試題PAGE1試題試題PAGE2試題2024年廣東省廣州市黃埔區北京師范大學廣州實驗學校中考二模數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若式子在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用二次根式的定義即可得出答案．【詳解】∵式子在實數范圍內有意義，∴x的取值范圍是：x＞3．故選：C．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解答本題的關鍵．2．中國航天科工集團公司的技師們可以運用數控微雕這項技術，在一個直徑只有一角硬幣大小的金屬片上打孔，這個孔的直徑是一根頭發絲的三分之一．若一根頭發絲的直徑大約為，且，則金屬片上這個孔的直徑用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了用科學記數法表示較小的數，用科學記數法表示較小的數，一般形式為，其中，為整數，據此判斷即可．【詳解】解：依題意，．故選：C．3．某市舉辦了“傳誦經典”青少年演講比賽，其中綜合榮譽分占，現場演講分占，小明參加并在這兩項中分別取得90分和80分的成績，則小明的最終成績為（

）A．81分 B．82分 C．83分 D．84分【答案】C【分析】本題考查加權平均數．根據加權平均數的求法求解即可．【詳解】解：（分）．所以小明的最終成績為83分．故選：C．4．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了合并同類項、冪的乘方、利用二次根式的性質化簡，同底數冪相乘，據此相關性質內容進行逐項分析，即可作答．【詳解】解：A、不是同類項，不能合并，故該選項是錯誤的；B、，故該選項是錯誤的；C、，故該選項是錯誤的；D、，故該選項是正確的；故選：D．5．如圖，在中，軸，點、在反比例函數的圖象上，若的面積是8，則的值是

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】連接，根據平行四邊形的性質得到的面積的面積，，于是得到結論．【詳解】解：連接，

四邊形是平行四邊形，的面積是8，的面積的面積，，∴點B、D橫坐標互為相反數，∴點B、D縱坐標也互為相反數，又軸，，∴,∴，故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，平行四邊形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．6．如圖是兩個形狀、大小完全一樣的小長方形拼接而成的圖形，已知，，則此圖形的面積為（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】設小長方形的長為，寬為，根據圖形列出方程組進行計算，再利用面積公式進行計算即可．【詳解】解：設小長方形的長為，寬為，依題意得：解得：，小長方形的面積為．則此圖形的面積為．故選：B．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用．根據題意正確的列出方程組是解題的關鍵．7．如圖，正六邊形的半徑為4，則該正六邊形的邊心距為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、三角函數，過正多邊形中心O作，連接，證出是等邊三角形，根據銳角三角函數的定義求解即可．【詳解】解：如圖，過正多邊形中心O作，連接，多邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，，故選：B．8．如圖，平面直角坐標系中，已知矩形，為原點，點、分別在軸、軸上，點的坐標為，連接，將沿直線翻折，點落在點的位置，則的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據翻折不變性及勾股定理求出、的長，再根據相似三角形的性質，求出的長，的長即可解決問題；【詳解】解：作軸于，軸于，交于．在與中，，，，設，則，于是在中，；解得．；軸，軸，，，，，；又，．．故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、矩形與折疊的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．9．如圖，把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若，則截面的半徑等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理的應用、勾股定理的應用、矩形的判定與性質等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵，設球的平面投影圓心為O，過點O作于點N，延長交于點M，連接由垂徑定理得設，則，然后在中，由勾股定理求出的長即可，【詳解】解：設球的平面投影圓心為O，過點O作于點N，延長交于點M，連接，如圖所示∶則，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，設，則，∴在中，由勾股定理得∶，即∶’，解得∶即截面的半徑長是．故選∶C．10．如圖，在正方形中，點E在對角線上，連接，作交于點F，連接交于點H，延長交點K，連接．下列結論：①，②；③；④若，則．