試題PAGE1試題試題PAGE2試題2025年廣東省深圳市南山區第二外國語學校（集團）學府中學一模數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖是一塊雕刻印章的材料，它的俯視圖為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了簡單組合體的三視圖，俯視圖是從上面觀察幾何體所得到的圖形，據此求解即可．【詳解】解：從上面觀察題圖，可以得到一個正方形和一個圓，且正方形的中心與圓心重合，正方形的邊長大于圓的直徑．故選B．2．關于x的一元二次方程有兩個實數根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根據一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到且，然后求出兩個不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據題意得且，解得且，即m的取值范圍為且．故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．3．某展覽大廳有2個入口和2個出口，其示意圖如圖所示，參觀者可從任意一個入口進入，參觀結束后可從任意一個出口離開．小明從入口1進入并從出口A離開的概率是()

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：畫樹狀圖得：

所有等可能的情況有4種，其中從入口1進入并從出口A離開的情況有1種，則P=．故選：C．【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．4．如圖，為了估算河的寬度，小明采用的辦法是：在河的對岸選取一點A，在近岸取點D，B，使得A，D，B在一條直線上，且與河的邊沿垂直，然后又在垂直于的直線上取點C，并測得，．如果，則河寬為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的應用，證明，利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】解：由題意，得，∴，∴，即，解得，即河寬為，故選：D．5．如圖，一枚運載火箭從地面L處發射，雷達站R與發射點L水平距離為，當火箭到達A點時，雷達站測得仰角為，則這枚火箭此時的高度為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，根據題意可得：，然后在中，利用銳角三角函數的定義進行計算，即可解答．熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得：，在中，，，，這枚火箭此時的高度為，故選：D．6．將拋物線向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，所得拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了二次函數與幾何變換，利用二次函數圖象的平移規律，左加右減，上加下減，進而得出答案．【詳解】解：將拋物線向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，所得拋物線的解析式為：，即，故選：B．7．綜合實踐小組的同學們利用自制密度計測量液體的密度，密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度是液體的密度的反比例函數，其圖象如圖所示．下列說法正確的是（

）

A．當液體密度時，浸在液體中的高度B．當液體密度時，浸在液體中的高度C．當浸在液體中的高度時，該液體的密度D．當液體的密度時，浸在液體中的高度【答案】C【分析】此題考查了反比例函數的應用，由題意可得，設，把，代入解析式，進而結合函數圖象，逐項分析判斷，求解即可．【詳解】解：設h關于的函數解析式為，把，代入解析式，得．∴h關于的函數解析式為．A.當液體密度時，浸在液體中的高度，故該選項不正確，不符合題意；B.當液體密度時，浸在液體中的高度，故該選項不正確，不符合題意；C.當浸在液體中的高度時，該液體的密度，故該選項正確，符合題意；D.當液體的密度時，浸在液體中的高度，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．8．2024年6月2日6時23分，嫦娥六號著陸器和上升器組合體在鵲橋二號中繼星的支持下，成功著陸在月球背面南極—艾特肯盆地預選著陸區．組合體元件中有個展板的平面圖如圖所示，在正方形中，分別是上的點，相交于點是的中點，若，，則的長為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先求出正方形ABCD的邊長，再根據勾股定理求出，然后說明，即可得出，最后根據直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半得出答案.