第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省長沙一中高三（下）月考數學試卷（八）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知1+ai2?i為純虛數，則實數a的值為(????)．A.2 B.?2 C.?12 2.若集合A，B，U滿足：A?B?U，則U=(

)A.A∪B B.A∪?UB C.B∪3.已知函數y=f(x)的定義域和值域分別為[?1,1]和[5,9]，則函數y=f(x+1)的定義域和值域分別為(

)A.[0,2]和[6,10] B.[?2,0]和[6,10] C.[0,2]和[5,9] D.[?2,0]和[5,9]4.已知直線l：y=x+b與圓C：(x?5)2+(y?3)2=4交于A，BA.b∈[?3,?1] B.b∈[?3,0] C.b∈[?3,2?2]5.有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則(

)A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立6.我國南北朝時期的數學家祖暅提出了著名的原理：“冪勢既同，則積不容異”，這句話的意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體.被平行于這兩個平面的任意平面所截.如果截得的這兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.一段彎曲的水管，如圖(1)，其橫截面為圓面，最大縱截面是由曲線y=tanx(?π2<x<3π2)與兩直線y=±4A.4π2 B.8π2 C.7.已知桌面上燈光的強度可以用y=ksinφr2表示，其中r是燈與桌面上被照點的距離，在半徑為1m的圓桌中心正上方安裝一個吊燈，為使桌邊最亮，吊燈應離桌面的高度為(

)A.12 B.1 C.228.如圖，水平放置的正方形ABCD的邊長為1，先將正方形ABCD繞直線AB向上旋轉45°，得到正方形ABC1D1，再將所得的正方形繞直線BC1向上旋轉45°，得到正方形A2BCA.30°

B.45°

C.60°

D.90°二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在二項式(2x?1A.常數項是第3項 B.各項的系數和是1

C.偶數項的二項式系數和為32 D.第4項的二項式系數最大10.對于一個平面圖形，如果存在一個圓能完全覆蓋住這個平面圖形，則稱這個圖形能夠被這個圓完全覆蓋，其中我們把能覆蓋平面圖形的最小圓稱為最小覆蓋圓.下列曲線圍成的圖形的最小覆蓋圓的半徑為2的是(

)A.|x|+|y|=2 B.x24+y2=111.在銳角△ABC中，tanB=3tanC，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列式子正確的是(

)A.a=4ccosB B.2ac≤b2 C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a>b>0，設橢圓C：x2b2+y2a2=1的離心率為e1，雙曲線E：13.已知當x=θ且tanθ=2時，函數f(x)=sinx(acosx+sinx)取得最大值，則a的值為

．14.若?a>1，b>1，恒有mlnbea<(ba)m，則正整數四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某市為繁榮地方經濟，大力實行人才引進政策，為了解政策的效果，統(tǒng)計了2018?2023年人才引進的數量y(單位：萬人)，并根據統(tǒng)計數據繪制了如圖所示的散點圖(x表示年份代碼，年份代碼1?6分別代表2018?2023年)．

(Ⅰ)根據散點圖判斷y=blnx+a與y=ec+dx(a,b,c,d均為常數)哪一個適合作為y關于x的回歸方程類型；(給出結論即可，不必說明理由)

(Ⅱ)根據(Ⅰ)的結果及表中的數據，求出y關于x的回歸方程，并預測該市2025年引進人才的數量；

(Ⅲ)從這6年中隨機抽取4年，記引進人才數量超過4萬人的年數為X，求X的分布列和數學期望．

ywi=1i=1i=15.151.5517.520.953.85其中w?=16i=16wi，wi=lnyi，e2.44≈11.47，e2.54≈12.6816.(本小題15分)

如圖所示，圓錐的底面半徑為4，側面積為162π，線段AB為圓錐底面⊙O的直徑，點C在線段AB上，且BC=3CA，點D是以BC為直徑的圓上一動點．

(1)當CD=CO時，證明：平面PAD⊥平面POD；

(2)當三棱錐P?BCD的體積最大時，求PB與平面PAD17.(本小題15分)

已知函數f(x)=xsinx+cosx?mx2．

(1)當m=14，求f(x)在區(qū)間(?π,π)上的單調區(qū)間；

(2)若f(x)≤118.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2=1(a>0)的右焦點為F，P為橢圓C上一點，且|PF|的最大值為2+1．

(1)求橢圓C的方程；

(2)圓O：x2+y2=r2(r≤1)，直線l與圓O相切，并與橢圓C交于A，B兩點，且A，B兩點均在y軸右側．

19.(本小題17分)

已知數列{an}滿足an+min{an+1,an+2}=max{an+1,an+2}.