其中結論正確的序號是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】①連接，證明，得到，，利用四邊形內角和和平角定義，證明，得到，則問題可證；②將繞點C逆時針旋轉，使與重合，得到，連，先證明，再證明，由勾股定理得到，則問題可證；③利用外角定義正，再證明則有，可得；④，證明由相似三角形性質得到，再利用得到方程求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故①正確；將繞點C逆時針旋轉，使與重合，得到，連，由旋轉可知，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∴，∴，故③正確；∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴∵，∴，解得，，故④正確，故選：D．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，相似三角形的判定和性質，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．二、填空題11．不等式的解集為．【答案】/【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，按照移項，合并同類項，系數化為1的步驟解不等式即可．【詳解】解：移項得：，合并同類項得：，系數化為1得：，故答案為：．12．若，則．【答案】/【分析】先將原式變形為，再將，代入計算即可．本題考查的是因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【詳解】解：，，，故答案為：．13．如圖，在中，過點分別作于點于點．若，且的周長為32，則的長為．【答案】10【分析】本題考查了平行四邊形的性質，根據平行四邊形的周長與面積得到關于、的兩個方程，然后解方程即可．【詳解】解∵的周長，∴①，∵，，，，∴，即②，聯立①②解得，，故答案為：10．14．已知一次函數不過第一象限，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據一次函數不過第一象限，可得，解不等式組即可得到答案．【詳解】解：一次函數不過第一象限，，解得：，的取值范圍是：，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數圖象與系數的關系：一次函數（為常數，）是一條直線，當時，直線經過一、三象限，隨的增大而增大，當時，直線經過二、四象限，隨的增大而減小，當時，直線交于軸的正半軸，當時，直線過原點，當時，直線交于軸的負半軸．15．如圖，數軸上點A表示的數為a，化簡．【答案】1【分析】本題考查了數軸及二次根式的性質與化簡；利用數軸表示數的方法得到，再利用二次根式的性質得到原式，然后去絕對值后合并即可．【詳解】解：根據數軸A點表示的數得，∴．故答案為：1．16．如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉得到，是的中點，是的中點，連接，若，則線段的最小值是．【答案】【分析】本題考查旋轉的性質，直角三角形斜邊中線的性質，三角形的三邊關系．如圖連接，由直角三角形的性質和旋轉的性質可得，可求出，由三角形的三邊關系可求解．掌握輔助線的作法及旋轉的性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，在中，∵，，，∴，∵將繞點逆時針旋轉得到，∴，，∵是的中點，∴，∵是的中點，∴，∵將繞點逆時針旋轉得到，∴，即，∴的最小值為（此時、、共線）．故答案為：．三、解答題17．解方程：．【答案】【分析】此題考查了解分式方程，去分母把方程化為整式方程，解方程后，再檢驗后即可得到答案．【詳解】解：方程兩邊都乘，得.去括號，得，解得.檢驗、當時，，所以原方程的解為.18．如圖，點在上，與交于點，且．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查三角形全等的判定、等腰三角形的判定與性質等知識，先由得到，再由兩個三角形全等的判定定理即可得證，熟記三角形全等的判定定理是解決問題的關鍵．【詳解】證明：，，，，，在和中，．19．先化簡，再求值：，且a的值滿足．【答案】，【分析】本題考查的是分式的化簡求值，根據分式的基本性質及運算法則，有括號先算括號里面的，注意利用因式分解先約分化簡，再整體代入計算即可求解．【詳解】解：原式＝；＝；；；∵；∴；∴原式．20．為加強公民的節水意識，某城市制定了以下用水收費標準：每戶每月用水未超過7立方米時，每立方米收費元并加收元的城市污水處理費；超過7立方米的部分每立方米收費元并加收元的城市污水處理費．設某戶每月用水量為x(立方米)，應交水費為y(元)．(1)分別寫出未超過7立方米和多于7立方米時，y與x的函數關系式；(2)如果小明家11月用水12立方米，應付水費多少元？【答案】(1)；(2)元【分析】本題考查列函數關系式和求函數值，解題的關鍵是讀懂題意，理清收費標準．（1）根據題干中給定的收費標準列出函數關系式即可．（2）根據（1）所求把代入中求出y的值即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：在中，當時，，∴如果小明家11月用水12立方米，應付水費元．21．某校為落實“雙減”政策，增強課后服務的豐富性，充分用好課后服務時間，3月份學校開展數學學科活動，其中七年級開展了五個項目（每個學生只能參加一個項目）；A．閱讀數學名著；B、講述數學故事；C、制作數學模型；D、參與數學游戲；E、挑戰數學競賽．