9.3分式方程第9章分式第1課時分式方程及其解法學習目標1.理解分式方程的概念；2.掌握去分母的方法解分式方程的；（重點）3.理解分式方程產生增根的原因，掌握分式方程驗根的方法.（難點）

一艘輪船在靜水中的最大航速為

30千米/時，它沿江以最大航速順流航行

90

千米所用時間，與以最大航速逆流航行

60

千米所用時間相等.

設江水的流速為

x千米/時，根據題意可列方程

這個方程是我們以前學過的方程嗎？它與一元一次方程有什么區別？

.定義：像這樣，分母中含未知數的方程叫作分式方程.分式方程的概念知識要點1判一判

下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程方法總結：判斷一個方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(注意：π

是常數，不是未知數).（2）怎樣去分母？（3）在方程兩邊乘以什么樣的式子才能把每一個分母

都約去？（4）這樣做的依據是什么？解分式方程最關鍵的問題是什么？（1）如何把它轉化為整式方程呢？如何去分母你能試著解這個分式方程嗎？分式方程的解法2去分母在方程兩邊同時乘以一個合適的式子最簡公分母分式的基本性質方程的最簡公分母是：(30

+

x)(30

-

x)解：方程兩邊同時乘以

(30+x)(30

-

x)，得檢驗：將

x

=6代入原分式方程中，左邊

=

=

右邊，因此

x

=6是原分式方程的解.90(30

-

x)=60(30+x)，解得x=6.x=6是原分式方程的解嗎？解分式方程的基本思路：是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同時乘以最簡公分母.

這也是解分式方程的一般方法.歸納下面我們再解一個分式方程：解：方程兩邊同時乘以最簡公分母

(x+5)(x

-

5)，得x+5=10，解得

x=5.x=5是原分式方程的解嗎？檢驗：將

x=5代入原方程中，分母

x-

5和

x2-

25的值都為

0，相應的分式無意義.因此

x

=

5雖是整式方程

x

+

5=10

的解，但不是原分式方程

的解.實際上，這個分式方程無解.想一想：

上面兩個分式方程中，為什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而

去分母后所得整式方程的解卻不是原分式方程的解呢？真相揭秘：分式兩邊同時乘以不為

0的式子，所得整式方程的解與分式方程的解相同.我們再來觀察去分母的過程：90(30-x)=60(30+x)兩邊同乘以(30+x)(30-x)當x=6時，(30+x)(30-x)≠0真相揭秘：分式兩邊同時乘以等于

0的式子，所得整式方程的解使分母為

0，這個整式方程的解就不是原分式方程的解.x+5=10兩邊同乘以(x+5)(x-

5)當

x=5時，(x

+

5)(x-

5)=0解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母為

0，所以分式方程的解必須檢驗．分式方程解的檢驗——必不可少的步驟檢驗方法：

將整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母的值不為

0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.1.在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；2.解這個整式方程；3.把整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則該解須舍去；4.寫出原方程的根.簡記為：“一化二解三檢驗”“去分母法”解分式方程的步驟要點歸納例1

解方程：解：方程兩邊同乘以最簡公分母

x(x-

2)，得解這個一元一次方程，得x=-3.檢驗：把x=-3代入

x(x-

2)，得

x(x-

2)≠0.因此x=-3是原方程的解.典例精析解：方程兩邊同乘以最簡公分母(x+3)(x-

3)，得展開，得解方程，得所以，原方程的根是x=21.例1解方程：(x-

1)(x

-

3)

-

2(x

+

3)(x

-

3)=-x(x

+

3).x2

-4x+3

-

2x2+18=-x2

-3x.x=21.檢驗：當

x=21

時，(x

+

3)(x

-

3)≠0.典例精析解：兩邊都乘以最簡公分母(x

+2)(x

-

2)，得

x

+

2

=4.解得x

=2.檢驗：把

x

=2代入(x

+2)(x

-

2)，得(x

+2)(x

-

2)=

0.因此

x

=2不是原分式方程的解，原方程無解.提醒：解分式方程時，通常要在方程兩邊同乘以最簡公分母，驗根時，只要把求得的根代入最簡公分母，看它的值是否為零，使它不為零的根才是原方程的根，使它為零的根即為增根，應舍去.用框圖的方式總結為：分式方程整式方程去分母解整式方程x=a檢驗x=a是分式方程的解

該分式方程無解

當

x=a

時最簡公分母是否為零？否是例2關于

x的方程

的解是正數，則

a的取值范圍是_______________．解析：去分母得

2x＋a＝x-

1，解得

x＝-a

-

1.因為關于

x的方程

的解是正數，所以

x＞0

且

x≠1.所以

-a-1＞0且

-a-1≠1，解得

a＜-1且

a≠-2.a＜-1

且

a≠-2例3若關于

x的分式方程

無解，求

m的值．分析：先把分式方程化為整式方程，再分兩種情況討論求解：整式方程無解與分式方程有增根．

方法總結：先求出方程的解

(用未知字母表示)，然后根據其解的相關條件，列出關于未知字母的不等式求解，特別注意要使分母不為

0.解：方程兩邊都乘以

(x＋2)(x－2)

得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即

(m－1)x＝-10.①當

m－1＝0

時，此方程無解，此時

m＝1；②方程有增根，則

x＝2

或

x＝－2，當

x＝2

時，代入

(m－1)x＝－10，得

(m－1)×2＝－10，m＝－4；當

x＝－2時，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(－2)＝－10，解得

m＝6.

所以

m

的值是

1或－4或

6.

分式方程無解與分式方程有增根所表達的意義是不一樣的．分式方程有增根僅僅針對使最簡公分母為

0的數；分式方程無解不但包括使最簡公分母為

0

的數（增根），而且還包括分式方程化為整式方程后，使整式方程無解的數．方法歸納1.解方程.

解：(1)去分母，得5(x－2)=3x解得x=5經檢驗，x=5是原方程的根.(2)去分母，得x－4－1=3－x解得x=4經檢驗，x=4是原方程的增根，因而原方程無解.2.

防汛期間，縣指揮部組織人力到

30

km

遠的堤上搶修堤壩，2

人騎摩托車先走，15min

后，大部隊乘汽車裝載著所需材料出發，結果他們同時到達.已知汽車速度是摩托車速度的

1.5

倍，求這兩種車的速度.解：設摩托車的速度為x

km/h，則汽車的速度為

1.5x

km/h.

解得

x=40汽車速度：1.5×40=60

km/h.答：摩托車速度為

40km/h，汽車速度為

60

km/h.分式方程誤區(1)去分母時，原方程的整式部分漏乘；步驟(去分母法)一化(分式方程轉化為整式方程)；二解

(整式方程)；三檢驗

(把解代入到最簡公分母，看是否為零)(2)

去分母后，分子是多項式時，沒有添括號(因分數線有括號的作用)；(3)忘記檢驗.定義分母中含未知數的方程叫做分式方程D2.要把方程

化為整式方程，方程兩邊可以同時乘以（

）A.3y-

6B.3yC.3(3y

-

6)D.3y(y

-

2)1.下列關于

x的方程中，是分式方程的是(

)A.B.C.D.D3.解方程：解：

方程兩邊同乘以

(x

-

1)(x

+

2)，得x(x

+

2)

-

(x

-

1)(x

+

2)=3.解得：x=1.檢驗：當

x=1

時，(x

-

1)(x

+

2)=0，因此

x=1不是原分式方程的解.所以原分式方程無解.4.解方程：解：方程兩邊同乘以

，得解得檢驗：把代入最簡公分母，得所以原方程的解為5.若關