TOC\o"13"\h\u立體幾何4 100幾何法解決二面角大題 100向量法解決二面角大題 101含普通參數(shù)的向量法 109點(diǎn)在線上的設(shè)法 114其它含參數(shù)的向量法 118向量法在小題中的應(yīng)用 120建基底法 122面面垂直時(shí)射影必在交線上 123直線與圓錐母線夾角 123反證法 127比劃來(lái)比劃去的問(wèn)題 128文檔檢索使用方法：WPS打開(kāi)本文檔后，點(diǎn)擊右上角“章節(jié)導(dǎo)航”，再點(diǎn)擊左上角“目錄”。即可開(kāi)啟強(qiáng)大的知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)檢索功能。本文檔筆者十年持續(xù)更新，每一知識(shí)點(diǎn)題作者都親自做過(guò)。覆蓋所有新高考內(nèi)容所需，可在WPS打開(kāi)文檔后點(diǎn)擊查詢(xún)“向量法解二面角大題”等字樣快速檢索到高考所需題型。是高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)必備神器，是高中學(xué)生實(shí)現(xiàn)快速進(jìn)步的高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)題型寶典。本專(zhuān)輯每年更新一次，持續(xù)更新。如需高考數(shù)學(xué)教師備課學(xué)生備考分類(lèi)試題庫(kù)（2025年版）專(zhuān)輯中的其它文檔，歡迎進(jìn)入專(zhuān)輯。立體幾何4幾何法解決二面角大題練習(xí)1.1：如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱，。求二面角的大小。解：利用兩次勾股定理得，。所以平面。故①，②。由①②得平面。故。所以為所求角。KEY：練習(xí)1.2：如圖，在正方體中，求二面角的大小。解：因?yàn)椋Ｋ詾槎娼堑钠矫娼恰EY：練習(xí)2：在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，是的中點(diǎn)，底面，，求二面角的大小。解：因?yàn)榈酌媸橇庑危堑闹悬c(diǎn)，所以①，又因?yàn)棰凇Ｓ散佗诘闷矫妗９省Ｋ詾槎娼堑钠矫娼恰EY：練習(xí)3（改編）：如圖，三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)棱，，，求二面角的余弦值。解：設(shè)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，由等腰三角形三線合一得①。由勾股定理的逆定理得②。由①②得即二面角的平面角。，，。由勾股定理的逆定理得，故。KEY：練習(xí)4（無(wú)法建系）：如圖，在三棱錐P－ABC中，PC⊥AC，且PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC＝1。求二面角P－AC－B的正弦值。解：取中點(diǎn)，中點(diǎn)。連，，容易證明：，。則為所求角。。，。利用余弦定理可得。KEY：練習(xí)5（方法三）：已知矩形ABCD，PD⊥平面ABCD，AD=，DC=1，PC與平面ABCD成45°角，則平面ABP與平面PCD所成的角的大小為。KEY：60°向量法解決二面角大題例1：如圖，在四棱錐中，平面平面；，，，。求二面角的大小。KEY：。練習(xí)1.1（幾何法）：已知四棱錐的底面是正方形，底面，且。（1）求二面角APBC的大小；（2）求二面角APBD的大小；求面PAD與面PBC所成的角的大小。解：方法一（幾何法）：（1）使用定義。（2）使用幾何法二。設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，連AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)A作AE⊥PB交PB于E，連OE。∠AEO即所求角，由△BOE∽△BPD得OE=，。∴∠AEO=，（3）（補(bǔ)形法）補(bǔ)成正方體。方法二（向量法）：KEY：（1）120°（2）60°（3）45°練習(xí)1.2（25年3月成都二模第2道大題第3小題）：已知四棱錐的底面是正方形，底面，且。求平面與平面的夾角的大小。KEY：60°練習(xí)1.3：已知四棱錐PABCD的底面是長(zhǎng)方形，PD⊥底面，且PB=2，PB與平面PCD所成的角為45°，PB與平面ABCD所成的角為30°，求二面角CPBD的余弦值。解：[本題即可使用向量法也可使用幾何法，幾何法如下：]∠PBD=30°，使用方法二，連BD，過(guò)C作CE⊥BD交BD于E，過(guò)C作CF⊥PB交PB于F，連EF。則∠CFE即所求角。利用等面積法求得，由等腰直角三角形求得CF=1，∴，，KEY：練習(xí)1.4：已知四棱錐PABCD的底面是菱形，,△PAD為等邊三角形，平面PAD垂直于平面ABCD。求二面角ABCP的大小。解：取AD中點(diǎn)O，連PO、BO，則,，∴∴BD⊥BC①。易證：AD⊥PD，AD⊥BD。∴AD⊥面PBD，∴BC⊥面PBD，∴PC⊥BC②。由①②得，即所求角。易證△PBD為等腰直角三角形。KEY：45°練習(xí)1.5（改編）如圖，側(cè)棱垂直底面的四棱柱中，，，是的中點(diǎn)。是的中點(diǎn)。，，求二面角大小的正切值。解：方法一（幾何法）：即所求角。方法二（向量法）：KEY：練習(xí)2.1（現(xiàn)成墻角）：如圖，在幾何體中，四邊形是梯形，，，平面，，，。求二面角的余弦值。解：以為原點(diǎn)建系，為軸，為軸，為軸。平面的法向量。平面的法向量。KEY：練習(xí)3：如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，⊥平面，垂足落在線段上。已知，，，。求二面角的大小。解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，豎起來(lái)為軸建系。則，，，。，，。平面的法向量，平面的法向量。KEY：練習(xí)4（22年全國(guó)高考1卷第3道大題第2小題）：如圖，直三棱柱的體積為，△的面積為。設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1解：因?yàn)檎叫危省Ｓ擅婷娲怪钡闷矫妗Ｋ寓伲忠驗(yàn)橹比庵寓凇Ｓ散佗诘闷矫妫省ＴO(shè)，。則；。解得。以為軸，為軸，為軸建系。KEY：練習(xí)5（22年全國(guó)高考2卷第4道大題第2小題）：如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點(diǎn)。若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C?AE?B的正弦值。