PAGEPAGE11.3.2球的體積和表面積A級基礎鞏固一、選擇題1．假如三個球的半徑之比是1︰23，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的(B)A．eq\f(5,9)倍 B．eq\f(9,5)倍C．2倍 D．3倍[解析]設小球半徑為1，則大球的表面積S大＝36π，S小＋S中＝20π，eq\f(36π,20π)＝eq\f(9,5).2．若兩球的體積之和是12π，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為6π，則兩球的半徑之差為(A)A．1 B．2C．3 D．4[解析]設兩球的半徑分別為R、r(R>r)，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)R3＋\f(4π,3)r3＝12π,2πR＋2πr＝6π))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝2,r＝1)).故R－r＝1.3．一個正方體表面積與一個球表面積相等，那么它們的體積比是(A)A．eq\f(\r(6π),6) B．eq\f(\r(π),2)C．eq\f(\r(2π),2) D．eq\f(3\r(π),2π)[解析]由6a2＝4πR2得eq\f(a,R)＝eq\r(\f(2π,3))，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(a3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,4π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2π,3))))3＝eq\f(\r(6π),6).4．球的表面積與它的內接正方體的表面積之比是(C)A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．π[解析]設正方體的棱長為a，球半徑為R，則3a2＝4R2，∴a2＝eq\f(4,3)R2，球的表面積S1＝4πR2，正方體的表面積S2＝6a2＝6×eq\f(4,3)R2＝8R2，∴S1︰S2＝eq\f(π,2).5．(2024·福建高三畢業(yè)自主檢測)某簡潔幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的全部頂點都在球O的球面上，則球O的體積為(B)A．eq\f(8\r(2),3)π B．4eq\r(3)πC．12π D．32eq\r(3)π6．若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r、R，則球的表面積為(C)A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πRr D．π(R＋r)2[解析]解法一：如圖，設球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面積為D球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.解法二：如圖，設球心為O，球的半徑為r1，連接OA、OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高．由相像三角形的性質得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πRr.二、填空題7．(2024·天津理，10)已知一個正方體的全部頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為_eq\f(9π,2)__.[解析]設正方體的棱長為a，則6a2＝18，∴a＝eq\r(3).設球的半徑為R，則由題意知2R＝eq\r(a2＋a2＋a2)＝3，∴R＝eq\f(3,2).故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\f(3,2))3＝eq\f(9π,2).8．(2024·莆田高一檢測)已知兩個球的表面積之比為1︰16，則這兩個球的半徑之比為_1︰4__.[解析]球的表面積公式為4πR2，設兩球半徑分別為r1，r2，∴eq\f(4πr\o\al(2,1),4πr\o\al(2,2))＝eq\f(1,16)，∴eq\f(r1,r2)＝eq\f(1,4).三、解答題9．體積相等的正方體、球、等邊圓柱(軸截面為正方形)的全面積分別是S1、S2、S3，試比較它們的大小．[解析]設正方體的棱長為a，球的半徑為R，等邊圓柱的底面半徑為r，則S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.由題意知，eq\f(4,3)πR3＝a3＝πr2·2r，∴R＝eq\r(3,\f(3,4π))a，r＝eq\r(3,\f(1,2π))a，∴S2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(3,4π))a))2＝4π·eq\r(3,\f(9,16π2))a2＝eq\r(3,36π)a2，S3＝6πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(1,2π))a))2＝6π·eq\r(3,\f(1,4π2))a2＝eq\r(3,54π)a2，∴S2<S3.又6a2>3eq\r(3,2π)a2＝eq\r(3,54π)a2，即S1>S3.∴S1、S2、S3的大小關系是S2<S3<S1.10．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．