【詳解】∵，，∴正方形ABCD的邊長為3．在中，由勾股定理，得．∵，，，∴，∴．∵，∴，∴．∵N是DF的中點，即MN為的斜邊DF上的中線，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，直角三角形的性質，勾股定理等，勾股定理是求線段長的常用方法，要熟練掌握．二、填空題9．已知a是方程的一個根，則代數式的值為．【答案】3【分析】本題主要考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關鍵；由題意易得，然后代值求解即可．【詳解】解：∵a是方程的一個根，∴，即，∴；故答案為3．10．已知反比例函數的圖象經過點和，則．【答案】24【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到，然后求得，，代入即可求解，正確利用反比例函數解析式求解是解題的關鍵．【詳解】解：反比例函數的圖象經過點和，，，，．故答案為：24．11．二次函數，當時，的最大值和最小值的和是．【答案】【分析】首先求得拋物線的對稱軸，拋物線開口向上，在頂點處取得最小值，在距對稱軸最遠處取得最大值．【詳解】拋物線的對稱軸是x＝1，則當x＝1時，y＝1?2?3＝?4，是最小值；當x＝3時，y＝9?6?3＝0是最大值．的最大值和最小值的和是-4故答案為：-4．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，正確理解取得最大值和最小值的條件是關鍵．12．研究發現當主持人站在舞臺黃金分割點的位置時，視覺產音效果最佳，如圖，主持人現站在8米舞臺的左邊端點P處，那時要站在最佳位置處時至少要走米（結果保留根號）．【答案】【分析】本題考查了黃金分割點的相關計算，以及一元一次方程的運用．設至少向前走米，由黃金比列方程解答即可．【詳解】解：設至少向前走米，依題意得，，解得，．即主持人站在最佳位置處時至少要走米，故答案為：．13．如圖，是的邊上的一點，，，．若，則的長為．【答案】【分析】此題重點考查相似三角形的判定與性質，適當選擇相似三角形的判定定理證明是解題的關鍵．由，得，因為，所以，則，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．三、解答題14．（1）解方程：（2）計算：【答案】（1）；（2）2【分析】題考查了公式法解一元二次方程、實數的混合運算，熟練掌握運算法則及運算順序是解此題的關鍵．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）根據特殊角的三角函數值、零指數冪、絕對值的性質、二次根式的性質，進行計算即可得出答案．【詳解】（1）解：，∴，∴，則，．（2）解：原式．15．美育，又稱美感教育，可以培養和提高人感受美、鑒賞美、表現美和創造美的能力，深入地影響人的情感、想象、思想、意志和性格，對于塑造美好心靈具有重要作用．實驗中學為踐行美育培養，組織學生開展中國名畫鑒賞活動．通過投票，學校最終確定鑒賞下面四幅畫：A．《清明上河圖》，B．《千里江山圖》，C．《百駿圖》，D．《富春山居圖》．活動開始時，老師將這四幅畫的名稱分別寫在四張相同的卡片上，將卡片洗勻后背面朝上放在桌子上．(1)小北從中隨機抽取一張，他抽到的卡片是B．《千里江山圖》的概率為______；(2)小樂從這四張卡片中隨機抽取一張卡片，記錄下卡片上的名稱后放回洗勻．小凱再從中隨機抽取一張卡片，記錄下卡片，上的名稱請用畫樹狀圖或列表的方法，求小樂和小凱鑒賞同一幅畫的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中他抽到的卡片是．《千里江山圖》的結果有1種，利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖可得出所有等可能的結果數以及小樂和小凱鑒賞同一幅畫的結果數，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：由題意知，共有4種等可能的結果，其中他抽到的卡片是．《千里江山圖》的結果有1種，他抽到的卡片是．《千里江山圖》的概率為．故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結果，其中小樂和小凱鑒賞同一幅畫的結果有4種，小樂和小凱鑒賞同一幅畫的概率為．16．已知二次函數（b，c為常數）的圖象經過點．(1)則，；(2)該二次函數圖象的頂點坐標為；(3)在所給坐標系中畫出該二次函數的圖象；(4)根據圖象，當時，y的取值范圍是．