(1)若a2=2，a3=3，求a1，a參考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.B

6.C

7.C

8.C

9.BCD

10.ABD

11.ABD

12.y=±13.4314.3

15.解：(Ⅰ)根據散點圖可知，選擇y=ec+dx更合適；

(Ⅱ)因為y=ec+dx，所以兩邊同時取常用對數，得lny=c+dx，

設w=lny，則w=c+dx，先求w關于x的線性回歸方程，

因為x?=1+2+3+4+5+66=3.5，d=i=16(xi?x?)(wi?w?)i=16(xi?x?)2=3.8517.5=0.22，

所以c=w??0.22x?=1.55?0.22×3.5=0.78，X123P131所以E(X)=4×36=2或E(X)=1×15+2×16.解：(1)證明：因為PO垂直于圓錐的底面，所以PO⊥AD，

當CD=CO時，可得CD=OC=AC，所以AD⊥OD，

又因為OD∩PO=O，且OD，PO?平面POD，所以AD⊥平面POD，

因為AD?平面PAD，

所以平面PAD⊥平面POD．

(2)由題意知：OA=OB=4，

因為圓錐的側面積為162π，

可得π×4×PB=162π，

解得PB=42，

所以PO=PB2?OB2=4，

當三棱錐P?BCD的體積最大時，只需△BCD的面積最大，此時D為弧BC的中點，

如圖所示，以O為原點，建立空間直角坐標系，

因為BC=3CA，可得A(0,?4,0)，B(0,4,0)，P(0,0,4)，D(3,1,0)，

則PB=(0,4,?4)，PD=(3,1,?4)，AP=(0,4,4)，

設平面PAD的法向量為n=(a,b,c)，

則n?AP=4b+4c=0n?PD=3a+b?4c=0，

取a=5，可得b=?3，17.解：(1)當m=14時，f(x)=xsinx+cosx?14x2，

所以有f′(x)=sinx+xcosx?sinx?12x=x(cosx?12)，

當x∈(0,π3)時，f′(x)=x(cosx?12)>0，即f(x)在區(qū)間(0,π3)上單調遞增；

當x∈(π3,π)時，f′(x)=x(cosx?12)<0，即f(x)在區(qū)間(π3,π)上單調遞減；

當x∈(?π3,0)時，f′(x)=x(cosx?12)<0，即f(x)在區(qū)間(?π3,0)上單調遞減；

當x∈(?π,?π3)時，f′(x)=x(cosx?12)>0，即f(x)在區(qū)間(?π,?π3)上單調遞增．

綜上，f(x)在區(qū)間(?π,π)上的單調遞增區(qū)間是(?π,?π3)和(0,π3)，單調遞減區(qū)間是(?π3,0)和(π3,π)；

(2)由f(x)=xsinx+cosx?mx2，求導得：f′(x)=sinx+xcosx?sinx?2mx=x(cosx?2m)，

因為f(0)=1，所以要證明f(x)≤1=f(0)，

而當2m≤?1，即m≤?12時，cosx?2m≥0，

此時x∈(?∞,0)，f′(x)=x(cosx?2m)≤0，則f(x)在區(qū)間(?∞,0)上單調遞減，

且x∈(0,+∞)，f′(x)=x(cosx?2m)≥0，則f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增，

此時有f(x)≥f(0)=1，不滿足題意，故舍去；

當2m≥1，即m≥12時，cosx?2m≤0，

此時x∈(?∞,0)，f′(x)=x(cosx?2m)≥0則f(x)在區(qū)間(?∞,0)上單調遞增，

且x∈(0,+∞)，f′(x)=x(cosx?2m)≤0，則f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減，

此時有f(x)≤f(0)=1，滿足題意；

當?1<2m<1，即?12<m<12時，cosx?2m=0，

在區(qū)間(?π,π)上必存在兩個根x1∈(?π,0)，x2∈(0,π)，

所以當x∈(x1,0)，f′(x)=x(cosx?2m)<0，則f(x)在區(qū)間(x1,0)上單調遞減，

且x∈(0,x2)，f′(x)=x(cosx?2m)>0，則f(x)在區(qū)間(0,x2)上單調遞增，

所以在區(qū)間(x1,x2)上恒有f(x)≥f(0)=1，不滿足題意，故舍去．

綜上可得：實數m的取值范圍是{m|m≥12}．

18.解：(1)設P(x0,y0)，右焦點F(c,0)，

根據兩點間距離公式|PF|2=(x0?c)2+y02，

又因為橢圓方程x02a2+y021=1，

則y02=1?x02a2，代入可得|PF|2=(x0?c)2+1?x02a2=c2a2x02?2cx0+a2=(a?cax0)2，

所以|PF|=a?cax0．

已知x0∈[?a,a]，當x0=?a時，|PF|取最大值a+c，

又|PF|max=2+1，且a2?c2=1，

聯(lián)立a+c=2+1a2?c2=1，

由a2?c2=(a+c)(a?c)=1，

把a+c=2+1代入得a?c=2