解：記線段的中點(diǎn)為，由兩次勾股定理得，故。以為軸，為軸，豎起來(lái)為軸建系。則，。計(jì)算得平面的法向量，平面的法向量。故。KEY：練習(xí)6.1（坐標(biāo)平面的法向量）：已知點(diǎn)，分別在正方體的棱，上，且，，求平面與平面所成的二面角的正切值。解：以為軸，為軸，為軸。平面的法向量，平面的法向量。KEY：練習(xí)6.2：已知直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，三棱柱的高。為棱的中點(diǎn)，記△與平面所成的銳二面角為，△與平面所成的銳二面角為，求的值。解：方法一（向量法）：以為軸，為軸，豎起來(lái)為軸。平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量。，。方法二（二面角幾何法二）：“與平面所成的銳二面角”等價(jià)于“與平面所成的銳二面角”。過(guò)作交于點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)。容易證明，。。KEY：練習(xí)6.3（略難）：如圖，在三棱臺(tái)中，已知平面平面，，，，，求二面角的余弦值。解：方法一（云朵的運(yùn)動(dòng)）：以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，豎起來(lái)為z軸。由三棱臺(tái)的相似比得，∴，。計(jì)算得。方法二（坐標(biāo)平面的法向量）：以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建系。面的法向量，面的法向量。KEY：（方法二簡(jiǎn)單）練習(xí)7：如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A—PB—C的余弦值。解：先證明AB⊥平面PAD可得平面PAD⊥平面ABCD，在AD中點(diǎn)建系，記，，，。KEY：練習(xí)8.1：練習(xí)8.2（略難，射影定理）：如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值。解：取BC中點(diǎn)E，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸建系。則，（利用PB中點(diǎn)公式）。在平面中畫(huà)出△APC，利用等面積法求得，由初中射影定理求得，再由勾股定理求得。故。故面的法向量，面的法向量，KEY：例2（面面垂直時(shí)射影必在交線上）：已知四棱錐的展開(kāi)圖如下，其中四邊形為直角梯形，，，，△為正三角形，是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值。解：由展開(kāi)圖知，，由勾股定理得①。又四邊形為直角梯形，，故②。由①②得平面。故平面平面。如圖建系，，，，，，，平面的法向量。平面的法向量。KEY：練習(xí)1（坐標(biāo)平面的法向量）：在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，，，，為線段的中點(diǎn)。求二面角的正切值。解：在△中由初中幾何知識(shí)得，∴①②，由①②得平面，∴平面平面。∴點(diǎn)在底面的投影在上。又平面得。由勾股定理得。又，∴點(diǎn)在底面的投影為中點(diǎn)。以為軸，為軸，豎起來(lái)為軸。∴，，，。面的法向量，面的法向量。。KEY：練習(xí)2：如圖，在三棱錐A-BCD中，△ABD，△BCD均為正三角形，且二面角A-BD-C為120°，求二面角B-AD-C的余弦值。解：取中點(diǎn)，為軸，為軸，豎起來(lái)為軸。則，，，。平面的法向量，平面的法向量。KEY：練習(xí)3.1（找墻建系——直角，勾股定理，24年全國(guó)高考甲卷理科第3道大題第2小題）：如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)。求二面角的正弦值。解：記為線段的中點(diǎn)，由等腰梯形關(guān)系知，。所以為二面角的平面角。利用邊長(zhǎng)關(guān)系以及勾股定理逆定理知。故可以為軸，為軸，為軸建系。，，，。平面的法向量，平面的法向量。。KEY：練習(xí)3.2（24年全國(guó)高考2卷倒數(shù)第3道大題第2小題）：如圖，平面四邊形中，，，，，，點(diǎn)，滿足，。將△沿翻折至△，使得。求面與面所成的二面角的正弦值。解：容易求得，，。故，又，所以平面。以為軸，為軸，為軸建系。，，，，。（可畫(huà)平面圖形求點(diǎn)坐標(biāo)）。平面的法向量，平面的法向量。。KEY：例3（法向量必須一內(nèi)一外）：如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AB=2BC=2，△PAB是正三角形，且平面ABC⊥平面PCD。O是CD的中點(diǎn)。求證：BO⊥PA求二面角BPAD的余弦值。解：（方法一：向量法）易求得四棱錐的各邊長(zhǎng)度。如圖建立直角坐標(biāo)系。（1）易證（2）求出面BPA的外法向量，面PAD的內(nèi)法向量，即得<通過(guò)肉眼很難發(fā)現(xiàn)這是鈍角，故取法向量時(shí)必須一內(nèi)一外。>（方法二：幾何法）(1)取AP中點(diǎn)F，連結(jié)OF，利用F往底面作投影，使用勾股定理求得OF=1。在△OFP中，利用勾股定理逆定理可證AP⊥FO，又三線合一得AP⊥BF。∴AP⊥BO（2）延長(zhǎng)BO與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)EF。易證∠BFE即所求角。KEY：（1）略（2）練習(xí)1：如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，平面ABEF為正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60°。求二面角EBCA的余弦值。解：易證AF⊥面CDFE，BE⊥面CDFE。∠DFE=∠CEF=60°，以FA為x軸，F(xiàn)E為y軸，豎起來(lái)為z軸建系。考慮法向量一內(nèi)一外。KEY：－eq\f(2\r(19),19)練習(xí)2：如圖，在三棱柱中，，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。求二面角的平面角的余弦值。解：在A點(diǎn)建系，豎起來(lái)為z軸。KEY：練習(xí)3（云朵的運(yùn)動(dòng)）：如圖，△與等邊△所在的平面互相垂直，，為線段的中點(diǎn)，。直線與平面交于點(diǎn)，。求二面角的平面角的余弦值。解：∵，∴平面，由線面平行性質(zhì)定理得，由公理4得，∴是線段的中點(diǎn)。以為軸，為軸，豎起來(lái)為軸。，，，，，，，，。