高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1陜西省銅川市王益區(qū)2025屆高三3月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，則的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】∵a>0，b>0，a+b=1，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”號．

答案：C面上的動點.給出以下四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①與點距離為的點形成一條曲線，則該曲線的長度是；②若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；③若，則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：①錯誤，因為，與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，長度為；②正確，因為面面，所以點必須在面對角線上運動，當(dāng)在（或）時，與面所成角（或）的正切值為最小（為下底面面對角線的交點），當(dāng)在時，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；③正確，設(shè)，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長分別為，，，所以六個面上的正投影長度之，當(dāng)且僅當(dāng)在時取等號.故選：.3.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，則該楔體的體積為（）A.10000立方尺 B.11000立方尺C.12000立方尺 D.13000立方尺【答案】A【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱，

則三棱柱的四棱錐的體積

由三視圖可知兩個四棱錐大小相等，立方丈立方尺．

故選A．4.復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】設(shè),則,,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為,在第二象限.故選:B5.已知非零向量，滿足，則“”是“”的（）條件A.充要 B.必要不充分 C.充分不必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】，，∴等價于，故選：A.6.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為，所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選：D7.若函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若函數(shù)的零點不為，則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，不合題意.所以，，即，解得或.①當(dāng)時，令，得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：此時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，不合乎題意；②當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則函數(shù)有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.8.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】請在此輸入詳析！9.如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）A.該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B.與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長C.該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D.去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元【答案】D【解析】由折線圖可知A、B項均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確；.故D項不正確.故選：D.10.已知正三角形的邊長為2，為邊的中點，、分別為邊、上的動點，并滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以D為原點，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設(shè)，則直線，設(shè)點，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函數(shù)的圖像知，，所以的取值范圍是．故選A．11.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A. B.6 C.4 D.5【答案】D【解析】由題意．故選：D．12.已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，，且與的夾角為，所以，因此.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.如果復(fù)數(shù)滿足，那么______（為虛數(shù)單位）.【答案】【解析】∵，∴，∴，故答案為：.14.某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，第一次燒制，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為0.5，0.6，0.4，第二次燒制，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為0.6，0.5，0.75，則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為__________；經(jīng)過兩次燒制后，合格工藝品的件數(shù)為，則隨機變量的均值為__________．【答案】①.0.38②.0.9【解析】第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為；經(jīng)過兩次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為，，，所以隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，即，故．故答案為：15.若函數(shù)與函數(shù)，在公共點處有共同的切線，則實數(shù)的值為______．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，，，設(shè)曲線與曲線公共點為，由于在公共點處有共同的切線，∴，解得，．由，可得．聯(lián)立，解得．故答案為．16.一個空間幾何體三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示，則這個幾何體的體積是___________【答案】【解析】空間幾何體為一個棱柱，如圖，底面為邊長為的直角三角形，高為的棱柱，所以體積為三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，.（1）求最小正周期；（2）若的內(nèi)角的對邊分別為，且，求的面積.解：（1）∴最小正周期.（2）由（1）知，∴∴，又∴或.解得或當(dāng)時，由余弦定理得即，解得.此時.當(dāng)時，由余弦定理得.即，解得.此時.18.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，滿足.有三個條件：①；②；③.其中三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件完成下面兩個問題：（1）求；（2）設(shè)為邊上一點，且，求面積.解：（1）因為，所以，得，，，為鈍角，與矛盾，故①②中僅有一個正確，③正確.顯然，得.當(dāng)①③正確時，由，得（無解）；當(dāng)②③正確時，由于，，得；（2）如圖，因為，，則，則，.19.為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況，某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，繪制圖表的一部分如下．（1）從男生中隨機抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在[10，20）的概率；（2）從參加公益勞動時間[25，30）的學(xué)生中抽取3人進行面談，記X為抽到高中的人數(shù)，求X的分布列；（3）當(dāng)時，高中生和初中生相比，哪學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動時間較長．（直接寫出結(jié)果）解：（1）抽取的100名學(xué)生中，男生有名，其中公益勞動時間在的有名，故所求概率；（2）參加公益勞動時間的學(xué)生有12人，其中初中生7人，高中生5人，X的所有可能取值為，，，，，所以X的分布列為：X0123P（3）由表格信息可得，初中生平均參加公益勞動時間較長.20.△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為（1）求;（2）若求△ABC的周長.解：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故周長為.21.設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為，，若，，成等比數(shù)列．（1）求及；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和，證明：．解：（1）設(shè)的公差為，由題意有，且，所以，；（2）因為，所以，.22.已知函數(shù)有兩個極值點，.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.（1）解：函數(shù)則，因為存在兩個極值點，，所以有兩個不等實根.設(shè)，所以.①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，不符合題意.②當(dāng)時