為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計，并根據統計結果．繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖：根據圖中信息，解答下列問題：(1)①此次調查一共隨機抽取了________名學生；②補全條形統計圖（要求在條開圖上方注明名數）；③扇形統計圖中圓心角_________度．(2)若該年級有學生1100名，請你估計該年級參加D項目的學生大約有多少名？(3)在C項目展示活動中，某班獲得一等獎的學生有3名男生，2名女生，則從這5名學生中隨機抽取2名學生代表本班參加學校制作數學模型活動，請畫樹狀圖或列表法求出恰好抽到2名男生的概率．【答案】(1)①②見詳解③54(2)名(3)【分析】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用以及利用樹狀圖求概率率，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．（1）①根據講述數學故事的名數是100名，所占的比例是，據此即可求得此次調查的學生人數；②用總人數乘以項所占百分比即可得閱讀數學名著的人數，再用總人數減去、、、的人數即可得的人數，從而畫出條形統計圖；③將乘以所占百分比即可得解；（2）利用總人數1100乘以對應的百分比即可求得；（3）根據題意畫出樹狀圖即可得解．【詳解】（1）解：（1）①（名，故答案為400；②閱讀數學名著（名，制作數學模型（名，補全統計圖如下：③，故答案為：54；（2）解：項目的學生：（名；（3）解：列表法如下：男1男2男3女1女2男1（男1，男（男1，男（男1，女（男1，女男2（男2，男（男2，男（男2，女（男2，女男3（男3，男（男3，男（男3，女（男3，女女1（女1，男（女1，男（女1，男（女1，女女2（女2，男（女2，男（女2，男（女2，女共有20種等可能的情況，其中抽到2名男生的情況數為6種，22．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數．所在直線與反比例函數的圖象在第一象限內交于和兩點，連接，把沿x軸向右平移3個單位長度得到線段恰好過點B且點．(1)求一次函數與反比例函數的表達式；(2)請結合函數圖象，直接寫出關于x的不等式的解集；(3)求梯形的面積．【答案】(1)反比例函數為，一次函數為(2)或(3)梯形的面積為9【分析】（1）根據平行四邊形性質得到A，C兩點的坐標，根據待定系數法求出兩個函數解析式即可；（2）根據兩個函數圖象及交點坐標，直接寫出不等式解集即可；（3）先求出，再求出，兩者做差就得梯形面積．【詳解】（1）解：根據題意知，，，四邊形是平行四邊形，點和點的橫坐標相差3，縱坐標相同，即，，，反比例函數的圖象過，.，反比例函數為，把代入，得，，把，代入得：，解得，一次函數為；（2）由函數圖象可得的解集為或；（3），點A到的距離為4，，，點B到的距離為，，．梯形的面積為9．【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，平行四邊形的判定與性質，圖形的平移，反比例函數與一次函數解析式的求解，由函數圖像求不等式的解集等知識，交點坐標滿足兩個函數解析式是解答本題的關鍵．23．如圖，在中，以為直徑的交于D．(1)尺規作圖：過點B作，交于點E(不寫作法，請保留作圖痕跡)；(2)在（1）的條件下，當時，求的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了尺規作圖、解直角三角形、圓周角定理等知識點，靈活運用解直角三角形解決問題成為解題的關鍵．（1）根據運用尺規作垂線的方法即可解答；（2）如圖：連接，由已知條件可得，再根據運用正弦函數可得，然后再說明、；根據直角三角形的性質可得，然后再解直角三角形即可解得．【詳解】（1）解：如圖即為所求．（2）解：如圖：連接，∵，∴，∵，∴，，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴,∴．24．如圖1，點E是正方形的對角線上一個動點（不與重合），連接，作等腰直角，其中與相交，連接．(1)求證：；(2)如圖2，點G為的中點，連接．①是什么特殊三角形，并說明理由；②線段與之間的有什么數量關系，并證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)①是等邊三角形，理由見解析；②，證明見解析【分析】（1）根據正方形的性質得出，根據等腰直角三角形的性質得出，則，即可證明；（2）①連接，通過證明，推出，進而得出，則，即可得出，得出結論是等邊三角形；②設，先求出，則，通過證明是等邊三角形，得出，則，進而得出，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，即，在和中，，∴；（2）解：①連接，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵點G為的中點，，∴，即，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形；②，證明如下：證明：設，∵是等邊三角形；∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵點G為的中點，，∴，∴是等邊三角形，∴，則，∵是等腰直角三角形，∴，即，整理得：，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相關性質定理，