，所求切線方程為.（2）由（1）知，令，得或；令，得.當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增.又，函數在上的最小值為，最大值為.16.甲、乙兩學校舉行羽毛球友誼賽，在決賽階段，每所學校派出5對雙打（兩對男雙、兩對女雙、一對混雙）進行比賽，出場順序抽簽決定，每場比賽結果互不影響，先勝三場（沒有平局）的學校獲勝并結束比賽.已知甲學校混雙獲勝的概率是，其余4對雙打獲勝的概率均是.（1）若混雙比賽抽簽排到最后，求甲學校在前3場比賽結束就獲勝的概率；（2）求混雙比賽在前3場進行的前提下，甲學校前3場比賽結束就獲勝的概率.解：（1）若混雙比賽抽簽排到最后，則甲學校在前3場比賽中獲勝的概率均是.所求概率為.（2）設事件表示“混雙比賽在第場進行”，事件表示“混雙比賽在前3場進行的前提下，甲學校前3場比賽結束就獲勝”，則，，.17.如圖，三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，為的中點，，側面底面.（1）證明：；（2）當時，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：等邊三角形中，為中點，，側面底面，側面底面，又平面平面，又平面.（2）解：在中，，，.由（1）知，平面，又平面，兩兩垂直，以分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則不妨取，則，平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則不妨取，則，平面的一個法向量為.記平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的上頂點為，離心率為是橢圓上不與點重合的兩點，且.（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線恒過定點；（3）求面積的最大值.（1）解：依題意有解得，橢圓的方程為.（2）證明：如圖，當直線的傾斜角為時，顯然不合題意；設直線的方程為：.聯立消去得.，即..，又，，，即，，解得或（舍）.直線的方程為：，即直線過定點.（3）解：點到直線的距離，，的面積令，則，，因函數在上單調遞減；在上單調遞增，所以當時，取得最小值為，即，故，即面積的最大值為.19.若是遞增數列，數列滿足對任意的，存在，使得，則稱是的“分割數列”.（1）設，證明：數列是數列的“分割數列”；（2）設是數列的前項和，，判斷數列是否是數列的“分割數列”，并說明理由；（3）設且，數列的前項和為，若數列是的“分割數列”，求實數的取值范圍.（附：當時，若，則）（1）證明：若是遞增數列，且，則，，且，即.，，即，對任意的，存在，使得.是的“分割數列”.（2）解：.假設是的“分割數列”，則對任意的，存在，使得，，即，當時，，易知在上單調遞增，，滿足