平面的法向量（內(nèi)），平面的法向量（外）。KEY：練習(xí)4（翻折）：如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，，將正方形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐，求三棱錐體積最大時(shí)的二面角的余弦值。解：以為軸，為軸，為軸。平面的法向量，平面的法向量。KEY：例4（與線面角幾何法相結(jié)合）：如圖，在直三棱柱中，平面平面，且，直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角的大小。解：連，由正方形得，又∵平面平面，∴平面。∴①，又②（直三棱柱），由①②得平面。∴。故以為原點(diǎn)建系，為軸，為軸，為軸。平面的法向量，平面的法向量。∴。KEY：練習(xí)1（一內(nèi)一外）：如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且垂直于底面。，。若直線與平面所成角為。求二面角的余弦值。解：取棱中點(diǎn)。易證四邊形是矩形，故。直線與平面所成角為即。所以。以為軸，為軸，豎起來(lái)為軸建系。，，，。平面的法向量（內(nèi)）為，平面的法向量（外）為。KEY：例5（暴力計(jì)算）：練習(xí)1.1（含垂直的暴力計(jì)算，23年杭州一模第3道大題第2小題）：在三棱錐中，底面△為等腰直角三角形，且，，，求平面與平面夾角的余弦值。解：方法一（一眼看出坐標(biāo)）：方法二（幾何法）：方法三（補(bǔ)形法）：KEY：含普通參數(shù)的向量法例1（動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）：如圖，為正方形，為直角梯形，∠PDC=90°，平面⊥平面，且PD=AD=2EC=2，若Q為EC邊上的動(dòng)點(diǎn)，求直線BQ與平面PDB所成角正弦值的最小值。解：以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，面PDB的法向量為，最小為。KEY：練習(xí)1：如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，點(diǎn)P是CD上的一點(diǎn)，，A1C⊥平面PBC1，求λ的值。（方法二略簡(jiǎn)單）解：方法一（比值）：在C點(diǎn)建系，為軸，為軸，為軸。∵，∴。∴，，。易求平面的法向量。方法二：設(shè)，，。平面的法向量為，，∴。∴。KEY：練習(xí)2.1（二面角）：如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB，已知BC＝2AD＝2AB＝2。若二面角A－ED－B的大小為30°，求EC的長(zhǎng)度。解：在B點(diǎn)建系，設(shè)，則面AED的法向量為。面BED的法向量為。KEY：1DABEFC練習(xí)2.2（坐標(biāo)平面）：如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，。當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)DABEFC為何值時(shí)，二面角的大小為？解：過(guò)作交于點(diǎn)。則，所以，。在直角△中得，故。以為軸，為軸，為軸。，，，。平面的法向量，平面的法向量。。KEY：練習(xí)2.3：如圖，在三棱柱中，平面，，，為棱的中點(diǎn)，在棱上，是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角為？若存在，求出，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：以為軸，為軸，為軸，設(shè)，，，，平面的法向量，平面的法向量，。KEY：練習(xí)2.4：如圖，在三棱錐中，AB⊥AC，，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，，，，Q為線段上不同于端點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)。（1）求證：AC⊥DQ（2）若二面角的大小為60°，求。解：（1）易證AC⊥面PDE。（2）,,,∴DE⊥PE。∴E為墻角（也可由得到點(diǎn)在底面的投影為△的外心，即點(diǎn)）。面BAQ的法向量。面AQE的法向量。∴。KEY：練習(xí)2.5（23年全國(guó)高考1卷第2道大題第2小題）：如圖，在正四棱柱中，已知，，點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，，，。點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求。解：在點(diǎn)建系，以為軸，為軸，為軸。則，，，。，，。平面的法向量。平面的法向量。故或。KEY：練習(xí)2.6：如圖，在正四棱柱中，已知知，，點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，，，。點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求。KEY：練習(xí)2.7（初中射影定理）：如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，，，，垂足為。二面角的大小為，求側(cè)棱的長(zhǎng)。（方法一簡(jiǎn)單）解：方法一（向量法）：以A為原點(diǎn)，以AB，AC，AP所在射線分別為的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)，則，，，，。在△中使用使用勾股定理求得，再使用等面積法求得。過(guò)作交于點(diǎn)。在△中使用初中射影定理得：。再用一遍射影定理得。∴。容易證明平面。∴平面的一個(gè)法向量為，平面的法向量。根據(jù)夾角解得。方法二（幾何法，不容易想到）：容易證明平面。∴為，∴為。易證平面，∴。∴∠即二面角的平面角，∴∠。在直角△中求得。在直角△中求得。在△中使用初中射影定理得。再用一遍射影定理得。KEY：練習(xí)3（21年全國(guó)高考1卷第4道大題第2小題）：如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)。若△是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積。解：由三線合一得：，由面面垂直的性質(zhì)定理得：平面。記線段的中點(diǎn)為，以為軸，為軸，豎起來(lái)為軸建系。設(shè)，，，，。平面的法向量，平面的法向量，。體積。KEY：練習(xí)4：如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，側(cè)面底面。