PAGEPAGE103.1.3頻率與概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在詳細(xì)情景中，了解隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的頻率的穩(wěn)定性與概率的意義.2.了解頻率與概率的區(qū)分與聯(lián)系．學(xué)問點(diǎn)頻率與概率思索同一個(gè)隨機(jī)事務(wù)在相同條件下在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都一樣嗎？答案概率是從數(shù)量上反映隨機(jī)事務(wù)在一次試驗(yàn)中發(fā)生可能性的大小的一個(gè)量，是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)；同一個(gè)隨機(jī)事務(wù)在相同條件下在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．梳理(1)定義：在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事務(wù)A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)，當(dāng)n很大時(shí)，總是在某個(gè)常數(shù)旁邊搖擺，隨著n的增加，搖擺幅度越來越小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事務(wù)A的概率．(2)記法：P(A)．(3)范圍：0≤P(A)≤1.(4)頻率與概率的關(guān)系：概率是可以通過頻率來“測(cè)量”的，或者說頻率是概率的一個(gè)近似．概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小．1．不行能事務(wù)的概率為0，必定事務(wù)的概率為1.(√)2．小概率事務(wù)就是不行能發(fā)生的事務(wù)．(×)3．某事務(wù)發(fā)生的概率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變．(×)題型一概率的定義例1說明下列概率的含義：(1)某廠生產(chǎn)產(chǎn)品合格的概率為0.9；(2)一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)的概率為0.2.解(1)說明該廠產(chǎn)品合格的可能性為90%，也就是說，100件該廠的產(chǎn)品中大約有90件是合格品．(2)說明參與抽獎(jiǎng)的人中有20%的人可能中獎(jiǎng)，也就是說，若有100人參與抽獎(jiǎng)，約有20人中獎(jiǎng)．反思與感悟概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)事務(wù)的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計(jì)”是不同的．跟蹤訓(xùn)練1任取一個(gè)由50名同學(xué)組成的班級(jí)(稱為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)班)，至少有兩位同學(xué)的生日在同一天(記為事務(wù)A)的概率是0.97.據(jù)此我們知道()A．取定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)班，A發(fā)生的可能性是97%B．取定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)班，A發(fā)生的概率也許是0.97C．隨意取定10000個(gè)標(biāo)準(zhǔn)班，其中大約9700個(gè)班A發(fā)生D．隨著抽取的標(biāo)準(zhǔn)班數(shù)n不斷增大，A發(fā)生的頻率漸漸穩(wěn)定在0.97，在它旁邊搖擺答案D解析對(duì)于給定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)班來說，A發(fā)生的可能性不是0就是1，故A與B均不對(duì)；對(duì)于隨意取定10000個(gè)標(biāo)準(zhǔn)班，在極端狀況下，事務(wù)A有可能都不發(fā)生，故C也不對(duì)，請(qǐng)留意，本題中A，B，C選項(xiàng)中錯(cuò)誤的關(guān)鍵緣由是“取定”這兩個(gè)字，表示“明確了結(jié)果，結(jié)果是確定的”．題型二概率與頻率的關(guān)系及求法例2下面是某批乒乓球質(zhì)量檢查結(jié)果表：抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率 (1)在上表中填上優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率；(2)估計(jì)該批乒乓球優(yōu)等品的概率是多少？解(1)如下表所示：抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率0.90.920.970.940.9540.951(2)從表中數(shù)據(jù)可以看出，這批乒乓球優(yōu)等品的概率是0.95.引申探究本例中若抽取乒乓球的數(shù)量為1700只，則優(yōu)等品的數(shù)量大約為多少？解由優(yōu)等品的概率為0.95，則抽取1700只乒乓球時(shí)，優(yōu)等品數(shù)量為1700×0.95＝1615.反思與感悟假如隨機(jī)事務(wù)A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，可以將事務(wù)A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)作為事務(wù)A的概率的近似值．

