2024年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試本試卷共4頁(yè).全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)并集和補(bǔ)集的定義直接計(jì)算即可.【詳解】由題意得，所以，.故選：A2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.【詳解】由，得.故選：D.3.已知M，N是圓O上的兩點(diǎn)，若，則（）A.3 B. C.9 D.【答案】B【解析】【分析】利用圓的中點(diǎn)弦的性質(zhì)，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，如圖，則，所以.故選：B4.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.的最小正周期為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象過(guò)判斷A，由圖象求出周期得出判斷BD，求出函數(shù)解析式判斷C.【詳解】由圖象可知，，故A錯(cuò)誤；由圖象知，，所以，，故BD錯(cuò)誤；因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，且在減區(qū)間上，所以，即，，解得，又，所以，即，又圖象過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，所以，故C正確.故選：C5.已知雙曲線E：（）的右焦點(diǎn)F到其一條漸近線的距離為1，則E的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】直接代入點(diǎn)到直線距離公式求出，再求離心率.【詳解】由題意可知，雙曲線焦點(diǎn)在軸，，右焦點(diǎn)到漸近線的距離，所以，，.故選：A6.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B.5 C. D.10【答案】A【解析】【分析】由組合知識(shí)可得展開式中與項(xiàng)的系數(shù)，再由多項(xiàng)式乘法公式即可得解.【詳解】由多選式乘法知，只需求出展開式中與項(xiàng)的系數(shù)，即可得解，由組合知識(shí)可知，的系數(shù)為，項(xiàng)的系數(shù)為，故在的展開式中，的系數(shù)是.故選：A7.從裝有3個(gè)白球、5個(gè)紅球的箱子中無(wú)放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)球，A表示事件“兩次取出的球顏色相同”，B表示事件“兩次取出的球中至少有1個(gè)是紅球”，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出和，再利用條件概率的公式求解.【詳解】由于我們不考慮兩次取球的順序，故可以視為從該箱子中一次性隨機(jī)取出兩個(gè)球.從而，，故.故選：D8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，，，，都有，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件通過(guò)賦值可以計(jì)算出函數(shù)的周期，再把自變量通過(guò)函數(shù)的周期性變到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再根據(jù)單調(diào)性比較大小.【詳解】由，可得，即，再令得：，所以，即函數(shù)是以為周期的函數(shù)，所以，，由可得關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)椋瑔握{(diào)遞增，所以當(dāng)，單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕?故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)2，7，4，5，16，1，21，11的中位數(shù)為5B.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，有C.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則D.已知一系列樣本點(diǎn)（，2，3，…，n）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差相等，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)概念判斷A，根據(jù)條件概率公式及相互獨(dú)立事件判斷B，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性判斷C，根據(jù)殘差概念判斷D.【詳解】對(duì)A，數(shù)據(jù)由小到大排列為，其中位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，即，所以事件A與B相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)C，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，所以，由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，，故C正確；對(duì)D，由可知，與的殘差分別為，，所以由可得，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知拋物線，直線過(guò)的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B.線段的長(zhǎng)度的最小值為4C.存在唯一直線，使得為線段的中點(diǎn)D.以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線方程就可求出準(zhǔn)線方程，即可判斷A；設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，進(jìn)而可求出，再逐一判斷BCD即可.【詳解】對(duì)于A，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，由題意可得直線的斜率不等于零，設(shè)方程為，，聯(lián)立，消得，，則，所以，所以，時(shí)取等號(hào)，所以線段的長(zhǎng)度的最小值為4，故B正確；對(duì)于C，由B選項(xiàng)得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，解得，所以存在唯一直線，使得為線段的中點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以以線段為直徑圓與的準(zhǔn)線相切，故D正確.故選：BCD.11.已知圓柱的高為，線段與分別為圓與圓的直徑，則（）A.若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，則直線與所成角為定值B.若為等邊三角形，則四面體的體積為C.若，且，則D.若，且與所成的角為，則四面體外接球的表面積為或【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，如圖①所示，為直角三角形，則與所成角即為與所成角，即為定值即可；對(duì)于B，如圖②所示，根據(jù)為等邊三角形，證明平面，則計(jì)算即可；對(duì)于CD，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算及四面體外接球即為圓柱外接球計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，如圖①所示，當(dāng)時(shí)，則,又因?yàn)椋詾橹苯侨切危遥▓A半徑），故與所成角即與所成角，即為定值，故A正確；對(duì)于B，如圖②所示，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，即，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以,，又因?yàn)椋移矫?