點(diǎn)在平面上的射影恰好為△的重心，求的值。解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建系。設(shè)，則，，。∴為△的重心。。由得。KEY：例2（動(dòng)點(diǎn)為原點(diǎn)24年全國(guó)高考1卷第3道大題第2小題）：如圖，四棱錐中，底面，，，，。，且二面角的正弦值為。求。解：因?yàn)樗蠖娼桥c點(diǎn)無(wú)關(guān)，與點(diǎn)有關(guān)。所求長(zhǎng)度為，故以為軸，為軸，豎起來(lái)為軸建系。設(shè)。則，，，。，。平面的法向量。平面的法向量。。KEY：例3（較難）：已知在四面體中，△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，。二面角的平面角與二面角的平面角互余，求四面體的體積。解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，豎起來(lái)為軸，設(shè)，，由。平面的法向量，平面的法向量，。平面的法向量，平面的法向量，，所以。解得。故體積為。（注：若使用，將得到等式，若同乘分母，將出現(xiàn)六次方，難以計(jì)算，應(yīng)該移項(xiàng)后約分。）KEY：點(diǎn)在線上的設(shè)法例1（原創(chuàng)）：在空間直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________________。KEY：練習(xí)1（原創(chuàng)）：在空間直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)為線段靠近的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________________。解：。KEY：練習(xí)2（原創(chuàng)）：在空間直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________________。解：設(shè)，。。KEY：例2（已知比例）：如圖，已知正方形和梯形所在的平面互相垂直，，，，∥，，，求異面直線與所成角的余弦值。解：方法一：在點(diǎn)建系，利用定比分點(diǎn)或相似三角形求得：。。方法二（回路法）：設(shè)由面面垂直性質(zhì)定理得平面。故可為軸，為軸，為軸。，，。，。KEY：練習(xí)1（云朵的運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)平面的法向量）：如圖，已知四棱錐，平面，，，正△與正△所在平面互相垂直。。求與平面所成角的正弦值。解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，。∴，，所以（事實(shí)上點(diǎn)在底面的投影為線段的中點(diǎn)，由此，也可利用初中幾何法確定點(diǎn)的坐標(biāo)）。由定比分點(diǎn)公式得：所以。∴，。因?yàn)槊娴囊粋€(gè)法向量是。設(shè)與平面所成的角為，則。所以。KEY：例3（含參，略難）：如圖，ABCD為平行四邊形，∠A=60°，AB=6，點(diǎn)E在CD上，BD⊥AD，BD交EF于點(diǎn)N，且，現(xiàn)將四邊形ADEF沿EF折起，使點(diǎn)D在平面BCEF上的射影恰為點(diǎn)B。則在折后圖形中，直線上是否存在點(diǎn)G，使得BG∥平面EDC，若存在，請(qǐng)求出直線CG與平面EDC所成角的正弦值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：方法一（相似）：在折后圖形中，以BN為x軸，BC為y軸，BD為z軸建系。我們不妨設(shè)FN=1，則，由相似得，面EDC法向量。，∴。方法二（回路法）：以為軸，為軸，為軸建系。，，，，，設(shè)，則。∴，平面的法向量。∴。∴，∴。KEY：練習(xí)1：如圖，在三棱錐中，，D為線段的中點(diǎn)，平面，垂足落在線段上，已知，，，。在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角為直二面角？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：方法一（相似）：取靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸。記在平面上的射影為，設(shè)，則由相似得：。∴，，，。，，。∴平面的法向量，平面的法向量。。。方法二（回路法）：同方法一建系，設(shè)（），則。∴。，，。∴平面的法向量，平面的法向量。。。KEY：3練習(xí)2.1：如圖，△外接圓的直徑，垂直于外接圓所在的平面，∥，，，。試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：見(jiàn)練習(xí)2.2。KEY：練習(xí)2.2：如圖，△的外接圓半徑為，垂直于外接圓所在的平面，∥，，，，。試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（方法二最麻煩，推薦使用方法五）解：方法一（一次相似）：是直徑。∴。以為軸，為軸，為軸建系。設(shè)。過(guò)作交于，過(guò)作交于。由相似得。，。面的法向量為，，。即為三等分點(diǎn)。方法二（兩次相似）：設(shè)。延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過(guò)作垂直于交于點(diǎn)。由相似得，。方法三（直線方程）：通過(guò)直線的一次函數(shù)表達(dá)式求出。方法四（定比分點(diǎn)）：方法五（回路法）：，，，設(shè)，故。，，平面的法向量。或（舍，∵），∴即為三等分點(diǎn)。KEY：練習(xí)3（坐標(biāo)平面法向量）：如圖，四邊形為矩形，平面⊥平面，，，，，點(diǎn)在線段上，二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)度。解：由面面垂直的性質(zhì)定理得：⊥平面。以為軸，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系。，，，設(shè)，則。∴。平面的法向量，平面的法向量。，交叉相乘得（注：）。∴。KEY：其它含參數(shù)的向量法例1：在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，側(cè)面PAB⊥底面。。證明：平面PBC⊥平面PCD。證明：方法一（向量法）：以A點(diǎn)為原點(diǎn)建系，，面PBC的法向量，面PCD的法向量，∴。