試題PAGE1試題試題PAGE2試題2023年廣東省廣州市十六中教育集團(tuán)中考一模數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．南、北為兩個(gè)相反方向，如果+4m表示一個(gè)物體向北運(yùn)動(dòng)4m，那么m表示的是（

）A．向東運(yùn)動(dòng)3m B．向南運(yùn)動(dòng)3m C．向西運(yùn)動(dòng)3m D．向北運(yùn)動(dòng)3m【答案】B【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義解答．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示，“正”和“負(fù)”相對(duì)．【詳解】東、西為兩個(gè)相反方向，如果?4m表示一個(gè)物體向西運(yùn)動(dòng)4m，那么m表示的是向南運(yùn)動(dòng)3m故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)．明確正數(shù)和負(fù)數(shù)，相反意義的量用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示是解題的關(guān)鍵．2．下面四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，逐一判斷選項(xiàng)，即可．【詳解】解：A．既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形，B．是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，C．既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形，D．既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，掌握中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，是解題的關(guān)鍵．3．我市四月份某一周每天的最高氣溫（單位：℃）如下：20、21、22、22、24、25、27，則這組數(shù)據(jù)（最高氣溫）的眾數(shù)與中位數(shù)分別是（

）A．22，24 B．24，24 C．22，22 D．25，22【答案】C【分析】根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)的定義去整理數(shù)據(jù)即可【詳解】解：22出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是22；把這組數(shù)據(jù)從小到大排列20、21、22、22、24、25、27，最中間的數(shù)是22，則中位數(shù)是22；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)，中位數(shù)，準(zhǔn)確理解眾數(shù)，中位數(shù)的定義是計(jì)算解題的關(guān)鍵．4．下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，完全平方公式，因式分解，冪的運(yùn)算，即可．【詳解】∵和不是同類二次根式∴，∴A錯(cuò)誤；∵，∴B錯(cuò)誤；∵，∴C正確；∵，∴D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的加減運(yùn)算，整式的乘法，因式分解等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的加減運(yùn)算，完全平方公式，因式分解，冪的運(yùn)算．5．筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長(zhǎng)為6米，半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)到弦所在直線的距離是（

）A．1米 B．米 C．2米 D．米【答案】B【分析】連接OC交AB于D，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根據(jù)勾股定理求得OD的長(zhǎng)，由CD=OC﹣OD即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)C為的中點(diǎn)，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即點(diǎn)到弦所在直線的距離是（4﹣）米，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，把沿折疊到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，由折疊的性質(zhì)可知，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，書中有一道題“今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕；一雀一燕交而處，衡適平；并燕雀重一斤．問：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古時(shí)1斤＝16兩）．雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕重量各為多少？”設(shè)雀重x兩，燕重y兩，可列出方程組（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“五只雀、六只燕，共重1斤（占時(shí)1斤等于16兩），雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：依題意，得：故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，其中點(diǎn)B坐標(biāo)是(4，1)，點(diǎn)D坐標(biāo)是(0，1)，點(diǎn)A在x軸上，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（）A．8 B．2 C．4 D．12【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)A（a，0），由菱形的性質(zhì)和兩點(diǎn)距離公式可求點(diǎn)A坐標(biāo)，由勾股定理可求AD的長(zhǎng)，即可求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A（a，0）,∵四邊形ABCD是菱形,∴AD＝AB，且點(diǎn)B坐標(biāo)是（4，1），點(diǎn)D坐標(biāo)是（0，1）,∴（a﹣4）2+（1﹣0）2＝（a﹣0）2+（0﹣1）2,∴a＝2,∴點(diǎn)A（2，0）,∴AO＝2,∴AD＝＝＝,∴菱形ABCD的周長(zhǎng)＝4×＝4,故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要通過菱形的性質(zhì)考查，結(jié)合了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)知識(shí)點(diǎn).9．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的大致圖象是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)k的取值范圍，分別討論k＞0和k＜0時(shí)的情況，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行選擇正確答案．