點、直線、平面和平面曲線

的多面正投影（二）2.2.1投影面體系及點的投影2.2.2直線的投影2.2.4直線與平面以及兩平面的相對位置2.2.3平面和平面曲線的投影2.2.5點、直線、平面間的綜合作圖題示例2.2.3平面和平面曲線的投影圖2.99平面的幾何元素表示法(a)三點(b)直線及線外一點(c)相交兩直線(d)平行兩直線(e)平面圖形2.2.3.1平面的表示法平面常以確定該平面的點、直線或平面圖形等幾何元素表示。2.2.3.2平面對投影面的各種相對位置

一般位置平面：與三個投影面都傾斜的平面(簡稱一般面)平面

投影面垂直面：僅垂直于一個投影面的平面

特殊位置平面

(⊥V：正垂面；⊥H：鉛垂面；⊥W：側垂面)

投影面平行面：平行于一個投影面的平面

(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：側平面)平面按照對投影面H、V、W的相對位置，分類如下:傾角:平面與水平面H、正面V、側面W的夾角，稱為該平面對投影面H、V、W的傾角，也用、、表示。當平面平行于投影面時，傾角為0°；垂直于投影面時，傾角為90°；傾斜于投影面時，傾角大于0°，小于90°。平面圖形的投影特性:圖2.100平面圖形的投影特性(1)△ABC傾斜于投影面H，則它在H面上的投影為面積縮小的類似形△abc。(2)△DEF垂直于投影面H，則它在H面上的投影成為一直線def。(3)△GHI平行于投影面H，則它在H面上的投影△ghi反映△GHI的真形。（1）一般位置平面圖2.101處于一般位置的平面圖形(a)立體圖(b)投影圖投影特性：三個投影都是面積縮小的類似形。（2）投影面垂直面表2.8處于投影面垂直面位置的平面圖形平面在所垂直的投影面上的投影積聚成直線，并反映與另兩個投影面的傾角。在另兩個投影面上的投影，為面積縮小的類似形。平面與投影面的交線稱為跡線。

投影面垂直面在它所垂直的投影面上的投影積聚成直線，與它在該投影面上的跡線重合。由于通過平面上的一條直線只能作出一個與它相垂直的平面，所以，可以用一條有積聚性的跡線表示這個平面。圖2.102用有積聚性的跡線表示投影面垂直面示例(a)立體圖(b)投影圖（3）投影面平行面表2.9處于投影面平行面位置的平面圖形平面在它所平行的投影面上的投影，反映真形。在其它兩個投影面上的投影，分別積聚成直線，且平行于相應的投影軸。圖2.103用有積聚性的跡線表示投影面平行面示例(a)立體圖(b)投影圖投影面平行面在它所平行的投影面上沒有跡線，在另兩投影面上的投影與它在該投影面上的跡線重合，且平行于相應的投影軸。2.2.3.3平面上的點和直線（1）平面上的點和直線的幾何條件以及應注意點平面上的點，必在該平面的一條直線上。平面上的直線，必通過平面上的兩點；或通過平面上的一點，且平行于平面上的另一直線。(a)一般位置平面上的點和直線圖2.104平面上的點和直線特殊位置平面上的點和直線的檢驗和作圖，則常用它的有積聚性的投影或跡線。(b)特殊位置平面上的點和直線［例題2.11］已知正垂面△ABC、點D和E、直線DE的投影圖，檢驗點D、E和直線DE是否在△ABC平面上。圖2.105檢驗點D、E和直線DE是否在△ABC平面上［解］分析：因為正垂面△ABC的正面投影a′b′c′有積聚性，所以只要檢驗點D、E的正面投影d′、e′是否積聚在△ABC的有積聚性的正面投影a′b′c′上。檢驗的結果：由于d′在a′b′c′上，所以點D在△ABC平面上，而e′不在a′b′c′上，所以點E不在△ABC平面上。由于點E不在△ABC平面上，所以直線DE

