平面立體、曲面、曲面立體

和空間曲線的多面正投影2.4.1平面立體2.4.2曲面和曲面立體2.4.3空間曲線、圓柱螺旋線和螺旋面2.4.1平面立體2.4.1.1棱柱及其表面上的線和點圖2.157正六棱柱的投影(a)立體圖(b)投影圖(c)用45°輔助線作投影圖投影規(guī)律：水平投影與正面投影長對正；正面投影與側(cè)面投影高平齊；水平投影與側(cè)面投影寬相等。平面立體是全部表面由平面圍成的立體，也稱多面體。棱柱表面上的點和線的投影圖2.158補全正五棱柱表面上的點和線的三面投影分析：從已知條件可知，點A在頂面上，點B在底面上;點C在左后棱面上，點D在右后棱面上；EF、FG段分別是左前棱面、右前棱面上的線段，其點E、F、G位于棱線上。GH、HI段分別是右后棱面、后棱面上的線段，其點H、I位于棱線上。2.4.1.2棱錐及其表面上的線和點圖2.159正五棱錐的投影(a)立體圖(b)投影圖棱錐的投影圖的作圖已知棱錐的兩面投影和表面上的點的水平投影，求作它的正面投影。圖2.160在正三棱錐表面上作點D的正面投影(a)已知條件(b)作法一(c)作法二(d)作法三［例題2.37］如圖所示，已知正五棱錐表面上的點F、K、L和直線GH的一個投影，補全這些點和直線的三面投影。圖2.161補全正五棱錐表面上的點和直線的三面投影［解］①作45°輔助線②補全點K、L的三面投影④補全直線GH的三面投影③補全點F的三面投影2.4.1.3一些常見的平面立體的投影圖示例圖2.162一些平面立體的投影圖示例(a)正三棱柱(b)左端切割成正垂面的L形柱圖2.162一些平面立體的投影圖示例(c)斜三棱柱(d)正四棱臺圖2.162一些平面立體的投影圖示例(e)楔形塊(f)疊加組合體2.4.2.1曲面的形成和分類曲面按其形成有無規(guī)律而分成：不規(guī)則曲面和規(guī)則曲面。規(guī)則曲面可以看作為一條線按一定的規(guī)律運動的軌跡，這條線稱為母線，母線的任一位置稱為素線，控制母線運動的點、線、面，分別稱為導點、導線、導面。母線可以是直線，也可以是曲線。曲面根據(jù)是否由母線繞軸線旋轉(zhuǎn)而形成分為回轉(zhuǎn)面和非回轉(zhuǎn)面。曲面按是否能展開成平面而分成可展曲面和不可展曲面。由曲面或曲面和平面所圍成的立體是曲面立體。2.4.2曲線和曲面立體2.4.2.2回轉(zhuǎn)面和回轉(zhuǎn)體圖2.163圓柱的投影(1)圓柱(a)立體圖(b)投影圖已知圓柱表面上的點A、B的水平投影a(b)，以及曲線CD的正面投影c′d′，補全這些點和線的三面投影。圖2.164補全圓柱表面上給定的點和線的三面投影［解］①因為a(b)位于圓周內(nèi)，所以點A和B分別是圓柱的頂面和底面上。②由于c′d′可見，所以CD是前半圓柱面上的橢圓曲線。(2)圓錐和圓臺圖2.165圓錐的投影(a)立體圖(b)投影圖已知一個圓錐的三面投影及其表面上的點A的正面投影a′，求作點A的水平投影a和側(cè)面投影a″。圖2.166作圓錐表面上的點的投影(a)已知條件(d)緯圓法(b)解題分析

