高級中學名校試題PAGEPAGE1山西省大同市2023-2024學年高二下學期4月期中教學質量監測數學試題注意事項:1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上相應的位置.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.3.回答選擇題時，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案用黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.5.本試題共5頁，滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.現有4名志愿者去3個社區參加志愿活動，每名志愿者可自由選擇其中的1個社區，不同選法的種數是（）A. B. C.12 D.7【答案】A【解析】依題意，每名志愿者都有3種選擇方法，所以4名志愿者共有種不同的選法.故選：A.2.為了了解雙減政策的執行情況，某地教育主管部門安排甲、乙、丙、丁四人到三所學校進行調研，每個學校至少安排一人，則不同的安排方法種數有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.72種【答案】C【解析】將甲、乙、丙、丁四人到三所學校進行調研，每個學校至少安排一人，將四人分成3組：其中一組1人，一組1人，一組2人，有種，再將這三組分配給三個不同的學校有，所以共有種情況.故選：C3.為了了解學生們的視力狀況，某學校決定采用分層抽樣的方法，從高一、高二、高三三個年級共抽取60人進行視力檢測.已知高三年級有500人，高二年級有700人，高一年級有800人，則高二年級抽取的人數為（）A.25 B.24 C.21 D.15【答案】C【解析】依題意，，所以高二年級抽取的人數為21.故選：C4.對兩個變量進行線性相關性檢驗，得線性相關系數，對兩個變量進行線性相關性檢驗，得線性相關系數，則下列判斷正確的是（）A.變量與變量正相關，變量與變量負相關，變量與變量的線性相關性更強B.變量與變量負相關，變量與變量正相關，變量與變量的線性相關性更強C.變量與變量負相關，變量與變量正相關，變量與變量的線性相關性更強D.變量與變量正相關，變量與變量負相關，變量與變量的線性相關性更強【答案】D【解析】由線性相關系數知與正相關，由線性相關系數知與負相關，又，所以變量與變量的線性相關性比變量與變量的線性相關性更強．故選：D．5.有一組樣本數據,由這組數據得到新樣本數據,其中為非零常數，則（）A.兩組樣本數據的樣本平均數相同 B.兩組樣本數據的樣本標準差相同C.兩組樣本數據的樣本中位數相同 D.兩組樣本數據的樣本眾數相同【答案】B【解析】對于A選項，設數據的平均數為，數據的平均數為，則，故A錯；對于B選項，設數據的標準差為，數據的標準差為，，故B對；對于C選項，設數據中位數為，數據的中位數為，不妨設，則，若為奇數，則，；若為偶數，則，.綜上，，故C錯；對于D選項，設數據的眾數為，則數據的眾數為，故D錯.故選：B.6.數軸上一個質點在隨機外力的作用下，從原點出發，每隔秒向左或向右移動一個單位，已知向右移動的概率為，向左移動的概率為，共移動次，則質點位于的位置的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意此實驗滿足重伯努利實驗，設向左移動次數為，則，從原點出發，共移動次，最后質點位于，則需向右移動次，向左移動次，所以質點位于的位置的概率為.故選：D7.現有3道選擇題和2道填空題共5道題，若不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到選擇題的條件下，第2次抽到選擇題的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記事件表示“第1次抽到選擇題”，事件表示“第2次抽到選擇題”，則，所以在第1次抽到選擇題的條件下，第2次抽到選擇題的概率.故選：B8.有4張相同的卡片，分別標有數字1，2，3，4，從中有放回地隨機取兩次，每次取1張卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的數字為偶數”，表示事件“第一次取出的卡片上的數字為3”，表示事件“兩次取出的卡片上的數字之和為5”，表示事件“兩次取出的卡片上的數字之和為7”，則（）A.與為相互獨立事件 B.與為互斥事件C.與為相互獨立事件 D.與為對立事件【答案】A【解析】由題意樣本空間，，，，，對于A：由古典概率概率公式可知，，，則，故與為相互獨立事件，正確；對于C：，，，則，故與不是相互獨立事件，錯誤；對于B：當第一次取出的卡片上的數字為3，第二次取出的卡片上的數字為4時，事件與同時發生，故兩個事件不是互斥事件，錯誤；對于D：因為，，所以與不是對立事件，錯誤.故選：A二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.9.下列有關回歸分析的結論中，正確的有（）A.若回歸方程為，則變量與正相關B.運用最小二乘法求得的經驗回歸直線一定經過樣本點的中心C.若決定系數的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好D.若散點圖中所有點都在直線上，則相關系數【答案】ABC【解析】對于選項A：因為回歸方程為，可知，所以變量y與x正相關，故A正確；對于選項B：由線性回歸方程的性質可知：回歸直線一定經過樣本點的中心，故B正確；對于選項C：決定系數的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好，故C正確；對于選項D：散點圖中所有點都在直線上，則，且，所以變量y與x正相關，即，可知，故D錯誤．故選：ABC．