目錄TOC\o"13"\h\u知識點梳理 1【知識點一：極值的概念】 1【知識點二：求f(x)極值的步驟】 1【知識點三：函數(shù)最值】 2題型演練 2題型一：極值點辨析 2題型二：求已知函數(shù)極值 3題型三：已知極值情況求參 6題型四：極值與最值辨析 10題型五：已知最值求參 11題型六：極值與最值綜合運用 15極值與最值知識點梳理【知識點一：極值的概念】若在點x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0,則a稱為函數(shù)y=f(x)的極小值點，若在點x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則b稱為函數(shù)y=f(x)的極大值點，極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．把函數(shù)圖象看成一座“山脈”，極大值就是“山峰”，極小值就是“山谷”，如上圖；【知識點二：求f(x)極值的步驟】①先確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③求方程的解；④檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注：①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號相反．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點．【知識點三：函數(shù)最值】（1）函數(shù)在區(qū)間上有最值的條件：如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大（小）值的步驟：①求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；②將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得．求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，然后結(jié)合區(qū)間范圍判斷函數(shù)最值題型演練題型一：極值點辨析1．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列命題中正確的有.①有2個極值點②在處取得極小值③有極大值，沒有極小值④在上單調(diào)遞增【答案】③④【分析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)圖象，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而確定極值情況即可得解.【詳解】觀察圖象知，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，無極小值，因此①②錯誤；③④正確.故答案為：③④2．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極小值，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值點的關(guān)系判斷可得出合適的選項.【詳解】因為函數(shù)在處取得極小值，在左側(cè)附近，，此時，，在右側(cè)附近，即存在，使得當(dāng)，使得，此時，，C選項合乎題意.故選：C.題型二：求已知函數(shù)極值3．從點可向曲線引三條不同切線，則t的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點為，利用，列出方程，從而將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)有3個不同零點，借助于求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求出極值，作出圖象得到不等式，求解即得.【詳解】設(shè)切點為，其中由求導(dǎo)得，則，依題意，方程有三個不同的解.設(shè)，則該函數(shù)有三個不同零點.因，由，則或，令，則或，令，則，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在時取得極大值，在時取得極小值，如圖所示：由圖知，函數(shù)有三個不同零點等價于，解得.故選：A．4．已知函數(shù)，下面表述不正確的為（

）A．是的極小值點 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】B【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，再對每個選項逐一判斷即可.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)，得，令，解得：或；令，解得：，所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，如下圖：對于選項A：觀察圖像可知，選項A正確；對于選項B：當(dāng)時，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故選項B錯誤；對于選項C：當(dāng)時，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，故，故選項C正確；對于選項D：當(dāng)時，，由，得，故，故選項D正確；故選：B5．已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得當(dāng)時函數(shù)的值域，再利用導(dǎo)數(shù)求當(dāng)時的極大值，使的極大值大于等于1即可求解.【詳解】當(dāng)時，的值域為，函數(shù)的值域為，當(dāng)時，是的值域的子集，又，令，或(舍去)，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極大值，故的值域為，，.故答案為：.題型三：已知極值情況求參6．已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是.【答案】【分析】求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，討論x的取值范圍可得結(jié)果.【詳解】由題意得，，故，因為函數(shù)在上無極值，所以在R上恒成立，當(dāng)時，，設(shè)，則，當(dāng)時，得，當(dāng)時，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故，當(dāng)時，，則.綜上，.故答案為：7．設(shè)，若函數(shù)存在兩個不同的極值點，則的取值范圍為.【答案】【分析】函數(shù)存在兩個不同的極值點等價于在內(nèi)有兩個異號零點，進而轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個不等根即可求解.【詳解】解：易知函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)存在兩個不同的極值點，所以在內(nèi)有兩個不等根，設(shè)，，則只需，即，所以，則的取值范圍為.故答案為：8．已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點和1個極小值點，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)零點個數(shù)和極小值點的個數(shù)可得關(guān)于的不等式，故可求其取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點和1個極小值點，所以，故，故答案為：9．設(shè)為常數(shù)，，若，且函數(shù)在區(qū)間上恰有一個極小值點，無極大值點，則的值為.【答案】11【分析】由條件得到為函數(shù)位于遞減區(qū)間上的零點，求出，，結(jié)合，求出，得到答案.【詳解】在區(qū)間上恰有一個極小值點，無極大值點，，故為函數(shù)位于遞減區(qū)間上的零點，故，解得，，，解得，故，，只有當(dāng)時，滿足要求，故.故答案為：11.10．（變式）已知函數(shù)在上存在極小值（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對函數(shù)求導(dǎo)并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對參數(shù)a的取值進行分類討論，得出相對應(yīng)的單調(diào)性，再由極值點定義進行驗證即可求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】因為，所以，令，則，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，當(dāng)，即時，與x軸有且只有一個交點，不妨設(shè)交點橫坐標(biāo)為，則當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時函數(shù)在處取得極大值，無極小值，不符合題意；當(dāng)，即時，與x軸有且只有一個交點，不妨設(shè)交點橫坐標(biāo)為，則當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時函數(shù)在處取得極大值，無極小值，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時函數(shù)在處取得極大值，無極小值，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時函數(shù)在處取得極大值，無極小值，不符合題意；當(dāng)，即時，的圖像如下所示：即與x軸有3個交點，不妨依次設(shè)為，，，則當(dāng)或時，即，當(dāng)或時，即，所以在處取得極小值，符合題意；綜上可得實數(shù)a的取值范圍為．故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對參數(shù)a的取值進行分類討論，再結(jié)合極小值定義并檢驗即可得出結(jié)論.題型四：極值與最值辨析11．（多選）下列說法中正確的是（