【答案】(1)(2)(3)見解析(4)【分析】本題主要考查了二次函數的性質、二次函數的圖象及二次函數圖象上點的坐標特征，熟知二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．（1）將點和代入函數解析式進行計算即可．（2）根據（1）中所求，的值，得出函數解析式即可解決問題．（3）根據題意，畫出二次函數圖象即可．（4）利用數形結合的數學思想即可解決問題．【詳解】（1）解：將點和代入得，，解得．故答案為：，；（2）解：由（1）知，拋物線的解析式為，所以拋物線的頂點坐標為．故答案為：；（3）解：二次函數圖象如圖所示，（4）解：由函數圖象可知，因為，當時，；當時，，所以的取值范圍是：．故答案為：．17．某大型批發商場平均每天可售出某款商品件，售出1件該款商品的利潤是10元．經調查發現，若該款商品的批發價每降低1元，則每天可多售出件．為了使每天獲得的利潤更多，該批發商場決定降價x元銷售該款商品．(1)當x為多少元時，該批發商場每天賣出該款商品的利潤為元？(2)若按照這種降價促銷的策略，該批發商場每天賣出該款商品的利潤能達元嗎？若能，請求出x的值，若不能，請說明理由．【答案】(1)當x為2或5時，該飲料批發商店每天賣出該款飲料的利潤為40000元(2)按照這種降價促銷的策略，該飲料批發商店每天賣出該款飲料的利潤不能達到50000元【分析】（1）利用降價后每瓶的銷售利潤=原來每瓶的銷售利潤－降低的價格，即可得出降價后每瓶的銷售利潤，再用提升后的銷量乘以利潤等于總利潤，由此列出方程求解即可；（2）由（1）所得的算式，使得總利潤等于列式計算即可．【詳解】（1）解：該批發商場決定降價x元銷售該款商品，依題意得，，即解得：，答：當x為2或5時，該飲料批發商店每天賣出該款飲料的利潤為元（2）解：，即∵，原方程無解，∴按照這種降價促銷的策略，該飲料批發商店每天賣出該款飲料的利潤不能達到元．【點睛】本題考查一元二次方程的應用以及根的判別式，解題關鍵是找準等量關系，正確列出一元二次方程，牢記“當時，方程無實數根”．18．如圖，在平行四邊形中，平分，交于點E，平分，交于點F，與交于點P，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據平行四邊形和角平分線的性質可得，，，從而證明四邊形是菱形；（2）作于H，證明是等邊三角形，得出，，利用菱形的性質求出，進而求出，利用含的直角三角形的性質求出，然后利用勾股定理求出，即可．【詳解】（1）證明：如圖，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，同理，∴，又∴四邊形是平行四邊形又∵，∴四邊形是菱形；（2）解：過P點作于M點，∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵四邊形是菱形，∴平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，等知識；熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．19．2024年，中國國產游戲3A大作《黑神話：悟空》一經上線，即火爆全球，反映了中國文化的對全世界的吸引力．作為重要取景地的濟南四門塔是中國現存唯一的隋代石塔，也是中國現存最早、保存最完整的單層亭閣式佛塔．某興趣小組利用所學知識開展以“測量四門塔的高度”為主題的活動，并寫出如下報告：課題測量四門塔的高度測量工具測角儀、無人機等測量示意圖測量過程如圖②，測量小組使無人機在點A處以的速度豎直上升后，飛行至點B處，在點B處測得塔頂D的俯角為，然后沿水平方向向左飛行至點C處，在點C處測得塔頂D和點A的俯角均為．說明點A，B，C，D，E均在同一豎直平面內，且點A，E在同一水平線上，．結果精確到．（參考數據：）(1)求無人機從點B到點C處的飛行距離；(2)求四門塔的高度．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．（1）根據題意求出，再根據等腰直角三角形的性質求出；（2）延長交的延長線于點，設，用表示出、，根據正切的定義列出方程，解方程得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知：，在中，，則，答：無人機從點B到點C處的飛行距離問；（2）解：如圖，延長交的延長線于點，則四邊形為矩形，，設，則，在中，，則，，在中，，，，即，解得：，答：四門塔的高度約為．20．【問題背景】：如圖1，在矩形中，，點E是邊的中點，過點E作交于點F．【實驗探究】：（1）在一次數學活動中，小明在圖1中發現；將圖1中的繞點B按逆時針方向旋轉，連接，，如圖2所示，發現；（2）小亮同學繼續將繞點B按逆時針方向旋轉，連接，旋轉至如圖3所示位置，請問探究（1）中的結論是否仍然成立？并說明理由；【拓展延伸】：（3）在以上探究中，當旋轉至D、E、F三點共線時，的長為．【答案】（1）；；（2）結論仍然成立