【詳解】解：當(dāng)k＞0時(shí)，一次函數(shù)y=kx-k經(jīng)過一、三、四象限，函數(shù)的（k≠0）的圖象在一、二象限，故選項(xiàng)②的圖象符合要求．當(dāng)k＜0時(shí)，一次函數(shù)y=kx-k經(jīng)過一、二、四象限，函數(shù)的（k≠0）的圖象經(jīng)過三、四象限，故選項(xiàng)③的圖象符合要求．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)的圖象問題；用到的知識(shí)點(diǎn)為：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的k值相同，則兩個(gè)函數(shù)圖象必有交點(diǎn)；一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)與一次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)相關(guān)．10．如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的面積是（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，又長(zhǎng)度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以中點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧，所以當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的長(zhǎng)，并得到點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)，由線段長(zhǎng)度即可得到是等邊三角形，利用特殊三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：取中點(diǎn)O，并以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓由題意知：當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)在中，是等邊三角形在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)的線段最值問題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問題，屬于動(dòng)態(tài)幾何綜合題型，中檔難度．解題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，即隱形圓．二、填空題11．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)分式有意義的條件，分母不為，即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，分式有意義，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件．12．如圖，，，垂足為，，則__________．【答案】##50度【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，再利用平行線的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和和平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理計(jì)算．13．正八邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是____度．【答案】135【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為正整數(shù)）求出內(nèi)角和，然后再計(jì)算一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)即可.【詳解】正八邊形的內(nèi)角和為：（8﹣2）×180°=1080°，每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：1080°÷8=135°，故答案為135.14．定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)，，，，有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，如：．若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是__________．【答案】【分析】由新定義的運(yùn)算法則可得出關(guān)于x的方程為，由該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根可得，即且，解出k的解集即可．【詳解】由新定義的運(yùn)算法則可得出：．∵，∴．∵該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，∴且，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當(dāng)時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程沒有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵．15．如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，，可以分別繞點(diǎn)A，轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知，，當(dāng)，轉(zhuǎn)動(dòng)到，時(shí)，點(diǎn)到的距離為__________．（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】過點(diǎn)B作，垂足為M，過點(diǎn)C作，垂足為N，過點(diǎn)C作，垂足為D，從而可得四邊形是矩形，進(jìn)而可得，先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，并且可以求出，從而求出，進(jìn)而求出，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)B作，垂足為M，過點(diǎn)C作，垂足為N，過點(diǎn)C作，垂足為D，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)C到的距離為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．如圖，拋物線與交于點(diǎn)，且分別與軸交于點(diǎn)，．過點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，．則以下結(jié)論：①無論取何值，總是負(fù)數(shù)；②拋物線可由拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到；③當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值先增大后減小；④四邊形為正方形．其中正確的是__________．