高級中學名校試題PAGEPAGE1山西省太原市2025屆高三一模考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.計算（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，解得：，，所以.故選：C.3.已知，，若，則實數（）A. B.3 C.6 D.【答案】A【解析】因為，，所以，因為，所以，解得，故A正確.故選：A4.已知，，，則下列結論正確是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，.所以.故選：B5.已知的三條邊長分別為3，4，5，的兩個頂點是橢圓的焦點，其另一個頂點在橢圓上，則的離心率的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知的三條邊長分別為，，，因為，所以是直角三角形.設的兩個頂點為橢圓的焦點，另一個頂點在橢圓上.情況一：若焦距，則橢圓上一點到兩焦點距離之和.此時離心率.情況二：若焦距，則橢圓上一點到兩焦點距離之和.此時離心率.情況三：若焦距，則橢圓上一點到兩焦點距離之和.此時離心率.所以橢圓的離心率的最大值為.故選：C.6.將函數的圖象先向左平移個單位，再向上平移1個單位后，所得的圖象經過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數向左平移個單位，再向上平移1個單位后，得到的新函數為當時，,化簡得,即,則,其中，解得,，又因為,所以，所以故選：C.7.已知等差數列的前項和為，且，是以1為公差的等差數列，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設等差數列的首項為，公差為，因為，所以，得到，即，因為是以1為公差的等差數列，所以，則，化簡得，即，因為，所以，解得，則，下面我們開始分析各個選項，對于A，，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯誤，對于D，，故D錯誤.故選：B8.已知函數有三個零點，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，則，兩側平方得，即，所以，對于且，有，上，即在上單調遞增，上，即在上單調遞減，當時有，當時有，當時有，在上值域為，在上值域為，在上值域為，當時，，則有三個根，則，滿足題設；當時，，可得或，共有兩個零點，不合題設；當時，或，且，若，則，即為其中的兩個根，此時，結合上述分析且有且僅有一個根，共有三個零點，滿足題設；若，則為其中的兩個根，而且有且僅有一個根為，此時，一共只有兩個零點，不滿足題設；若，則，此時為其中一個根，此時，結合上述分析且有且僅有一個根，共有兩個零點，不滿足題設；綜上所述，的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知樣本數據的平均數為3，方差為3，樣本數據的平均數為3，方差為6，則下列結論正確的是（）A.數據的平均數為7B.數據的方差為11C.數據的平均數為3D.數據的方差為5【答案】ACD【解析】對于A，因為樣本數據的平均數為3，所以由平均數性質得數據的平均數為，故A正確，對于B，因為樣本數據的方差為6，所以數據的方差為，故B錯誤，對于C，因為樣本數據的平均數為3，樣本數據的平均數為3，所以數據的平均數為，故C正確，對于D，由已知得數據的平均數為，則新方差為，故D正確.故選：ACD10.已知函數，若，且，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】,即,解不等式可得,所以函數的定義域為，，因為,所以,則,函數在上單調遞增；對于選項A：已知,因為函數在上單調遞增，所以,故A正確；對于選項B：由且，可得，因為函數在上單調遞增，所以,故B正確；對于選項C：由且，可得,，因為函數在上單調遞增，所以,故C錯誤；對于選項D：因為且,所以，,又因為函數在上單調遞增，所以,故D錯誤；故選：AB.11.已知動點到點和直線的距離和為5，記其軌跡為曲線．點，是曲線上的兩個不同點，點，則下列結論正確的是（）A.曲線的方程為B.對于任意，都存在點，，使得成立C.當時，若點，關于點對稱，則D.若點，關于點對稱，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】對A：根據題意，列方程：.當時，化簡可得：；當時，化簡可得：.故A錯誤.對B：由A，作出曲線如下：可知曲線關于軸對稱，所以對于任意，都存在點，，只要，，就能使得成立，故B正確；對C：因為，所以一定分別在曲線（）和（）上.不放設，（），則，因為，所以.故C正確；對D：若，因為，關于對稱，所以當，分別對應點和，時，取得最大值；當接近曲線的上下頂點時，接近于0；若，由C可知，，且，.所以綜上：，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數是______．（用數字作答）【答案】【解析】的展開式的通項公式為，令可得所以的展開式中的系數是故答案為：13.