也不在△ABC平面上。［例題2.12］已知△ABC和點D的兩面投影，以及△ABC平面上的直線EF的正面投影e′f′，檢驗點D是否在△ABC平面上，并作出直線EF的水平投影ef。圖2.106檢驗點D是否在平面上，求直線EF的水平投影［解］①根據點在平面上，必在該平面的一條直線上。則過d在平面abc上任意畫一條直線，并求得該直線在a′b′c′上的投影。②由于d′不在a′b′c′的該直線上，所以：D不是△ABC平面上的點。③根據直線在平面上，延長該直線必與不平行它的直線相交。則延長e′f′，分別與a′b′、b′c′交得2′、3′；引投影連線得2、3，連接2與3；再由e′、f′分別引投影連線，與23交得e、f，ef即為所求作的直線EF的水平投影。［例題2.13］已知點A、B和直線CD的兩面投影，求作過點A的正平面，過點B的與水平面的傾角為45°的正垂面，過直線CD的鉛垂面，并分別說明各有幾解。圖2.107過點A作正平面，過點B作與水平面成45°傾角的正垂面，過直線CD作鉛垂面［解］①因為正平面到V面距離=A點到V面距離。過a作平行OX軸的直線即為所求正平面P有積聚性的水平跡線PH，只有一解。②因為正垂面的V面投影積聚成直線，并反映與水平面傾角。過b’作與OX軸成45°的直線即為正垂面有積聚性的正面跡線QV、RV，有兩解。③因為鉛垂面的H面積聚成直線。延長cd即為所作鉛垂面T的水平跡線TH，有一解。(完成作圖)(2)平面上的投影面平行線和對投影面的最大傾斜線［例題2.14］已知△ABC，在△ABC平面上取一點D，點D在H面之上15mm，在V面之前10mm，作出點D的兩面投影。圖2.108在△ABC平面上取于H面之上15、V面之前10的點D［解］①在OX軸之上15mm處作水平線ⅠⅡ。②在OX軸之前10mm處作OX的平行線，與12交得d，即為點D的水平投影；由d引投影連線，與1′2′交得d′，即為點D的正面投影。(完成作圖)