平面,所以平面.又因?yàn)椋矗剩?故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖③所示，分別以軸，過(guò)垂直于為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?即，由B選項(xiàng)可知，則，所以,所以，所以，故C正確；對(duì)于D，如圖③所示，分別以為軸，過(guò)垂直于為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以,因?yàn)榕c所成角位，所以，解得或.設(shè)四面體外接圓半徑為，當(dāng)時(shí)，則，故外接球表面積為；當(dāng)時(shí)，則，故外接球表面積為；故D正確.故選：ACD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何證明線面垂直、多面體體積、建立空間直角坐標(biāo)系向量運(yùn)算及多面體的外接球，解題關(guān)鍵在于借助空間向量可以化繁為簡(jiǎn)，充分體現(xiàn)了空間向量的工具作用.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，，若，則____________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)向量垂直得坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕獾茫剩?故答案為：.13.3月19日，習(xí)總書記在湖南省常德市考察調(diào)研期間來(lái)到河街，了解歷史文化街區(qū)修復(fù)利用等情況，這片歷史文化街區(qū)匯聚了常德高腔、常德絲弦、桃源刺繡、安鄉(xiāng)木雕、澧水船工號(hào)子等品類繁多的非遺項(xiàng)目.現(xiàn)為了更好的宣傳河街文化，某部門召集了200名志愿者，根據(jù)報(bào)名情況得到如下表格：項(xiàng)目常德高腔常德絲弦桃源刺繡安鄉(xiāng)木雕澧水船工號(hào)子志愿者人數(shù)3060504020若從這200名志愿者中按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取20人進(jìn)行培訓(xùn)，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)選取3人聘為宣傳大使，記X為這3人中來(lái)自澧水船工號(hào)子的人數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望為____________.【答案】##【解析】【分析】首先計(jì)算出樣本中澧水船工號(hào)子的人數(shù)，再判斷服從超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的概率公式求出概率分布，再求期望.【詳解】由題意得樣本中澧水船工號(hào)子的人數(shù)為，所以可取，并且服從超幾何分布，，，，所以.故答案為：14.已知函數(shù)，且時(shí)，，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)闀r(shí)，，由圖可知，，則，即，所以，所以，由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，可得，所以，因?yàn)椋裕吹娜≈捣秶鸀?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出函數(shù)的圖象，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出，是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大小：（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解.（2）利用三角形面積公式與余弦定理依次求得，從而得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫郑裕郑裕弧拘?wèn)2詳解】由，得，由余弦定理得，又因?yàn)椋裕裕裕缘闹荛L(zhǎng)為.16.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；（2）分直線斜率是否存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立，消得，恒成立，故，則，所以，令，則，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程為.17.如圖，四棱錐中，平面，，，．（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）設(shè)，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋裕裕裕驗(yàn)槠矫妫矫妫裕制矫妫云矫妫制矫妫裕弧拘?wèn)2詳解】設(shè)，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，，，故，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，因?yàn)槠矫妫约礊槠矫娴囊粭l法向量，故，即平面與平面夾角的余弦值為.18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的最大項(xiàng)；（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前30項(xiàng)和（，）.【答案】（1）,,（2）3（3）【解析】【分析】（1）令求出，寫出當(dāng)時(shí)，，再由兩式相減可得遞推關(guān)系判斷數(shù)列為等差數(shù)列即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)后配方，利用二次函數(shù)求最大值即可；（3）分奇偶兩組求和，分別利用裂項(xiàng)相消法及錯(cuò)位相減法求和，即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，則，化簡(jiǎn)得，而，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，所以，因?yàn)椋?dāng)或時(shí)，取最大值，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng)或第項(xiàng)，其值為.【小問(wèn)3詳解】由題可知，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，，相減得，，所以，所以19.已知函數(shù)，（）.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意恒成立，求整數(shù)a的最小值.【答案】（1）（2）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）1【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再利用求導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，即可得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，分離參數(shù)后得，由導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋裕O(shè)，則，又因?yàn)椋裕磫握{(diào)遞增，又因?yàn)椋詴r(shí)，，即；時(shí)，，即，綜上可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間