）．A．函數(shù)的最大值不一定是它的極大值B．函數(shù)的極大值可能小于它的極小值C．函數(shù)在某一閉區(qū)間上的極小值就是函數(shù)在這一區(qū)間的最小值D．函數(shù)在開區(qū)間不存在最大值和最小值【答案】AB【分析】AD可舉出反例；B選項，畫出圖象，得到B正確；C選項，最小值可能在端點處取到，C錯誤.【詳解】對于A，函數(shù)在上有最大值，但沒有極大值，故A正確；對于B，函數(shù)圖像，其中一個極大值為，一個極小值為，顯然極大值小于極小值，故B正確；對于C，的最小值可能在閉區(qū)間的端點處取到，也可能在閉區(qū)間上的極小值點處取到，故C不正確；對于D，函數(shù)在上既有最大值，又有最小值，故D不正確．故選：AB12．（多選）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．時，取得最大值 D．時，取得最小值【答案】AB【分析】由圖象可確定的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】由圖象可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對于A，，，A正確；對于B，，，B正確；對于C，由單調(diào)性知為極大值，當(dāng)時，可能存在，C錯誤；對于D，由單調(diào)性知，D錯誤.故選：AB.題型五：已知最值求參13．函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則實數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合題中條件得即，解不等式即得答案【詳解】因為，因為函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以題中問題等價于即解得，故選：D.14．已知函數(shù)，，在區(qū)間上有最大值，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，據(jù)此知函數(shù)有極大值，根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間上有最大值可知，區(qū)間含極大值點【詳解】，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在，上遞增函數(shù)，在上遞減函數(shù)，故時函數(shù)有極大值，且，所以當(dāng)函數(shù)在上有最大值，則且，即，解得.故選：B.15．若函數(shù)在上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，函數(shù)的極小值點在內(nèi)，再結(jié)合即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以，令得，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有極小值，因為函數(shù)在上存在最小值，又，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.16．已知函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為3，無最小值，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，結(jié)合題意可得且，即可求解.【詳解】由題意知，，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的極大值為，極小值為，且，又在上的最大值為3，無最小值，所以，解得，所以，令，解得或，所以，所以.故答案為：17．已知函數(shù)，，且，，若，則的最小值為.【答案】【分析】令，得到關(guān)于的函數(shù)式，進而可得關(guān)于的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并確定最值，即可求的最小值.【詳解】令，則，，，，，即，若，則，易知在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；，即的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：令確定關(guān)于的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值.18．設(shè)，，若對任意，都有成立，則的取值范圍是.【答案】4【分析】分、和三種情況進行分析，對和兩種情況進行分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)，將題設(shè)問題轉(zhuǎn)化成求所構(gòu)函數(shù)最值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值即可求解.【詳解】由題當(dāng)時，對任意都有滿足題意，當(dāng)時，恒成立恒成立，令，則，因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以；當(dāng)時，恒成立恒成立，令，則，因為在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上，，此時，所以，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以對任意，都有成立，所以.故答案為：4.題型六：極值與最值綜合運用19．已知函數(shù)，當(dāng)時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，則的取值范圍為．【答案】【分析】討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，求出，再構(gòu)造函數(shù)求出的取值范圍.【詳解】由求導(dǎo)得，若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為，而，，所以在區(qū)間上的最大值為，所以，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，，從而單調(diào)遞減，而，所以，即的取值范圍是；若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為，而，，所以在區(qū)間上的最大值為，所以，而，所以，即的取值范圍是，綜上得的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大（最小）值點，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到.20．已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為.【答案】/0.5【分析】對求導(dǎo)，進而研究的單調(diào)性，根據(jù)有最小值為0，則使，且求出，即可求參數(shù)值.【詳解】由，且，令，則，即在上遞增，所以在上遞增，又，，，，所以，使，且時，，時，，所以在上遞減，在上遞增，所以由，得，令函數(shù)，，所以在上是增函數(shù)，注意到，所以，所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最小值為0可得到方程組，消a得到關(guān)于的方程，再利用函數(shù)的單調(diào)性及特殊點的函數(shù)值解方程可得.21．已知關(guān)于的不等式對任意均成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意，分且和且，兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式，求得函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】因為關(guān)于的不等式對任意均成立，①當(dāng)對任意均成立時，可得對任意均成立，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，又由對任意均成立，可得對任意均成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，所以.②當(dāng)且對于任意均成立時，結(jié)合①可知且，此時無解.綜上可得，實數(shù)實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．22．設(shè)、是函數(shù)的兩個極值點，若，則的最小值為【答案】/【分析】由題意，是關(guān)于的方程的兩根，根據(jù)可得與的函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合的范圍，可得的最小值.【詳解】，，是的兩個極值點，∴，是關(guān)于的方程的兩根且，又當(dāng)時，，方程不成立，所以，，兩式作商得到：，所以，令，則，令，，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，則，則所以，，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，則的最小值為．故