跟蹤訓(xùn)練2某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的狀況出現(xiàn)了8次，若用A表示“正面朝上”這一事務(wù)，則A的()A．概率為eq\f(4,5) B．頻率為eq\f(4,5)C．頻率為8 D．概率接近于8答案B解析做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事務(wù)A發(fā)生了m次，則事務(wù)A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n).假如多次進(jìn)行試驗(yàn)，事務(wù)A發(fā)生的頻率總在某個(gè)常數(shù)旁邊搖擺，那么這個(gè)常數(shù)才是事務(wù)A的概率．故eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)為事務(wù)A的頻率．1．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是()A.eq\f(1,999)B.eq\f(1,1000)C.eq\f(999,1000)D.eq\f(1,2)答案D解析拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣1000次，每一次出現(xiàn)正面朝上的概率均為eq\f(1,2).2．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為eq\f(1,5)，前4位病人都未治愈，則第5位病人的治愈率為()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5)D．0答案B解析治愈率為eq\f(1,5)，表明每位病人被治愈的概率均為eq\f(1,5)，并不是5人中必有1人被治愈．故選B.3．下列說法正確的是__________．(填序號(hào))①頻率反映事務(wù)發(fā)生的頻繁程度，概率反映事務(wù)發(fā)生的可能性大小；②做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事務(wù)A發(fā)生m次，則事務(wù)A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)就是事務(wù)的概率；③百分率是頻率，不是概率；④頻率是不能脫離詳細(xì)的n次試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依靠于試驗(yàn)次數(shù)的理論值；⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．答案①④⑤解析由頻率與概率的意義知，①正確；由頻率與概率之間的關(guān)系知，②不正確；④，⑤正確；③不正確，百分率通常是指概率．4．從某自動(dòng)包裝機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取20袋，測(cè)得各袋的質(zhì)量分別為(單位：g)：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499依據(jù)頻率分布估計(jì)總體分布的原理，該自動(dòng)包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g～501.5g之間的概率約為________．答案0.25解析袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g～501.5g之間的共有5袋，所以其概率約為eq\f(5,20)＝0.25.5．某中學(xué)要在高一年級(jí)的二、三、四班中任選一個(gè)班參與社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，有人提議用如下方法選班：擲兩枚硬幣，正面對(duì)上記作2點(diǎn)，反面對(duì)上記作1點(diǎn)，兩枚硬幣的點(diǎn)數(shù)和是幾，就選幾班，你認(rèn)為這種方法公允嗎？解兩枚硬幣的點(diǎn)數(shù)和可列下表：一枚另一枚1點(diǎn)2點(diǎn)1點(diǎn)232點(diǎn)34很明顯，試驗(yàn)的結(jié)果共有4種，而點(diǎn)數(shù)3占了兩種，點(diǎn)數(shù)2和4各占一種，因此，每個(gè)班被選中的概率是不同的，這種選法是不公允的．1．概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們平常所說的“可能”“估計(jì)”是不同的，也就是說，單獨(dú)一次結(jié)果的不確定性與積累結(jié)果的規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性”，而日常生活中的“可能”“估計(jì)”側(cè)重于某次的偶然性．2．概率與頻率關(guān)系：對(duì)于一個(gè)事務(wù)而言，概率是一個(gè)常數(shù)，而頻率則隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率就越接近于事務(wù)的概率．一、選擇題1．從存放號(hào)碼分別為1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片，并登記號(hào)碼，統(tǒng)計(jì)如下：卡片號(hào)碼12345678910取到的次數(shù)138576131810119則取到的號(hào)碼為奇數(shù)的頻率是()A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37答案A解析eq\f(13＋5＋6＋18＋11,100)＝0.53.2．下列結(jié)論正確的是()A．設(shè)事務(wù)A的概率為P(A)，則必有0＜P(A)＜1B．事務(wù)A的概率P(A)＝0.999，則事務(wù)A是必定事務(wù)C．用某種藥物對(duì)患有胃潰瘍的500名病人進(jìn)行治療，結(jié)果有380人有明顯的療效．現(xiàn)在胃潰瘍的病人服用此藥，則估計(jì)有明顯療效的可能性為76%D．某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為50%，則某人購買此獎(jiǎng)券10張，肯定有5張中獎(jiǎng)答案C解析A項(xiàng)不正確，因?yàn)?≤P(A)≤1；若事務(wù)A是必定事務(wù)，則P(A)＝1，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于D項(xiàng)，獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為50%，若某人購買此獎(jiǎng)券10張，則可能會(huì)有5張中獎(jiǎng)，所以D項(xiàng)不正確．故選C.3．隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)上購物已漸漸成為消費(fèi)時(shí)尚，為了解消費(fèi)者對(duì)網(wǎng)上購物的滿足狀況，某公司隨機(jī)對(duì)4500名網(wǎng)上購物消費(fèi)者進(jìn)行了調(diào)查(每名消費(fèi)者限選一種狀況回答)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：滿足狀況不滿足比較滿足滿足特別滿足人數(shù)200n21001000依據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)在網(wǎng)上購物的消費(fèi)者群體中對(duì)網(wǎng)上購物“比較滿足”或“滿足”的概率是()A.eq\f(7,15)B.eq\f(2,5)C.eq\f(11,15)D.eq\f(13,15)答案C解析由題意得，4500－200－1000＝3300，所以隨機(jī)調(diào)查的消費(fèi)者中對(duì)網(wǎng)上購物“比較滿足”或“滿足”的概率為eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15).