方法二（幾何法）：延長(zhǎng)BA,CD交于點(diǎn)M，∵M(jìn)P⊥PB，MP⊥BC，∴MP⊥面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD。證畢。練習(xí)1（較難）：如圖，四面體ABCD中，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，二面角B﹣AC﹣D的大小為，求AD的長(zhǎng)。解：取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建系。易證平面平面。∴點(diǎn)在底面的投影在直線上，又∵，故，可設(shè)，，，。∴平面的法向量為，平面的法向量。∴或（舍，否則為負(fù)）∴KEY：例2（需要設(shè)未知數(shù)）：如圖，在四面體中，平面。。是的中點(diǎn)，若二面角的大小為，求的大小。解：方法一（三角參數(shù)）：以CB為x軸，CD為y軸，豎起來(lái)為z軸建系。設(shè)。則，，，，面BCM的法向量，面BMD的法向量。由二面角的大小可推出。方法二（普通參數(shù)）：以為原點(diǎn)建系，設(shè)，。KEY：60°例3：如圖，平面⊥平面，是以為斜邊的等腰直角三角形。，，分別為，，的中點(diǎn)，，。證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使⊥平面，并求點(diǎn)到，的距離。解：方法一（向量法）：以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建系。，，平面的法向量。，設(shè)。。，。在△內(nèi)。方法二（找墻法）：過(guò)作交于點(diǎn)。容易證明平面。∴平面平面，∴平面。連，記線段的中點(diǎn)為，由中位線知。下面，我們?cè)凇髦杏?jì)算點(diǎn)的具體位置。以為軸，為軸建系。，。直線的方程為。令，得，即。故到的距離為，到的距離為。KEY：到距離為，到的距離為。KEY：向量法在小題中的應(yīng)用例1：如圖，在底面是邊長(zhǎng)為的正方形的四棱錐中，已知平面，且，則直線與平面所成角的余弦值為_(kāi)_______。解：建系即可。KEY：練習(xí)1：已知正四棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于__________。KEY：練習(xí)2.1（正方體）：已知棱長(zhǎng)為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________。KEY：練習(xí)2.2：已知正方體中，點(diǎn)滿足，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________。解：以為軸，為軸，為軸。，，，。，。KEY：練習(xí)3：已知正四棱臺(tái)中，上底面邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱與底面所成的角為，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________。解：將正四棱臺(tái)補(bǔ)成正四棱錐。如圖，，由側(cè)棱與底面所成的角為知補(bǔ)成的正四棱錐的高為，又正四棱臺(tái)上底邊長(zhǎng)是下底的一半，故由中位線知正四棱臺(tái)的高為。求出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)使用向量法即可求得余弦值。KEY：（如有需要，請(qǐng)聯(lián)系文檔作者微信號(hào)：2539542373）練習(xí)4：已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，頂點(diǎn)在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_______。解：作出右圖。設(shè)。則∥。即與的夾角。KEY：練習(xí)7（球）：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的表面上，△是邊長(zhǎng)為的正三角形，且。，分別是，的中點(diǎn)，，則球的體積為。解：將△放在同一緯度線上，放在北極點(diǎn)。以△外接圓的圓心建系，記中點(diǎn)為，以為軸，為軸，與軸同向。則，，，，。，。。由勾股定理得。KEY：練習(xí)8：如圖，正方體，點(diǎn)，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則平面與平面所成的角可能是（）B.C.D.解：通過(guò)建系容易求得當(dāng)與重合時(shí)二面角的余弦值為。當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)二面角的余弦值為。由于變化的連續(xù)性，故中間必有直角。筆者通過(guò)建系函數(shù)值域與幾何畫(huà)板驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)二面角余弦值的范圍就是，故ABC都不可能。只有D有可能。KEY：D練習(xí)10（較難）：如圖，棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，三條棱,,都在平面的同側(cè)。若頂點(diǎn)B,到平面的距離分別為，。則平面與平面所成銳二面角的余弦值為。解：過(guò)B，C向平面作垂線，分別交平面于。由勾股定理得，，。在直角梯形中求得。以為原點(diǎn)，為軸，則，利用余弦定理與平面幾何知識(shí)可求得，故平面的法向量，平面的法向量。KEY：練習(xí)11（難）：如圖，正四面體，在平面內(nèi)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，將該四面體繞直線旋轉(zhuǎn)一周（正四面體可以旋轉(zhuǎn)到平面下方），則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為_(kāi)___________。解：由相對(duì)運(yùn)動(dòng)知正四面體繞轉(zhuǎn)一圈相當(dāng)于平面繞轉(zhuǎn)一圈。以點(diǎn)在底面的投影為原點(diǎn)，為軸，為軸，方向?yàn)檩S正方向建系。設(shè)邊長(zhǎng)為，則，，，，。，，由于平面繞旋轉(zhuǎn)，∴平面的法向量始終垂直，故平面的法向量，故，使用求導(dǎo)求極限法或者判別式法設(shè)∴的值域包含∴。KEY：建基底法例1（夾角）：如圖，在平行六面體中，，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)。求與的夾角。解：以向量，，為基底，則。。