高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省臨沂市部分縣區2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.有3名男生和2名女生排成一排，女生相鄰的不同排法有（）A.36種 B.48種 C.72種 D.108種【答案】B【解析】不同排法種數為種，故選：B.2.若，且，則（）A.0.10 B.0.40 C.0.80 D.0.90【答案】D【解析】根據題意，且，則，故，故選：.3.二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數，，當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結果就越接近真實數據.用這個方法計算的近似值,可以這樣操作:．用這樣的方法，估計的近似值約為（）A.2.015 B.2.023 C.2.031 D.2.083【答案】C【解析】．故選：C．4.函數的單調遞減區間是，則（）A.6 B.3 C.2 D.0【答案】A【解析】由可得，由于的單調遞減區間是，故和是的兩個根，故，故，故選：A5.在的展開式中，含的項的系數是（）A B. C.20 D.4【答案】C【解析】根據的展開式為，1，，當時，的項的系數為1；的展開式為，1，2，3，當時，的項的系數為；的展開式為，1，2，3，，當時，的項的系數為；的展開式為，1，2，3，4，，當時，的項的系數為．故含的項的系數是．故選：C．6.某醫院需要從4名女醫生和3名男醫生中抽調3人參加社區的健康體檢活動，則至少有1名男醫生參加的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：依題意，從7名醫生中抽調3人的所有可能結果共有（種），至少有1名男醫生參加的事件包含的結果共有（種），所以至少有1名男醫生參加的概率為.方法二：抽調3人全部為女醫生的概率為，則至少有1名男醫生參加概率為.故選：C．7.已知函數，當時，有極大值．則（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】B【解析】由題意得，因為時，有極大值，所以，解得，，經檢驗，當，時，,故當在上單調遞減，當上單調遞減，故在時有極大值，符合題意，所以成立．故選：B．8.甲箱中有2個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和2個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則從乙箱中取出的是白球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據題意，若第一次從甲箱中取出的是白球，則再從乙箱中隨機取出一球，則從乙箱中取出的是白球的概率為，若第一次從甲箱中取出的是黑球，則再從乙箱中隨機取出一球，則從乙箱中取出的是白球的概率為，則再從乙箱中隨機取出一球，則從乙箱中取出的是白球的概率是．故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項創新大賽，則下列說法正確的有（）A.如果4人全部為男生，那么有30種不同的選法B.如果男生中的甲和女生中的乙必須在內，那么有28種不同的選法C.如果4人中男生女生各有2人，那么有30種不同的選法D.如果4人中至少有一名女生，那么有195種不同的選法【答案】BD【解析】對于A：只從男生中選擇4人，有種，故A錯誤；對于B：如果男生中的甲和女生中的乙必須在內，那么在剩下的8人中任選2人，共有種選法，故B正確；對于C：如果4人中男生女生各有2人，則共有種，故C錯誤；對于D：從10人中任選4人，共有種選法，排除6名男生任選4人，有種選法，故4人中至少有一名女生的選法有種，故D正確；故選：BD.10.先后拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記向上的點數分別為，，設事件“”，“為偶數”，“為奇數”，則（）A. B.C.事件與事件相互獨立 D.【答案】AC【解析】由題意可知樣本空間含個樣本點，事件，即，故A正確；顯然，故B錯誤；，而只需為奇數，即為奇數，所以，，則，故C正確；易知，則，故D錯誤.故選：AC11.關于函數，下列說法正確的是（）A.當時，有兩個零點B.當時，在上單調遞增C.若關于的方程有兩個不等實根，則D.對任意兩個正實數，且，若，則【答案】AB【解析】對于A，當時，，顯然或，故A正確；對于B，當時，，顯然時，f'x>0，故對于C，易知，則在上單調遞減，在上單調遞增，即，且時，，，所以要滿足題意，需，故C錯誤；對于D，由上及題設，易知，構造，則，因為，所以，故，即Fx在上單調遞增，，即，則，而在上單調遞增，且，，所以，故，故D錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若隨機變量，則______．【答案】【解析】由二項分布的方差公式可知.故答案為：13.已知函數，若關于的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍______．【答案】【解析】關于的方程有兩個不相等的實數根關于的方程有兩個不相等的實數根，圖象有兩個交點，令，則，函數在上為增函數，在上為減函數，又，當時，，實數的取值范圍是為．故答案為：．14.某單位安排甲、乙、丙等6人參與周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，則不同的安排方法有______種．【答案】【解析】①若甲安排在周五，則乙有3種安排方法，余下的四人四天種安排方法，合計有種方法；②同理，若乙被安排在周五，也有72種方法；③若甲、乙都不被安排在周五，則甲、乙可選周一、二、四三天中的兩天即有種方法，丙有余下四天中除周五的三天可選，即3種方法，余下三人安排余下的三天，有種方法，合計有種方法，綜上不同的安排方法共種.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在的展開式中．（1）求展開式中各項系數之和；（2）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率；（3）求展開式中系數最大的項．解：（1）令，可得展開式中各項系數之和為．（2）因為，，1，2，…，7，所以當，3，5，7時為有理項，由插空法可得有理項不相鄰的概率為．（3）設第項系數最大，則，即，解得，故此時，故所求系數最大的項是第6項，為．16.一個袋子中有10個大小相同的球，其中黃球6個，紅球4個，每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到紅球的概率；（2）對于事件,當時,證明：；（3）利用（2）中的結論，求第次都摸到紅球的概率.解：（1）記事件“第次摸到紅球”，則第2次摸到紅球的事件為，由題意可得，，所以；（2）因為，所以，得證；（3）由題意可知，，由（2）中結論，可得.17.已知函數，．（1）討論的單調性；（2）若函數有兩個極值點，求的取值范圍．解：（1）因為，所以，當時，，函數在R上是增函數，當時，令，得，即，當，，函數的減區間為，當，，函數的增區間，（2）由得，所以．令，得．設，；則，令，即，解得，當時，，當時，，所以在上單調遞增；在上單調遞減．分別作出函數與的圖象，如圖所示，由圖象可知，時，解得，函數有兩個極值點，所以當時，函數兩個極值點．18.強基計劃于2020年在有關高校開始實施，主要選拔有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生．為選拔培養對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優秀學生參加數學、物理、化學學科夏令營活動．（1）若數學組的7名學員中恰有4人來自中學，從這7名學員中隨機選取4人，表示選取的人中來自中學的人數，求的分布列和數學期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數不小于3，則取得本輪勝利．已知甲乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，．假設甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響．當時，求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值．解：（1）的所有可能取值是1，2，3，4．，，，，所以的分布列是1234P數學期望是．（2）設甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝為事件A，則，由，得．令，因為，，所以，所以，設，則，因為，當時，取得最大值．所以，當時，甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率取得最大值．19.已知函數，．（1）當時