已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1和3，球與該圓臺的上、下底面及其側面都相切，則球的表面積為________．【答案】【解析】設圓臺的高為,球的半徑為，作出圓臺的軸截面，如圖所示，，已知圓臺的上、下底面半徑分別為，斜邊為圓臺母線長，圓臺的軸截面等腰梯形的高等于球的直徑2,因為球與圓臺側面相切，所以,則，所以,所以，同時，由勾股定理可得,將,代入到中，得到，化簡得，，根據球的表面積公式,將代入公式可得：，綜上，球的表面積為.故答案為：.14.對于數列，稱為數列的1階商分數列，其中；稱為數列的階商分數列，其中，當時，．已知數列，，且為數列的2階商分數列，則數列的前項和為________．【答案】【解析】根據題目中的定義，數列的1階商分數列中，滿足：①，則②；2階商分數列中，滿足：，根據題意，，將①，②代入上式可得：③，將和代入③得：，化簡后得到遞推關系式：，化簡可得：，由累乘法可得：，所以，經檢驗，，，滿足上式；所以，設數列的前n項和為，則，.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，分別是的內角，，的對邊，且．（1）求；（2）若是邊上一點，且，，求的值．解：（1）由得，由余弦定理得，∵，∴．（2）設，∵，∴，∴，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，∵，∴，∴，∴．16.已知函數，．（1）討論函數的單調性；（2）當時，若恒成立，求的值．解：（1）函數的定義域為，求導得，當時，，函數在上單調遞增；當時，由，得；由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.（2）令，，求導得，由當時，恒成立，得，恒成立，而，因此是函數的最小值，又在可導，則1是的極小值點，，解得，當時，，，令，，求導得，由，得；由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，即，因此，當且僅當時取等號，所以.17.如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的菱形，且，平面，平面平面，是等邊三角形．（1）求證：；（2）若，點是線段上一點，二面角的余弦值為，求的長．證明：（1）設是的中點，連結，，∵平面，∴，∵是等邊三角形，∴，∵平面平面，∴平面，∴，∴，，，共面，∵四邊形邊長為2的菱形，，，中，，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴，∵，∴平面，∴．（2）由（1）得，，∵平面，∴，以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設，則，設是平面的一個法向量，則∴取，則，∴，設是平面的一個法向量，則∴取，則，，∴，∵二面角的余弦值為，∴，∴或（舍去），∴．18.已知圓，點，動點，以為直徑的圓與圓相外切，記點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）設點，，，直線，分別與曲線交于點，（點異于點）．①求證：直線過定點；②若，為垂足，求點的軌跡方程．解：（1）設是的中點，，連接，，由題意可得且，所以，故點的軌跡是以，為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支曲線，則，所以，，所以曲線的方程為．（2）①設，，直線的方程為，由得，∴，，直線的方程為，令，則，直線的方程為，令，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴或，當時，直線的方程為，令，即，所以，所以直線經過點，即點與重合，與題意不符；當時，直線的方程為，令，即，所以，所以直線過定點；②由①知直線過定點，記其為點，由可知垂足在以為直徑的圓上，∵，∴，所以點的軌跡方程為．19.某商場推出購物抽獎促銷活動，活動規則如下：①顧客在該商場內的消費額每滿100元，可獲得1張獎券；②每張獎券可以進行1次抽獎活動，即從裝有4個白球、2個紅球的盒子中，隨機摸取1個球（每個球被摸到的可能性相同）．獎勵規則：若摸出白球，則沒有中獎，摸出的白球放回原盒子中，本張獎券抽獎活動結束；若摸出紅球，則中獎，獲得禮品1份，且摸出的紅球不放回原盒子中，同時得到一次額外的抽獎機會（該抽獎機會無需使用新的獎券），繼續從當前盒子中隨機摸取1個球，其獎勵規則不變；③從第二張獎券開始，使用每張獎券抽獎時均在前一張獎券抽獎活動的基礎上進行；④若顧客獲得2份禮品（即該顧客將2個紅球都摸出）或使用完所獲獎券，則該顧客本次購物的抽獎活動結束．（1）顧客甲通過在商場內消費獲得了若干張獎券并進行抽獎，求事件“甲使用第2張獎券抽獎，中獎"的概率；（2）顧客乙通過在商場內消費獲得了若干張獎券并進行抽獎，求事件“乙獲得第2份禮品時，共使用了3張獎券”的概率；（3）顧客丙消費了1000元，設表示顧客丙在這次抽獎活動中所使用獎券的數量，求的分布列及其期望．解：（1）設事件“甲使用第張獎券抽獎，中次獎”，則所求事件為，