化簡(jiǎn)后為。KEY：練習(xí)1：如圖，在三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于，。求異面直線與所成角的余弦值。解：以，，為基底。。。，，平方得。KEY：例2（模長(zhǎng)）：如圖，在平行六面體中，，，，，，求。解：，兩邊平方即可。KEY：面面垂直時(shí)射影必在交線上例1：如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部解：∵平面面ABC⊥面ABC1，故射影在交線AB上。KEY：A例2（改編）：如圖，已知正四棱錐的底面放在平面內(nèi)。，現(xiàn)將該四棱錐繞直線旋轉(zhuǎn)（），點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)________。解：取AB中點(diǎn)N，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，平面PMN始終垂直α（∵AB⊥MN，AB⊥PN，故AB⊥面PMN）又∵M(jìn)作α的垂線段與PO平行，故共面，而N在這個(gè)平面內(nèi)。故PMNO四點(diǎn)共面。由△PMN為正三角形知，∠PNM為60°。當(dāng)P的投影O與N重合時(shí)，OM為2，此時(shí)旋轉(zhuǎn)了30°，在此之前都小于2（大角對(duì)大邊）。故最大值必在如圖情形取到。設(shè)∠PNO=則在△OMN中使用余弦定理得故當(dāng)向右旋轉(zhuǎn)45°時(shí)OM取到最大值。KEY：直線與圓錐母線夾角例1：在等腰梯形ABCD中，已知AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，將△ABD沿直線BD翻折成△，如圖，則直線與CD所成角的取值范圍是（）A.B.C. D.解：容易求得這是底角為的等腰梯形，，故點(diǎn)翻折到底恰好在邊上，旋轉(zhuǎn)后直線形成圓錐的側(cè)面，過(guò)點(diǎn)作直線。由直線與圓錐母線夾角結(jié)論知。由于直線夾角最大，故選A。KEY：A練習(xí)1：如圖，在菱形中，，，分別是邊，，的中點(diǎn)。將△沿翻折，在翻折過(guò)程中設(shè)二面角的大小為，則（）A.B.C.D.解：令=0和π即可排除A，C，D。B：在翻折過(guò)程中形成圓錐面的母線（∵到的距離長(zhǎng)度不變）。。，，三點(diǎn)共線，由兩條相交直線確定一個(gè)平面得：，而是等腰△的頂角，是等腰△的頂角。腰。∴，∴。（也可直接使用現(xiàn)成立體幾何知識(shí)點(diǎn)定理（12）。）KEY：B練習(xí)2：如圖，在菱形中，，線段，的中點(diǎn)分別為，。現(xiàn)將△沿對(duì)角線翻折，則異面直線與所成角的取值范圍是（）A.B.C.D.解：不翻折時(shí)，剛好60°。面面垂直時(shí)剛好90°。大題解法使用“直線與圓錐母線夾角結(jié)論”。KEY：C練習(xí)3：如圖，矩形與所成的二面角的平面角的大小是，，，現(xiàn)將△繞旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線與平面所成角的取值范圍為_(kāi)___________。解：方法一（小題巧解，80%）：將△繞旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)圓錐面。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐的底面圓。猜測(cè)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至平面內(nèi)時(shí)取得最值。而。由“直線與圓錐母線夾角結(jié)論”知。猜測(cè)答案為。方法二（大題解法）：過(guò)動(dòng)點(diǎn)作一條與平行的直線，該直線上的點(diǎn)到平面的距離相等。記圓錐底面圓面與平面的交線為。由“直線與平面距離結(jié)論”知當(dāng)直線越靠近時(shí)，距離平面越近。∴離平面最近，離平面最遠(yuǎn)。由于母線長(zhǎng)度相等，故離平面越近，線面角越小。故與平面所成角最小，為，最大為與平面所成的角，為。KEY：練習(xí)4：在直角梯形中，，，。將△沿向上翻折到△，使點(diǎn)在平面上的射影落在線段上（不含端點(diǎn)），設(shè)異面直線與平面所成的角的大小為，二面角的大小為，直線與平面所成的角的大小為，二面角的大小為，有下面命題：①；②；③。則其中正確的命題序號(hào)是________。解：容易證明：。①翻折過(guò)程中點(diǎn)形成以為圓心，，為半徑的四分之一圓弧。該圓弧與點(diǎn)連接形成一個(gè)四分之一圓錐。由圓錐兩母線夾角的變化規(guī)律得越大時(shí)，兩母線夾角也越大。當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)正上方時(shí)，達(dá)到最大值。∴正確。②由最小角定理知。記弧的長(zhǎng)度為。由弧度制的定義得，。故。記在底面上的射影為，記。則，，∴。而。∵，故。②正確。③當(dāng)接近點(diǎn)時(shí)，接近，接近。故③錯(cuò)。KEY：①例2（折到底，改編，15°）：已知平行四邊形ABCD，，BC＝1，。是線段上一動(dòng)點(diǎn)。將△沿所在的直線進(jìn)行翻折，若存在點(diǎn)，使得在翻折過(guò)程中，存在某個(gè)位置滿足，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____________。解：只需即可，當(dāng)與重合，翻折到底時(shí)，達(dá)到最大值，此時(shí)即可。只需即可。利用正弦定理求得。KEY：例3（25年1月八省聯(lián)考最后1題第2小題）：在平面四邊形中，，，。將△沿翻折至△，其中為動(dòng)點(diǎn)。求二面角的余弦值的最小值。（方法一簡(jiǎn)單，難想到。）解：方法一（幾何法，肉眼觀察出答案）：如圖，自己作出平面四邊形，發(fā)現(xiàn)它是由一個(gè)等腰直角△與一個(gè)的等腰三角形組合而成。作出翻折后的立體圖形如圖，線段的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓錐的側(cè)面（如圖）。設(shè)是線段的中點(diǎn)，則。過(guò)點(diǎn)作平面。設(shè)二面角為，點(diǎn)到直線的距離為。由二面角幾何法二，，事實(shí)上，的最大值就是。這是因?yàn)椋?dāng)不與垂直時(shí)，也不與平面垂直，此時(shí)與不重合，是直角△的斜邊，故。當(dāng)時(shí)，平面，此時(shí)與重合，達(dá)到最大值。下面證明是可以做到的：將線段平移至點(diǎn)。