10.“50米跑”是《國家學生體質健康標準》測試項目中的一項，某地區高三男生的“50米跑”測試成績(單位:秒)服從正態分布，且.從該地區高三男生的“50米跑”測試成績中隨機抽取5個，其中成績在內的個數記，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】A選項，由正態分布的對稱性可知：，故，A正確；B選項，由，可得，由正態分布曲線可得，故B不正確；C選項，因為，所以，故C正確；D選項，因為，所以，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知，則（）A. B.C.展開式中系數最大的項為第七項 D.【答案】ABD【解析】對于A：因為，令，可得，令，可得，所以，故A正確；對于B：二項式展開式的通項公式為，所以，所以，故B正確；對于C：由，可知為偶數時，系數為正，為偶數時，系數為負，可得，，，，，，故展開式中系數最大的項為第九項，故C錯誤；令，可得，兩邊同乘以，可得，故D正確．故選：ABD．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從1到9的九個正整數中，任意抽取三個相加，所得和為奇數的不同取法有______種.【答案】40【解析】根據題意，從1到9的正整數中任意抽取3個數相加，若所得的和為奇數，則取出的3個數必為1個奇數、2個偶數與3個奇數兩類．當3個數全為奇數時，在1，3，5，7，9取3個奇數有；當取出的3個數為1個奇數、2個偶數時，分兩步：第一步，先在1，3，5，7，9中取出1個奇數，有種取法，第二步，再在2，4，6，8中取出2個偶數，有種取法．則任意抽取3個數，其中1個奇數、2個偶數的取法有（種），所以所得和為奇數的不同情形種數是．故答案為：.13.已知變量的分布列如下表，則的值為___________.01【答案】【解析】，.故答案為：.14.小李經常參加健身運動，他周一去健身的概率為，周二去健身的概率為，且小李周一不去健身的條件下周二去的概率是周一去健身的條件下周二去的概率的2倍，則小李周一、周二都去健身的概率為_________.【答案】【解析】設“小李周一去健身”為事件A，設“小李周二去健身”為事件B，則“小李周一、周二都去健身”為事件AB，由題意可知：，，且，由全概率公式可知：，即，解得，所以.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數列，是等比數列，且.（1）求數列與的通項公式；（2）求數列的前項和.解：（1）設數列an的公差為，數列bn的公比為，由，所以，求得，所以；由，得，所以，所以（2）因為，所以.16.2023年12月25日，由科技日報社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評選出的2023年國內十大科技新聞揭曉.某高校一學生社團隨機調查了本校100名學生對這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯表:不太了解比較了解合計男生154560女生251540合計4060100（1）判斷是否有的把握認為對這十大科技的了解存在性別差異;（2）將上述調查所得到的頻率視為概率.現在從該地大量學生中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名學生，抽取3次，若每次抽取的結果是相互獨立的，記“被抽取的3名學生中恰有1名學生是屬于比較了解的”為事件，求發生的概率.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）根據列聯表中的數據，得，所以有的把握認為對這十大科技的了解存在性別差異.（2）任抽取一名學生屬于比較了解的概率為，則事件A中學生人數服從二項分布，故.17.從4名男生和3名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量表示所選3人中男生的人數，求:（1）的分布列以及期望與方差;（2）設為事件“抽取的3人中，既有男生，也有女生”，求事件發生的概率.解：（1）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，所以，隨機變量X的分布列為0123隨機變量的數學期望，方差（2）設，所以，事件發生的概率為.18.已知函數.（1）當時，求曲線在處的切線方程;（2）若函數在區間上不是單調函數，求的取值范圍;（3）若無零點，求的取值范圍.解：（1）時，，所以在處的切線方程為（2）因為在區間上不是單調函數，所以在上有變號解，即在上有變號解.因為，所以，所以（3）因，當，即時，，所以在上單調遞減，因為，所以在上無零點，符合題意;.當時，令，則，當時，，當時，，所以的單調遞減區間是;單調遞增區間是，所以的最小值為當，即時，無零點，符合題意;當時，有一個零點，此時，不符合題意;當時，的最小值，因為，所以，使得，不符合題意;綜上所述，當時，無零點.19.已知數列an為有窮數列，且，若數列an滿足如下兩個性質，則稱數列an為m的k增數列：①；②對于，使得的正整數對有k個.（1）寫出所有4的1增數列；（2）當時，若存在m的6增數列，求m的最小值；（3）若存在100的k增數列，求k的最大值.解：（1）由題意得，且對于，使得的正整數對有1個，由于或，故所有4的1增數列有數列1，2，1和數列1，3.（2）當時，存在m的6增數列，即，且對于，使得的正整數對有6個，所以數列的各項中必有不同的項，所以且.若，滿足要求的數列中有四項為1，一項為2，所以，不符合題意，所以.若，滿足要求的數列中有三項為1，兩項為2，此時數列為，滿足要求的正整數對分別為，符合m的6增數列，所以當時，若存在m的6增數列，m的最小值為7.（3）若數列中的每一項都相等，則，若，所以數列中存在大于1的項，若首項，將拆分成個1后k