高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省濟寧市2025屆高考模擬考試(一模)數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則集合A∩B中元素的個數為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】因為圓的圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，所以集合AB中元素的個數為2.故選：C.2.已知復數，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，則.故選：B.3.將函數的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數周期，所以函數的圖象向右平移個周期可得故選：D4.的展開式中的常數項為（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】B【解析】，的二項展開示的通項為①，②，在①式中，令得11，故的常數項為，在②式中，令得，則的常數項為，故的展開式中的常數項為，故選：B.5.甲，乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用3局2勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.7，乙獲勝的概率為0.3，且各局比賽結果相互獨立，那么在甲獲勝的條件下，比賽進行了3局的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設甲獲勝為事件A，比賽進行了3局為事件B，則，，所以.故選：C.6.設為拋物線的焦點，過的直線交于兩點，若，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】設直線的傾斜角為，過作垂直于準線于點，作于點，則，，同理可證，解得，所以，，故選：D．7.曲線與和分別交于兩點，設曲線在A處的切線斜率為在處的切線斜率為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為和互為反函數，其圖象關于直線對稱，且反比例函數的圖象也關于直線對稱，可知點關于直線對稱，設，則，設，則，由題意可得：，解得或（舍去），可得，則，所以.故選：A.8.若函數的兩個零點分別為和，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數，其中銳角由確定，由，得，而，因此，即，則，即，于是，所以.故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知等比數列的前項和為，且為等差數列，且，記集合中元素的個數為，數列的前項和為，則下列結論正確的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】對于A，設等比數列的公比為，由，得，兩式相減得，即所以，又，解得，所以，正確；對于B，設等差數列的公差為，由，得，解得，所以，正確；對于C，由，得，則集合中元素的個數為，即，錯誤；對于D，，正確．故選：ABD10.在中，內角的對邊分別為，且，則下列結論正確的是（）A. B.外接圓的面積為C.面積的最大值為 D.周長的最大值為【答案】BCD【解析】對于選項A：因為，由余弦定理可得，整理可得，則，且，所以，故A錯誤；對于選項B：由正弦定理可得外接圓的半徑，所以外接圓的面積為，故B正確；對于選項C：由可得，且，即，解得，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為，故C正確；對于選項D：由可得，即，且，即，解得，即，當且僅當時，等號成立，所以周長的最大值為，故D正確；故選：BCD.11.若雙曲線的左，右焦點分別為，過的右支上一點作圓的切線，切點為，則下列結論正確的是（）A.若，則的面積為9B.若為圓上的一動點，則的最小值為3C.四邊形面積最小值為D.的最小值為【答案】BC【解析】圓的圓心為，半徑為1，雙曲線的焦點，對于A，由雙曲線焦點三角形的面積公式可得，故A錯誤；對于B，由雙曲線的定義可得，當三點共線時取等號，故B正確；對于C，，所以當最小時，四邊形的面積最小，由雙曲線的性質可得當點位于右頂點時，最小，所以，所以四邊形面積的最小值為，故C正確；對于D，，當時取等號，但，所以取不到等號，故D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數是奇函數，則實數______．【答案】1【解析】因為，可知函數的定義域為，且函數是奇函數，則，解得，則，又因為，即，可知函數是奇函數，所以符合題意.故答案為：1.13.已知正四棱臺的高為3，其頂點都在同一球面上．若該球的半徑為5，球心在正四棱臺的一個底面上，則該正四棱臺的體積為______．【答案】122【解析】因為球心在正四棱臺的一底面上，設球心所在底面為下底面，正四棱臺的高為3，球半徑為5，連接球心與正四棱臺上底面一頂點，以及球心與上底面中心，構成直角三角形，設上底面邊長為，則上底面中心到頂點距離為根據勾股定理，即，解得，因為球心在下底面，下底面中心到頂點距離就是球半徑5，設下底面邊長為，則，解得，根據正四棱臺體積公式（其中是高，是下底面積，是上底面積），下底面積，上底面積，已知高，則體積故答案為：12214.，若恒成立，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】在上恒成立當時，即解得，此時.令則，①當時，．在上單調遞增，恒成立，恒成立，；②時．在上單調遞減，在上單調遞增，解得與矛盾，舍去；綜上所述，的取值范圍為故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步簽．15.為了解高三，1班和2班的數學建模水平，現從兩個班級中各隨機抽取10名學生參加數學建模能力比賽（滿分100分），成績如下：數據Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；數據Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95．（1）求數據Ⅰ（高三，1班）的第80百分位數；（2）從上述成績在60分以下的學生中隨機抽取3人作下一步調研，設被抽到的3人中來自于高三，2班的學生人數為，求的概率分布列和數學期望．解：（1）將數據Ⅰ從小到大排列：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92，因為，所以數據Ⅰ的第80百分位數為.（2）數據Ⅰ中60分以下的有54分，58分；數據Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分；即符合題意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人.可知X的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以X的概率分布列為X123P數學期望.16.底面為菱形的四棱錐中，與交于點，平面平面，平面平面．（1）證明：平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為四邊形為菱形，所以⊥，因為平面平面，為交線，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，因為平面平面，為交線，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，因為，平面，所以平面；（2）解：由（1）知，兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，則，，設，，則，，設平面的一個法向量為，，令得，故，直線與平面所成角的正弦值為，即，化簡得，負值舍去，則，平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，，所以平面與平面夾角余弦值為.17.已知數列和滿足．（1）求數列和的通項公式；（2）設數列的前項和為，求證：．（1）解：因為，可得，即，可知數列為常數列，則，所以；又因為，則有：若，可得；若，則，兩式相減得；且符合上式，所以.（2）證明：由（1）可知：，可得，顯然，所以.18.已知橢圓的離心率為分別為的左．右頂點，為的上頂點，且．（1）求的方程；（2）過的右焦點作斜率不為0的直線交于兩點，設直線與交于點．①證明：點在定直線上；②求的最大值．解：（1）由題意知，，所以，即．又，所以，所以．所以的方程為．（2）①由于直線過點且斜率不為0，所以可設直線的方程為．由得，設，則，所以．因為橢圓的左，右頂點分別為，所以直線的方程為，直線的方程為，聯立直線與的方程得,解得，所以點在定直線上．②設直線的傾斜角分別為，則，由①知，所以，所以當且僅當時取等號，所以的最大值為．19.已知函數的圖象上存在兩點，記直線的方程為，若直線恰為曲線的一條切線（為切點），且（為的定義域），則稱函數為“切線支撐”函數．（1）試判斷函數是否為“切線支撐”函數．若是，求出一組點；否則，請說明理由；（2）已知為“切線支撐”函數，求實數的取值范圍；（3）證明：函數為“切線支撐”函數．（1）解：,顯然，令，得，即，所以是的極小值點，且為曲線得一條切線，所以函數是“切線支撐”函數，可取.（2）解：當時，，所以在上為增函數，所以切點不可能都在軸的右側；當時，，所以在上為增函數，所以切點不可能都在軸的左側；所以切點必在軸的兩側.不妨設，，當時，，所以點處的切線方程為，即；當時，，所以點處的切線方程為，即，