P平面上的對H面的最大傾斜線平面上與某一投影面成最大傾角的直線，稱為平面上對該投影面的最大傾斜線。平面上對某一投影面的最大傾斜線，是與平面上的該投影面的平行線相垂直的直線；它與該投影面的傾角，也就是平面對該投影面的傾角。①當曲線所在的平面平行于投影面時，投影反映真形。②當曲線所在的平面垂直于投影面時，投影積聚成為一直線線段。③當曲線所在的平面傾斜于投影面時，投影成為形狀縮小的類似形。2.2.3.4平面上的曲線和圖形圖2.109平面曲線及其投影特性（1）平面曲線及其投影特性曲線可分成兩類：所有的點都位于同一平面上的曲線稱為平面曲線；連續四點不在同一平面上的曲線稱為空間曲線。(a)平行于投影面(b)垂直于投影面(c)傾斜于投影面［例題2.15］已知三角形PQR平面內的平面曲線AE的水平投影，求作這條平面曲線的正面投影。圖2.110作平面內的平面曲線AE的正面投影［解］①在ae上取點b、c、d，過a、b、c、d、e作正平線，分別與qr交得1、2、3、4、5。將a1延伸，與pq交得f。②過1、2、3、4、5、f引正面投影的連線，分別交得1′、2′、3′、4′、5′、f′，連1′和f′；過2′、3′、4′、5′分別作1′f′的平行線。從a、b、c、d、e分別引正面投影的連線，交得a′、b′、c′、d′、e′。③用曲線板將a′、b′、c′、d′、e′順序連成光滑曲線AE的正面投影。在與圓平面平行的投影面上的投影反映真形。在與圓平面垂直的投影面上的投影成直線，長度等于圓的直徑，中點是圓心的投影。在與圓平面傾斜的投影面上的投影是橢圓。（2）圓及其投影特性圖2.111正平圓的投影圖2.112鉛垂圓的兩面投影及作圖過程(3)平面圖形[例題2.16]已知平面P為側垂面，與H面的傾角為60°，又知平面P上的△ABC的正面投影△a′b′c′和點A的水平投影a、點B在點A的前下方。補全△ABC的水平投影，并作出它的側面投影。圖2.113作側垂面P的跡線；補全平面P上的△ABC的水平投影，作出它的側面投影［解］作圖過程如圖所示。作平面圖形的投影就是作平面上諸頂點的投影，然后順次連接諸頂點的同面投影。(完成作圖)［例題2.17］已知平面五邊形ABCDE的水平投影abcde以及兩邊AB、BC的正面投影a′b′、b′c′，補全ABCDE的正面投影。圖2.114補全平面五邊形ABCDE的正面投影［解］作圖過程如圖所示。(完成作圖)［例題2.18］已知正方形ABCD的左下邊AB，正方形ABCD與H面的傾角為45°；已知處于正平面位置的正方形EFGH的頂邊EF；已知一般位置的正方形IJKL的右前邊JK，正方形IJKL的上、下邊KL、IJ為水平線。分別補全這三個正方形ABCD、EFGH、IJKL的兩面投影。［解］分析:正方形四邊相等和四個內角都是直角。根據投影面垂直面、投影面平行面、一般位置平面的投影特性，以及平面上的投影面平行線、兩直線垂直的投影特性，就可補全這三個正方形的兩面投影。圖2.115按已知條件分別補全正方形的兩面投影作圖過程如圖所示。(完成作圖)2.2.4.1當兩個幾何元素至少有一個垂直于投影面時直線與平面、或平面與平面（至少有一個垂直于投影面時）互相平行的投影特性是：它們的有積聚性的同面投影互相平行。圖2.116當平面為特殊位置時，直線與平面以及兩平面平行的投影特性2.2.4直線與平面以及兩平面的相對位置(1)平行直線與平面以及兩平面的相對位置有平行、相交、垂直。［例題2.19］已知點G和處于鉛垂位置的矩形平面ABCD，以及直線EF的正面投影e′f′和端點E的水平投影e，并知EF平行于矩形平面ABCD。補全EF的水平投影，過點G作平行于矩形ABCD的平面。圖2.117補全直線EF的水平投影，過點G作矩形ABCD的平行平面［解］①補全直線EF的水平投影②過點G作矩形ABCD的平行平面(完成作圖)（2）相交圖2.118作AB與矩形DEFG的交點，并表明可見性分析：因交點是直線與平面的共有點，所以它的投影應在直線和平面的共有處。交點是可見與不可見的分界點。其可見性可根據前遮后檢定。檢定后，將可見部分畫成粗實線、不可見部分畫中虛線。直線與平面相交［例題2.20］如圖所示，作直線AB與鉛垂的矩形平面DEFG的交點，并表明可見性。［解］作圖過程如圖所示。直線與平面、或平面與平面（至少有一個垂直于投影面時）相交，可很方便地利用投影的積聚性求作交點或交線。交點和交線的投影分別是可見與不可見投影的分界點或分界線。［例題2.21］如圖所示，作正垂線EF與平行四邊形平面ABCD的交點，并表明可見性。［解］圖2.119作正垂線EF與ABCD的交點，并表明可見性①作AB與側垂面P的交點K。②判別并表明可見性。利用EF與CD的對H面的重影點檢定：在ef與cd交點處注出1(2)；1′在c′d′上，2′在e′f′上；由于CD高于EF，所以1可見(2)不可見，表明k(2)段不可見。(完成作圖)兩平面相交圖2.66兩個平面多邊形全交和互交(a)全交(b)互交兩平面的交線是一條直線，求作兩平面的交線，常用的作圖方法：先作出平面上的一條直線對另一平面的交點，同樣也再作出第二個交點，然后連成交線。［例題2.22］如圖所示，作三角形ABC與鉛垂的矩形DEFG的交線，并表明可見性。圖2.121作三角形與鉛垂矩形的交線，并表明可見性［解］①作三角形與鉛垂矩形的交線KL。②判斷并表明可見性：在KL之右，三角形在矩形之前，三角形的正面投影可見，矩形的正面投影不可見；在交線KL之左則相反。(完成作圖)［例題2.23］如圖所示，作三角形ABC與鉛垂的矩形DEFG的交線，并表明可見性。圖2.122作三角形與鉛垂矩形的交線，并表明可見性［解］①作三角形與鉛垂矩形的交線KL。②判斷并表明可見性：在交線之右，三角形在前，矩形在后，正面投影重合處應是三角形可見，矩形不可見；在交線之左則相反。(完成作圖)［例題2.24］如圖所示，作平行于側面的三角形ABC和垂直于正面的三角形DEF的交線，并表明可見性。圖2.123作側平面三角形ABC和正垂面三角形DEF的交線，并表明可見性［解］①作側平面ABC和正垂面DEF的交線KL。②判斷并表明可見性：在交線KL之上，三角形ABC位于三角形DEF之左，三角形ABC的側面投影可見，三角形DEF的側面投影不可見；在交線KL之下則相反。(完成作圖)（3）垂直圖2.124特殊位置的直線與平面互相垂直①直線與平面垂直a)同一投影面的平行線與垂直面相垂直；(b)同一投影面的垂直線與平行面相垂直與投影面平行線相垂直的平面一定是該投影面的垂直面；與投影面垂直線相垂直的平面一定是該投影面的平行面。［例題2.25］如圖所示，過點A作正垂面三角形CDE的垂線AB和垂足B，并確定點A與三角形CDE平面的真實距離。圖2.125過A作三角形CDE的垂線和垂足，并求A與CDE平面的距離［解］作圖過程如圖所示。(完成作圖)②兩平面垂直兩平面中至少有一個平面處于特殊位置時的互相垂直（a)平面與投影面垂直面相垂直(b)平面與投影面平行面相垂直①與某一投影面的垂直面相垂直的平面，一定包含該投影面垂直面的垂線，可以是一般位置平面，也可以是這個投影面的垂直面或平行面。②與某一投影面的平行面相垂直的平面，一定包含這個投影面的垂直線，一定是這個投影面的垂直面，也可以是其它兩個投影面的平行面。圖2.126垂直于同一投影面的兩平面相垂直的投影特性兩個垂直于同一投影面的平面互相垂直，它們的有積聚性的同面投影也互相垂直。［例題2.40］如圖所示，過直線AB作一般位置平面垂直于正垂面P，過點C作垂直于正垂面P的正垂面Q和正平面R。圖2.127過AB作一般位置平面垂直于正垂面P，過點C作垂直于正垂面P的正垂面Q和正平面R①過一已知直線可以作一個已知平面的垂直面，而且只能作一個垂直面，這個平面應包含這條已知直線和一條垂直于已知平面的直線。［解］②過點C可以作無數個平面垂直于正垂面P。而現在加了是正垂面和正平面的條件限制，則只能分別作出一個平面。(完成作圖)2.2.4.2當兩個幾何元素都不垂直于投影面時平面外的直線與該平面平行的幾何條件是：這條直線平行于該平面上的一條直線。（1）平行兩平面平行的幾何條件是：一平面上的兩相交直線，分別平行于另一平面上的兩相交直線。當平面為一般位置時，常用上述幾何條件來檢驗或求解有關直線與平面以及兩平面平行的問題。［例題2.27］已知直線AB、△CDE、點P的兩面投影，檢驗直線AB是否平行于△CDE，并過點P作平行于△CDE的平面。圖2.128檢驗AB是否平行△CDE，過P作平面平行△CDE［解］①檢驗AB是否平行△CDE過c作cf∥ab，由f引投影連線，與d′e′交得f′，連c′與f′。②過P作平面平行△CDE過p作pq∥cd，p′q′∥c′d′