根據(jù)角度關(guān)系，的范圍為。所以完全可以做到。故最大值為，最小值為。方法二（建系，含參）：設(shè)，，，，其中。，。平面的法向量，平面的法向量，所以，。求導(dǎo)。顯然折到底和不折時(shí)二面角的平面角為，角最小（點(diǎn)，都在直線同側(cè)）。所以，當(dāng)這唯一的極值點(diǎn)時(shí)角最大，的最小值為。KEY：反證法例1：如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE。若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折過(guò)程中，下面四個(gè)命題中正確的是________。①存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE；②點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)；③存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C。解：使用平行四邊形法強(qiáng)行將直線MB移入平面A1DE即可知MB一直平行平面A1DE且MB長(zhǎng)度不變。∵DE⊥CE（初中平面幾何），若DE⊥A1C，則DE⊥面A1EC，則DE⊥A1E，但∠DEA1，故不可能垂直。KEY：①②練習(xí)1：如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥BC；②EF⊥PB；③AE⊥PC。其中正確結(jié)論的序號(hào)是________。解：∵BC⊥左邊的面，故①對(duì)；故AF⊥右邊的面，∴AF⊥PB，故易證PB⊥面AEF，故②對(duì)；若AE⊥PC則AE⊥右邊的面，這與AF⊥右邊的面矛盾，KEY：①②練習(xí)2（改編）：已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝。將ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中：①存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直②存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直③存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直。其中正確結(jié)論的序號(hào)是________。解：方法一（反證法）：①過(guò)A作AE⊥BD交BD于點(diǎn)E。若BD⊥AC，則BD⊥面ACE，∴BD⊥CE，這是矛盾的。故①錯(cuò)。③若AD⊥BC，則AD⊥面ABC，故AD⊥AC。則CD為斜邊，卻小于AD。這是矛盾的。下面證明②是正確的：過(guò)作交交于點(diǎn)。由翻折定理知：點(diǎn)在底面的射影在直線上運(yùn)動(dòng)。要想使，只需使，故當(dāng)與重合時(shí)即可滿足垂直于射影，故也垂直于斜線。故②是正確的（用紙折一下也知道②是正確的。）。方法二（空間余弦定理）：由空間余弦定理可求得，。故A、C是錯(cuò)誤的。KEY：②練習(xí)3：已知四面體，，平面，于，于，則（）A.可能與垂直B.不可能與垂直C.可能與垂直D.不可能與平行解：由△≌△知，。故，排除D。由于，故排除C。假設(shè)，則，又，故平面，則，這是不可能的。故假設(shè)不成立，選B。KEY：B練習(xí)4：已知正三棱錐P－ABC，直線BC∥平面α，E，F(xiàn)，G分別是棱PA，AB，PB上一點(diǎn)(除端點(diǎn))，將正三棱錐P－ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則能與平面α所成的角取遍區(qū)間一切值的直線可能是（）EFB.FGC.EGD.EF，F(xiàn)G，EG中的任意一條解：方法一（反證法）：取中點(diǎn)，連，。易證平面。∴。假設(shè)EF滿足題意，當(dāng)EF與平面α所成的角為eq\f(π,2)時(shí)，EF⊥α，由BC∥α可得BC⊥EF。在正三棱錐中，可得BC⊥AP，當(dāng)BC⊥EF時(shí)可得BC⊥平面PAB，顯然這是不可能成立的，所以EF不滿足題意。同理，EG與BC不可能垂直，則EG與平面α所成的角不可能為eq\f(π,2)。綜上所述，可以排除A，C，D，由于始終保持與垂直，故在平面的一個(gè)垂面上轉(zhuǎn)了一圈，故可與平面α成任意角。我們只需取即可。方法二：取中點(diǎn)，連，。易證平面平面平面。而，與平面始終都不平行，故，不可能垂直平面（事實(shí)上也是一種反證法，∵垂直平面的直線都平行或在平面的垂面內(nèi)★★）。KEY：B（方法二略簡(jiǎn)單）例2：如圖，三棱錐的底面是銳角三角形，且平面，點(diǎn)是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，求證：不可能是△的垂心。證明：假設(shè)是△的垂心。則①。又∵平面，∴②。由①②得平面。∴③。∵平面，∴④。由③④得P平面。∴。。這與△是銳角三角形矛盾。∴假設(shè)不成立，∴不可能是△的垂心。證畢。比劃來(lái)比劃去的問(wèn)題例1：設(shè)直線，是空間中兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m?α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等。其中正確的命題有________。（填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)）KEY：②③④練習(xí)1.1（一定存在垂直）：已知兩個(gè)平面垂直，有下列四個(gè)命題：①一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線；③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面；④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)的任一一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面。其中正確的命題有________。（填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)）解：④錯(cuò)在若這點(diǎn)在交線上。KEY：①練習(xí)1.2：對(duì)于任意的直線與平面，在平面內(nèi)必有直線，使得直線與（）A.平行B.相交C.異面D.垂直KEY：D練習(xí)2：已知，為不垂直的異面直線，是一個(gè)平面，則，在上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)。