（填寫正確的序號(hào)）【答案】①②④【分析】①根據(jù)非負(fù)數(shù)的相反數(shù)或者直接由圖像判斷即可；②先求拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷平移方向和平移距離即可判斷②；③先根據(jù)題意得出時(shí)，觀察圖像可知，然后計(jì)算，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；④分別計(jì)算出的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】①，，，無論取何值，總是負(fù)數(shù)，故①正確；②拋物線與拋物線交于點(diǎn)，，即，解得，拋物線，拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，將向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位即為，即將拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位可得到拋物線，故②正確；③，將代入拋物線，解得，，將代入拋物線，解得，，，從圖像可知拋物線的圖像在拋物線圖像的上方，當(dāng)，隨著的增大，的值減小，故③不正確；④設(shè)與軸交于點(diǎn)，，，由③可知，，，，當(dāng)時(shí)，，即，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是正方形，故④正確，綜上所述，正確的有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，平移，正方形的判定定理，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．三、解答題17．解不等式組：【答案】【分析】分別求解不等式，即可得到不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①，得，由②，得，不等式組的解集是．【點(diǎn)睛】本題考查了求一元一次不等式組的解集；解題的關(guān)鍵是數(shù)量掌握“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小無處找”．18．已知：如圖，．求證：．【答案】見解析【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根據(jù)ASA證明△ACB≌△ACD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得結(jié)論．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴△ACB≌△ACD，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ACB≌△ACD是解本題的關(guān)鍵．19．已知．(1)化簡(jiǎn)；(2)若為方程的一個(gè)解，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)分式的運(yùn)算法則，對(duì)分式進(jìn)行通分、合并、約分化簡(jiǎn)即可；（2）依題意將代入方程整理可得即可求解．【詳解】（1）解：．（2）是方程的解，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的運(yùn)算法則正確化簡(jiǎn)．20．“校園音樂之聲”結(jié)束后，王老師整理了所有參賽選手的比賽成績(jī)（單位：分），繪制成如下頻數(shù)直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：(1)求本次比賽參賽選手總?cè)藬?shù)，并補(bǔ)全頻數(shù)直方圖；(2)成績(jī)?cè)趨^(qū)域的選手中，男生比女生多一人，從中隨機(jī)選取兩人，求恰好選中兩名女生的概率．【答案】(1)人；見詳解(2)【分析】（1）由D組人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)減去A、B、C、D組人數(shù)求出E的人數(shù)即可補(bǔ)全圖形；（2）列表得出所有等可能結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解可得．【詳解】（1）解：本次比賽參賽選手總?cè)藬?shù)為人，則E組人數(shù)為人，補(bǔ)全直方圖如下：（2）解：區(qū)域共5人，男生比女生多一人，男生3人，女生2人，隨機(jī)選取2人，列表如下：男1男2男3女1女2男1男2男1男3男1女1男1女2男1男2男1男2男3男2女1男2女2男2男3男1男3男2男3女1男3女2男3女1男1女1男2女1男3女1女2女1女2男1女2男2女2男3女2女1女2共有20種等可能結(jié)果，記恰好選中兩名女生的事件為，其中事件有：女1女2，女2女1兩種可能，．答：恰好選中兩名女生的概率．【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖及扇形統(tǒng)計(jì)圖，用列表法或樹狀圖等可能情形下的概率計(jì)算，理解兩種統(tǒng)計(jì)圖之間的數(shù)據(jù)關(guān)系，掌握用列表法或樹狀圖求概率方法是解題的關(guān)鍵．21．如圖，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，軸，軸，垂足分別為、，與相交于點(diǎn)．(1)根據(jù)圖象直接寫出、的大小關(guān)系，并通過計(jì)算加以驗(yàn)證；(2)結(jié)合以上信息，從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的值．條件①四邊形的面積為2；條件②注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；見解析(2)選擇條件①，；選擇條件②，【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得，再將點(diǎn)、代入反比例函數(shù)的解析式分別求出、的值，由此即可加以驗(yàn)證；（2）選擇條件①：先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得，從而可得，，利用待定系數(shù)法求解即可得；選擇條件②：先求出，再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，，從而可得，代入可得，然后根據(jù)即可得．【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)圖象從左往右是上升的，即自變量增大，函數(shù)值也隨之增大，所以；驗(yàn)證如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，即．（2）解：選擇條件①四邊形的面積為2，求解如下：軸，軸，，四邊形是矩形，，、，，，解得，，將點(diǎn)代入得：．選擇條件②，求解如下：、，，軸，軸，，四邊形是矩形，，，，，又，，由（1）可知，，，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．金師傅近期準(zhǔn)備換車，看中了價(jià)格相同的兩款國(guó)產(chǎn)車．燃油車油箱容積：40升油價(jià)：9元/升續(xù)航里程：千米每千米行駛費(fèi)用：元新能源車電池電量：60千瓦時(shí)電價(jià)：0.6元/千瓦時(shí)續(xù)航里程：千米每千米行駛費(fèi)用：______元(1)新能源車的每千米行駛費(fèi)用是______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.54元．①分別求出這兩款車的每千米行駛費(fèi)用．②若燃油車和新能源車每年的其他費(fèi)用分別為4800元和7500元，當(dāng)每年行駛里程為多少千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低?