(c)素線法素線素線緯圓用過圓錐面上的點取素線來求作這個點的投影的方法，稱為素線法。用過圓錐面上的點取緯圓來求作這個點的投影的方法，稱為緯圓法。圓臺的投影圖的作圖圖2.167圓臺的投影(a)立體圖(b)投影圖(3)球圖2.168球的投影(a)立體圖(b)投影圖已知球的水平投影和正面投影，以及球面上的點A的正面投影，需求作球的側(cè)面投影，以及點A的水平投影a和側(cè)面投影a″。（a)已知條件［解］圖2.169作球體表面上的點的投影(b)作法一(c)作法二(d)作法三(4)環(huán)圖2.170環(huán)的投影(a)立體圖(b)投影圖當母線圓繞圓平面上不過圓心的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的回轉(zhuǎn)面是環(huán)面，簡稱環(huán)。已知環(huán)面上順次向后的四個點A、B、C、D的互相重合的正面投影a′(b′)(c′)(d′)，作出這四個點的水平投影，并表明可見性。［解］圖2.171作環(huán)面上的點的投影作圖過程如圖所示。(完成作圖)(5)組合回轉(zhuǎn)面及其構成的組合回轉(zhuǎn)體圖2.172一般回轉(zhuǎn)面或組合回轉(zhuǎn)面(a)立體圖(b)投影圖由一條平面曲線繞與其同面的軸線旋轉(zhuǎn)形成的回轉(zhuǎn)面。(6)單葉雙曲回轉(zhuǎn)面圖2.173單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的形成和投影(b)曲面的形成(c)投影圖由直線繞與其交叉的軸線旋轉(zhuǎn)形成的曲面，稱為單葉雙曲回轉(zhuǎn)面。(a)軸線與母線(7)切割或疊加的回轉(zhuǎn)體圖2.174切割或疊加的回轉(zhuǎn)體示例(c)半圓柱切割掉半個圓臺(a)四分之一圓管(b)四分之一環(huán)圖2.174切割或疊加的回轉(zhuǎn)體示例(d)圓柱切割掉半球(e)半球與圓柱相切(f)圓臺與半球相交如圖所示，作出這個三個同軸回轉(zhuǎn)體疊加組成的組合回轉(zhuǎn)體的側(cè)面投影以及在這個組合回轉(zhuǎn)體表面上前后對稱的連接成封閉的若干線段的水平投影和側(cè)面投影。［解］圖2.175畫出組合回轉(zhuǎn)體的側(cè)面投影及表面上的線的投影作圖過程如圖所示。(完成作圖)2.4.2.3一些常用的非回轉(zhuǎn)直紋面圖2.176柱面及其形成(1)柱面(a)橢圓柱面(b)斜圓柱面圖2.177有軸柱面示例(c)斜橢圓柱面直母線沿著一條曲導線且平行于一條直導線運動而形成的曲面稱為柱面。(2)錐面圖2.178錐面及其形成(a)橢圓錐面(b)斜圓錐面圖2.179有軸錐面示例(c)斜橢圓錐面直母線沿著一條曲導線且通過一個導點運動而形成的曲面稱為錐面，這個導點稱為錐面的頂點。(3)翹平面圖2.180雙曲拋物面的形成及其投影圖直母線沿著兩條交叉的直導線且平行于某一導平面運動而形成的曲面稱為雙曲拋物面，也稱為翹平面。翹平面在解析幾何中稱為雙曲拋物面，由于它是復線織面，所以放樣、支模和鋪設鋼筋等工作比較方便，在土木工程中有較廣泛的應用，如：屋面、擋土墻、護坡、渠道邊坡等。圖2.181雙曲拋物面的應用示例(a)屋面(b)河岸的過渡曲面(4)錐狀面圖2.182錐狀面的形成、投影圖和應用實例(a)形成和投影圖(b)應用實例—屋面直母線沿著一條直導線和一條曲導線且平行于一個導平面運動而形成的曲面稱為錐狀面。(5)柱狀面圖2.183柱狀面的形成、投影圖和應用實例直母線沿著兩條曲導線且平行于一個導平面運動而形成的曲面稱為柱狀面。(a)形成和投影圖(b)應用實例—橋墩2.4.3空間曲線的投影(b)投影圖空間曲線的投影是由該空間曲線上的各點向投影面的作投影，將這些點的投影順序光滑地連接，即為空間曲線的投影。圖2.184空間曲線的投影(a)立體圖2.4.3.1空間曲線2.4.3.2圓柱螺旋線和平螺旋面一動點沿圓柱面的直母線作等速移動，這條直母線又繞圓柱面的軸線作等速旋轉(zhuǎn)，則該點形成位于這個圓柱面上的一條空間曲線，稱為圓柱螺旋線。圓柱螺旋線有三個基本要素：(1)半徑r：即圓柱螺旋線所在的圓柱面的半徑。(2)導程s：即動點隨圓柱面上的直母線旋轉(zhuǎn)一周時，沿直母線所移動的軸向距離。(3)旋向(左旋或右旋)：當動點沿直母線移動和繞圓柱面的軸線旋轉(zhuǎn)符合右手法則時，稱為右旋；若符合左手法則時，稱為左旋。

圓柱螺旋線的三要素圖2.185圓柱螺旋線和平螺旋面(c)平螺旋面(d)中空的平螺旋面（b）圓柱螺旋線的繪制［解］圖2.186作一段螺旋方管的正面投影［例題2.38］已知一段右旋螺旋方管的軸線和右下端管口的兩面投影，這段螺旋方管的水平投影，并知螺旋方管的導程為管口邊長的十二倍，作這段螺旋方管的正面投影。2.4.3.4圓柱螺旋線和平螺旋面的