在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是。KEY：①②④練習(xí)3：已知直線、、與平面、，滿足：，，。若直線、為異面直線，則（）直線、與都相交B.直線、至少有一條與相交C.直線、至多有一條與相交D.直線、都不與都相交KEY：B練習(xí)4：若空間中四條直線、、、滿足，∥，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.B.∥C.，既不平行也不垂直D.，的位置關(guān)系不確定KEY：D練習(xí)5：下面各命題中，正確的是（）A．過(guò)平面外一點(diǎn)作與這個(gè)平面垂直的平面有且只有一個(gè)B．若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行C．若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行D．若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都與另一個(gè)平面平行KEY：D練習(xí)6.1：在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與直線A1B1、EF、BC都相交的直線（）不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條 D．有無(wú)數(shù)條KEY：D練習(xí)6.2：若空間中三條直線兩兩成異面直線，則與這三條直線都相交的直線（）A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條 D．有無(wú)數(shù)條KEY：D練習(xí)7：已知互相垂直的平面QUOTEα，β，交于直線，若直線，滿足∥，則（）A．B．C．QUOTEn⊥lD．KEY：C練習(xí)8：對(duì)兩條不相交的空間直線與，必存在平面，使得（）A．B． C．D．KEY：B練習(xí)9：下列命題中錯(cuò)誤的是（） A．如果平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C．如果平面，平面，，那么D．如果平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解：C：在平面內(nèi)作直線平面。則，由線面平行性質(zhì)定理得。∴。KEY：D練習(xí)10.1：若直線∥平面，，那么過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線（）A.只有一條，不在平面內(nèi)B.有無(wú)數(shù)條，不一定在平面內(nèi)C.只有一條，且在平面內(nèi)D.有無(wú)數(shù)條，一定在平面內(nèi)KEY：C練習(xí)10.2：若直線不平行于平面，且，則（） A．內(nèi)的所有直線與異面 B．內(nèi)不存在與平行的直線 C．內(nèi)存在唯一的直線與平行 D．內(nèi)的直線與都相交KEY：B練習(xí)11.1（點(diǎn)線面的位置關(guān)系）：若平面平面，直線，則與的位置關(guān)系為（）A．平行B．相交C．在平面內(nèi)D.垂直KEY：A練習(xí)11.2（多選題）：若，分別是△的邊，的中點(diǎn)，與過(guò)直線的平面的位置關(guān)系可能是（）A．平行B．相交C．在平面內(nèi)D.垂直KEY：AC練習(xí)11.3：若直線平面，直線平面，則與的位置關(guān)系是（）A．平行B．相交C．異面D.以上都有可能KEY：D例2（萬(wàn)年坑）：已知直線與兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則∥B.若∥，∥，則∥C.若∥，則D.若∥，，則KEY：D練習(xí)1.1：設(shè)直線，是空間中兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若∥，∥，則∥B.若∥，∥，則∥C.若，，則D.若，，則∥KEY：D練習(xí)1.2：設(shè)直線，是空間中兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若∥，∥，則∥B.若，∥，則C.若∥，，則∥D.若，，則KEY：B練習(xí)2：下列命題中，正確的是（）A．若a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線B．若a，b是兩條直線，且a∥b，則直線a平行于經(jīng)過(guò)直線b的所有平面C．若直線a與平面α不平行，則此直線與平面內(nèi)的所有直線都不平行D．若直線a∥平面α，點(diǎn)P∈α，則平面α內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線a平行的直線有且只有一條KEY：D練習(xí)3：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4KEY：A練習(xí)4：在空間中，下列命題正確的是（）A.若平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與直線平行，則∥αB.若平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面β平行，則α∥βC.若平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與直線垂直，則⊥αD.若平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面β垂直，則α⊥βKEY：D練習(xí)5（法向量）：若α，β，γ為不同的平面，a，b，c為三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βB．若a∥β，a∥b，則b∥βC．若a∥α，b∥α，c⊥a，c⊥b，則c⊥αD．若a⊥γ，b⊥γ，則a∥bKEY：D練習(xí)6.1（一定存在垂直）：下列四個(gè)命題中正確的是（）若平面不平行于平面，則內(nèi)不存在直線平行于平面若平面不垂直于平面，則內(nèi)不存在直線垂直于平面若直線不平行于平面，則內(nèi)不存在直線平行于直線若直線不垂直于平面，則內(nèi)不存在直線垂直于直線解：C是萬(wàn)年坑，D是一定存在，而非不存在。KEY：B練習(xí)6.2：如圖，正四面體中，，均是線段的三等分點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)，使成立B.存在點(diǎn)，使成立C.不存在點(diǎn)，使平面平面成立D.不存在點(diǎn)，使平面平面成立解：一條直線一定會(huì)和平面內(nèi)某條直線垂直