（年費(fèi)用年行駛費(fèi)用年其它費(fèi)用）【答案】(1)(2)①燃油車的每千米行駛費(fèi)用為0.6元，新能源車的每千米行駛費(fèi)用為0.06元；②當(dāng)每年行駛里程大于5000千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低【分析】（1）根據(jù)每千米行駛費(fèi)用=相應(yīng)的費(fèi)用÷續(xù)航里程，即可求解；（2）①結(jié)合（1）進(jìn)行求解即可；②根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可．【詳解】（1）解：新能源車的每千米行駛費(fèi)用為:元，故答案為：．（2）①∵燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多元，∴解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，∴，，答：燃油車的每千米行駛費(fèi)用為元，新能源車的每千米行駛費(fèi)用為元；②設(shè)每年行駛里程為千米，由題意得：，解得：，答：當(dāng)每年行駛里程大于5000千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和不等式．23．如圖，在中，，點(diǎn)C在AE上，點(diǎn)B在AF上，．(1)尺規(guī)作圖：作△ABC的外接圓⊙O，使它與EF相切于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不需寫作法）；(2)連接AD，求證：AD是∠BAC的平分線；(3)若，，求的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先作AB的垂直平分線，其與AB的交點(diǎn)即為圓心O，然后以O(shè)為圓心，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑畫弧交EF于D，點(diǎn)D即為所求；（2）先證，得到∠ADO=∠DAC，再由OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，則∠OAD=∠DAC，即可證明AD平分∠BAC；（3）設(shè)OD與BC交于點(diǎn)G，先證明∠ACB=∠OGB=90°，得到，四邊形CEDG是矩形，則，DF=CE=1，OD=OA=OB=2，求出∠OBG=30°，則∠BOG=60°，．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；先作AB的垂直平分線，其與AB的交點(diǎn)即為圓心O，然后以O(shè)為圓心，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑畫弧交EF于D，點(diǎn)D即為所求（2）解：∵EF是圓O的切線，∴OD⊥EF，∵∠E=90°，即AE⊥EF，∴，∴∠ADO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠OAD=∠DAC，∴AD平分∠BAC；（3）解：設(shè)OD與BC交于點(diǎn)G，∵，∴，∴∠ACB=∠OGB=90°，∴，四邊形CEDG是矩形，∴，DF=CE=1，∴OD=OA=OB=2，∴，∴∠OBG=30°，∴∠BOG=60°，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，解直角三角形，求弧長(zhǎng)，矩形的性質(zhì)與判定，作外切圓等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．如圖，正方形中，，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足．（1）當(dāng)點(diǎn)在直線上方且時(shí)，求證：；（2）若，求點(diǎn)到直線的距離；（3）記，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最大值或最小值？若存在，求出其值，若不存在，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）或；（3）當(dāng)時(shí)，最小值為．當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，有最大值【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明△ADQ是等腰直角三角形即可解決問題．（2）如圖2中，由題意點(diǎn)Q是以D為圓心，DQ為半徑的圓和以BD為直徑的圓的交點(diǎn)（有兩種情形，圖中Q，Q′）．連接BQ，BQ′，過點(diǎn)A作AH⊥BQ于H，過點(diǎn)A作AH′⊥BQ′于H，AH′交BQ于J．解直角三角形求出AH，BH即可解決問題．（3）如圖3-1中，當(dāng)AQ＜BQ時(shí)，過點(diǎn)A作QJ⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于J．AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=-AB?（2JA+AB）=（2JA+），觀察圖象可知，當(dāng)JA的值最大時(shí)，AQ2-BQ2的值最小，此時(shí)點(diǎn)Q在CD的延長(zhǎng)線上．如圖3-2中，當(dāng)QA＞QB時(shí)，過點(diǎn)A作QJ⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于J．AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=AB?（AJ-BJ），觀察圖象可知，當(dāng)JA-JB的值最大時(shí)，AQ2-BQ2的值最大，此時(shí)點(diǎn)Q在線段CD上．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵AQ=DQ=1，AD=，∴AQ2+DQ2=AD2，∴∠Q=90°，∴∠QAD=∠ADQ=45°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°，∴∠ADB=∠QAD，∴AQ∥BD．（2）解：如圖2中，由題意點(diǎn)Q是以D為圓心，DQ為半徑的圓和以BD為直徑的圓的交點(diǎn)（有兩種情形，圖中Q，Q′）．連接BQ，BQ′，過點(diǎn)A作AH⊥BQ于H，過點(diǎn)A作AH′⊥BQ′于H，AH′交BQ于J．∵BD=AD=2，QD=1，∴BQ=2DQ，∴∠QBD=30°，同法可得∠DBQ′=30°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴∠ABQ=∠CBQ′=15°，∴∠ABH′=75°，∠BAJ=15°，∴∠JAB=∠JBA=15°，∴∠AJH=∠JAB+∠JBA=30°，設(shè)AH=a，則AJ=JB=2AH=2a，JH=，在Rt△ABH中，則有2=a2+（2a+）2，解得a=，∴AH=，BH=，∵∠AHB=∠AH′B=90°，∠ABH=∠BAH′，AB=BA，∴△AHB≌△BH′A（AAS），∴AH′=BH=，∴點(diǎn)A到直線BQ的距離為或．（3）解：如圖3-1中，當(dāng)AQ＜BQ時(shí)，過點(diǎn)A作QJ⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于J．∵AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=-AB?（2JA+AB）=（2JA+），觀察圖象可知，當(dāng)JA的值最大時(shí)，AQ2-BQ2的值最小，此時(shí)點(diǎn)Q在CD的延長(zhǎng)線上，最小值=（2+）=．如圖3-2中，當(dāng)QA＞QB時(shí)，過點(diǎn)A作QJ⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于J．∵AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-