由此估計(jì)在網(wǎng)上購物的消費(fèi)者群體中對(duì)網(wǎng)上購物“比較滿足”或“滿足”的概率為eq\f(11,15).故選C.4．先后拋擲兩枚勻稱的五角、一元的硬幣，視察落地后硬幣的正反面狀況，則下列哪個(gè)事務(wù)的概率最大()A．至少一枚硬幣正面對(duì)上B．只有一枚硬幣正面對(duì)上C．兩枚硬幣都是正面對(duì)上D．兩枚硬幣一枚正面對(duì)上，另一枚反面對(duì)上答案A解析拋擲兩枚梗幣，其結(jié)果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四種狀況．至少有一枚硬幣正面對(duì)上或至少有一枚硬幣反面對(duì)上，均包括三種狀況，其概率最大．5．每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的．某次考試共有12道選擇題，某人說：“每個(gè)選項(xiàng)正確的概率是eq\f(1,4)，我每題都選擇第一個(gè)選項(xiàng)，則肯定有3個(gè)題選擇結(jié)果正確”這句話()A．正確B．錯(cuò)誤C．不肯定D．無法說明答案B解析解答一個(gè)選擇題作為一次試驗(yàn)，每次選擇的正確與否都是隨機(jī)的．即選擇正確的概率是eq\f(1,4).做12道選擇題，即進(jìn)行了12次試驗(yàn)，每個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的，不能保證每題的選擇結(jié)果都正確，但有3題選擇結(jié)果正確的可能性比較大．同時(shí)也有可能都選錯(cuò)，亦或有2題，4題，甚至12個(gè)題都選擇正確．6．甲、乙兩人做嬉戲，下列嬉戲中不公允的是()A．拋一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則乙勝B．同時(shí)拋兩枚相同的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝D．甲，乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝答案B解析對(duì)于A，C，D，甲勝，乙勝的概率都是eq\f(1,2)，嬉戲是公允的；對(duì)于B，點(diǎn)數(shù)之和大于7和點(diǎn)數(shù)之和小于7的概率相等，但點(diǎn)數(shù)之和等于7時(shí)乙勝，所以甲勝的概率小，嬉戲不公允．7．從一批電視機(jī)中隨機(jī)抽出10臺(tái)進(jìn)行檢驗(yàn)，其中有1臺(tái)次品，則關(guān)于這批電視機(jī)，下列說法正確的是()A．次品率小于10% B．次品率大于10%C．次品率等于10% D．次品率接近10%答案D解析抽出的樣本中次品的頻率為eq\f(1,10)，即10%，所以樣本中次品率大約為10%，所以總體中次品率大約為10%.二、填空題8．某地氣象局預(yù)報(bào)說，明天本地降雨的概率為80%，則下列說明：①明天本地有80%的區(qū)域降雨，20%的區(qū)域不降雨；②明天本地有80%的時(shí)間降雨，20%的時(shí)間不降雨；③明天本地降雨的機(jī)率是80%.其中正確的是________．(填序號(hào))答案③解析①②明顯不正確，因?yàn)?0%的概率是說降雨的概率，而不是說80%的區(qū)域降雨或80%的時(shí)間降雨．9．將一枚質(zhì)地勻稱的硬幣連擲兩次，則至少出現(xiàn)一次正面對(duì)上與兩次均出現(xiàn)反面對(duì)上的概率比為________．答案3∶1解析將一枚質(zhì)地勻稱的硬幣連擲兩次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．至少出現(xiàn)一次正面對(duì)上有3種情形，兩次均出現(xiàn)反面對(duì)上有1種情形，故答案為3∶1.10．利用簡潔隨機(jī)抽樣的方法抽取某校200名學(xué)生，其中戴眼鏡的學(xué)生有123人，若在這個(gè)學(xué)校隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，則他戴眼鏡的概率約是________．答案0.615解析樣本中的學(xué)生戴眼鏡的頻率為eq\f(123,200)＝0.615，所以隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，他戴眼鏡的概率約為0.615.11．為了解在一個(gè)水庫中養(yǎng)殖的魚的有關(guān)狀況，從這個(gè)水庫的不同位置捕撈出n條魚，將這n個(gè)樣本分成若干組，若某組的頻數(shù)和頻率分別為30和0.25，則n＝________.答案120解析據(jù)題意知n×0.25＝30，所以n＝120.

三、解答題12．某制造商今年3月生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)乒乓球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下表：分組頻數(shù)頻率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合計(jì)100(1)請(qǐng)將上表補(bǔ)充完整；(2)已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為40.00mm，試求這批乒乓球的直徑誤差不超過0.03mm的概率．解(1)頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[39.95,39.97)100.1[39.97,39.99)200.2[39.99,40.01)500.5[40.01,40.03]200.2合計(jì)1001.013．為了估計(jì)水庫中的魚的尾數(shù)，可以運(yùn)用以下的方法：先從水庫中捕出肯定數(shù)量的魚，例如2000尾，給每尾魚作上記號(hào)，不影響其存活，然后放回水庫．經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出肯定數(shù)量的魚，例如500尾，查看其中有記號(hào)的魚，設(shè)有40尾．試依據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)水庫內(nèi)魚的尾數(shù)．解設(shè)水庫中魚的尾數(shù)為n，從水庫中任捕一尾，每尾魚被捕的頻率(代替概率)為eq\f(2000,n)，其次次從水庫中捕出500尾，帶有記號(hào)的魚有40尾，則帶記號(hào)的魚被捕的頻率(代替概率)為eq\f(40,500)，由eq\f(200