[解析]該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是(B)[解析]選項D為主視圖或者側視圖，俯視圖中明顯應有一個被遮擋的圓，所以內圓是虛線，故選B.2．(2024·全國卷Ⅰ文，5)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(B)A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π[解析]依據(jù)題意，可得截面是邊長為2eq\r(2)的正方形，結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是eq\r(2)的圓，且高為2eq\r(2)，所以其表面積為S＝2π(eq\r(2))2＋2π·eq\r(2)·2eq\r(2)＝12π，故選B.3．一個球與一個上、下底面為正三角形，側面為矩形的棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為eq\f(32π,3)，那么這個正三棱柱的體積是(B)A．96eq\r(3) B．48eq\r(3)C．24eq\r(3) D．16eq\r(3)[解析]由題意可知正三棱柱的高等于球的直徑，從棱柱中間截得球的大圓內切于正三角形，正三角形與棱柱底的三角形全等，設三角形邊長為a，球半徑為r，由V球＝eq\f(4,3)×πr3＝eq\f(32π,3)解得r＝2.S底＝eq\f(1,2)×a×eq\r(a2－\f(a2,4))＝eq\f(1,2)a·r×3，得a＝2eq\r(3)r＝4eq\r(3)，所以V柱＝S底·2r＝48eq\r(3).4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側視圖均是由三角形與半圓構成，俯視圖由圓與內接三角形構成，依據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為(C)A．eq\f(\r(2)π,3)＋eq\f(1,2) B．eq\f(4π,3)＋eq\f(1,6)C．eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6) D．eq\f(2π,3)＋eq\f(1,2)[解析]由已知的三視圖可知原幾何體的上方是三棱錐，下方是半球，∴V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×1×1)×1＋[eq\f(4π,3)×(eq\f(\r(2),2))3]×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)＋eq\f(\r(2)π,6)，故選C.二、填空題5．一個半徑為2的球體經(jīng)過切割后，剩余部分幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_16π__.[解析]該幾何體是從一個球體中挖去eq\f(1,4)個球體后剩余的部分，所以該幾何體的表面積為eq\f(3,4)×(4π×22)＋2×eq\f(π×22,2)＝16π.6．(2024·天津理，11)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為_eq\f(1,12)_.[解析]由題意可得，底面四邊形EFGH為邊長為eq\f(\r(2),2)的正方形，其面積SEFGH＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(1,2)，頂點M究竟面四邊形EFGH的距離為d＝eq\f(1,2)，由四棱錐的體積公式可得：VM－EFGH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).7．一個正四面體的全部棱長都為eq\r(2)，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為_3π__.[解析]如圖所示，設正四面體ABCD的高為AO1，球的球心為O，半徑為R，則O1B＝eq\f(\r(3),3)BC＝eq\f(\r(6),3).在Rt△AO1B中，AO1＝eq\r(AB2－BO\o\al(2,1))＝eq\r(\r(2)2－\f(\r(6),3)2)＝eq\f(2\r(3),3).在Rt△OO1B中，O1O2＝R2－(eq\f(\r(6),3))2＝R2－eq\f(2,3).∴AO1＝R＋eq\r(R2－\f(2,3))＝eq\f(2\r(3),3)，解得R＝eq\f(\r(3),2)，∴S球＝4π×(eq\f(\r(3),2))2＝3π.三、解答題8．盛有水的圓柱形容器的內壁底面半徑為5cm，兩個直徑為5cm的玻璃小球都浸沒于水中，若取出這兩個小球，則水面將下降多少？[解析]設取出小球后，容器中水面下降hcm，兩個小球的體積為V球＝2[eq\f(4π,3)×(eq\f(5,2))3]＝eq\f(125π,3)(cm3)，此體積即等于它們的容器中排開水的體積V＝π×52×h，所以eq\f(125π,3)＝π×52×h，所以h＝eq\f(5,3)，即若取出這兩個小球，則水面將下降eq\f(5,3)cm.9．已知四面體的各面都是棱長為a的正三角形，求它外接球的體積及內切球的半徑．[解析]如圖，設SO1是四面體S－ABC的高，則外接球的球心O在SO1上．設外接球半徑為R.∵四面體的棱長為a，O1為正△ABC中心，∴AO1＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，SO1＝eq\r(SA2－AO\o\al(2,1))＝eq\r(a2－\f(1,3)a2)＝eq\f(\r(6),3)a，在Rt△OO1A中，R2＝AOeq\o\al(2,1)