PAGEPAGE1§2實際問題的函數建模課后篇鞏固提升1.在固定電壓差(電壓為常數)的前提下,當電流通過圓柱形的電線時,其電流強度I(單位:安)與電線半徑r(單位:毫米)的三次方成正比.若已知電流通過半徑為4毫米的電線時,電流強度為320安,則電流通過半徑為3毫米的電線時,電流強度為()A.60安 B.240安 C.75安 D.135安解析:設比例系數為k,則電流強度I=kr3,由已知可得當r=4時,I=320,故有320=43k,解得k=32064=5,所以I=5r3,則當r=3時,I=5×33=135(安)答案:D2.某種動物繁殖數量y(單位:只)與繁殖時間x(單位:年)的關系為y=alog2(x+1),設這種動物第一年有100只,則第七年它們發展到()A.300只 B.400只 C.500只 D.600只解析:∵由題意知,當x=1時,y=100,即100=alog22,a=100.∴y=100log2(x+1).∴當x=7時,y=100log28=300(只).答案:A3.某中學的探討性學習小組為考察珠江口某小島的濕地開發狀況,從某碼頭乘汽艇動身,沿直線方向勻速開往該島,靠近島時,繞小島環行兩周后,把汽艇停靠岸邊上岸考察,然后又乘汽艇沿原航線提速返回.設t為動身后的某一時刻,s為汽艇與碼頭在時刻t時的距離,下列圖像中能大致表示s=f(t)的函數關系的為()解析:由題中所述,只有C符合題意.答案:C4.某公司聘請員工,面試人數按擬錄用人數分段計算,計算公式為y=4x,1≤x<10,A.15 B.40 C.25 D.130解析:令y=60,若4x=60,則x=15>10,不合題意;若2x+10=60,則x=25,滿意題意;若1.5x=60,則x=40<100,不合題意.故擬錄用人數為25.答案:C5.某產品的總成本y(單位:萬元)與產量x(單位:臺)之間的函數關系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每臺產品的售價為25萬元,則生產者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產量是()A.100臺 B.120臺 C.150臺 D.180臺解析:由題意知3000+20即x2+50x-30000≥0,0<x<240答案:C6.某種商品投放市場以來,曾經過三次降價,其價格由a元降至b元,那么該商品每次平均降價的百分數是.

解析:此題是一個平均增長率的數學模型,要用到M=N(1±p%)a這一關系.設每次平均降價為x,則由題意,得a(1-x)3=b,解得x=1-3ba.故該產品每次平均降價的百分數為1-答案:1-37.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超過1%,則至少要清洗的次數是(lg2≈0.3010).解析:設至少要清洗x次,則1-∴x≥1lg2≈3.答案:48.有一長為24m的籬笆,一面利用墻(墻最大長度是10m)圍成一個矩形花圃,設該花圃的一邊AB為xm,面積是ym2.(1)求出y關于x的函數解析式,并指出x的取值范圍;(2)當花圃一邊AB為多少米時,花圃面積最大?并求出這個最大面積.解:(1)∵0<24-2x≤10,∴7≤x<12,∴y=x(24-2x)=-2x2+24x(7≤x<12).(2)由(1)得y=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,∴當AB=7m時,y最大為70m2.9.某化工廠生產一種溶液,按市場要求,雜質含量不能超過0.1%,若初時含雜質2%,每過濾一次可使雜質含量削減13,問至少應過濾幾次才能使產品達到市場要求?(已知:lg2≈0.3010,lg3≈0.解:依題意,得2%·1-13n≤0則n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),故n≥1+lg2lg3-lg2≈7.4,考慮到n∈即至少要過濾8次才能使產品達到市場要求.10.某地有甲、乙兩家乒乓球俱樂部,兩家設備和服務都很好,但收費方式不同,甲家每張球臺每小時5元;乙家按月計費,一個月中30小時以內(含30小時)每張球臺90元,超過30小時的部分每張球臺每小時2元.某公司打算下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活動,其活動時間不少于15小時,也不超過40小時.(1)設在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g(x)元(15≤x≤40),試求f(x)和g(x);(2)問:選擇哪家比較合算?為什么?解:(1)f(x)=5x,15≤x≤40;g(x)=90(2)當5x=90時,x=18,即當15≤x<18時,f(x)<g(x);當x=18時,f(x)=g(x);當18<x≤40時,f(x)>g(x);∴當15≤x<18時,選甲家比較合算;當x=18時,兩家一樣合算;當18<x≤40時,選乙家比較合算.11.為減輕手術給病人帶來的苦痛,麻醉師要給病人注射肯定量的麻醉劑,某醫院確定在某小型手術中為病人采納一種新型的麻醉劑,已知這種麻醉劑釋放過程中血液中的含量y(毫克)與時間t(小時)成正比,麻醉劑釋放完畢后,y與t的函數解析式為y=18t-a(1)試求從麻醉劑釋放起先,血液中的麻醉劑含量y(毫克)與時間t(小時)之間的解析式;(2)依據麻醉師的統計,當人體內血液中每升的麻醉劑含量降低到0.125毫克以下時,病人才能醒悟過來,那么實施麻醉起先,至少須要經過多長時間,病人才能醒悟過來?解:(1)依據題中所述,由題圖可知,血液中麻醉劑的含量y(毫克)是關于時間t(小時)的一個分段函數:當0≤t≤0.1時,函數的圖像是一條經過O(0,0)的線段,設其方程為y=kt(k為待定系數),又因為A(0.1,1)是這條線段的一個端點,代入點A的坐標得k=10,所以當0≤t≤0.1時,y=10t.當t>0.1時,函數解析式為y=18而A(0.1,1)在這段函數圖像上,代入得:1=180.1-a,所以有0.1-a=0,故當t>0.1時,y=18綜上,血液中