；過p′作pr∥ce，p′r′∥c′e′，那么兩相交直線PQ、PR所確定的平面，就是所求作的過點P且平行于△CDE的平面。因c′f′∥a′b′，則CF∥AB，所以AB∥△CDE。(完成作圖)（2）相交圖2.129作一般位置直線和一般位置平面的交點，并表明可見性(b)用過直線的特殊位置的輔助平面求交點的作法概念(a)已知條件①直線與平面相交當直線和平面的投影都不垂直投影面時，可采用通過直線加設輔助平面求作交點；直線與平面的同面投影相重合處的可見性，可依靠兩交叉直線重影點的可見性檢定。(c)用鉛垂面解題圖2.129作一般位置直線和一般位置平面的交點，并表明可見性(d)用正垂面解題當直線和平面的投影都無積聚性時求作交點的作圖步驟：①通過直線作垂直于投影面的輔助平面。②作平面與輔助平面的交線。③直線與上述交線的交點，就是所求作的直線和平面的交點。(完成作圖)圖2.130作兩個一般位置的平面的交線，并表明可見性②兩平面相交當兩平面的投影都沒有積聚性時，采用輔助平面法求交線常用的兩種形式：一是先作一個平面上的一條直線與另一個平面的交點（可以利用包含直線作垂直于投影面的輔助平面方法作出這條直線與平面的交點），同樣地再找一條直線作出另一個交點，即為兩個平面的兩個共有點，便可連成它們的交線；二是先作一個特殊位置輔助平面，分別作出輔助平面與這兩個平面的交線，這兩條交線的交點，即為輔助平面和這兩個平面的三面共有點，也就是這兩個平面的共有點，同樣地再作出另一個共有點，將這兩個共有點連成這兩個平面的交線。作圖步驟：圖2.130作兩個一般位置的平面的交線，并表明可見性①作出平行四邊形DEFG的DE邊與三角形ABC的交點Ⅲ。②作出平行四邊形的FG邊與三角形ABC的交點Ⅳ。③連3與4、3′與4′，即得所求的交線ⅢⅣ的兩面投影34、3′4′。④判別可見性：根據水平投影的重點l(t)可知，L在T之上，故l可見t不可見，即CB在四邊形之上，推知交線34之后三角形可見。另側相反。根據正面投影的重點u′(v′)可知，U在V之前，故u′可見v′不可見，即AC在四邊形之后，推知交線3′4′之上四邊形可見。另側相反。解題分析：圖2.131作兩一般位置平面ABC和DEFG的交線求作由相交兩直線AB、BC和平行兩直線DE、FG所確定的兩一般位置平面的交線。(完成作圖)（3）垂直①直線與平面垂直圖2.132直線與一般位置平面相垂直的投影特性直線與平面相垂直的幾何條件：該直線垂直于這個平面上的任意兩條相交直線；直線與一般位置平面相垂直的投影特性：直線的水平投影與平面上水平線的水平投影相垂直；直線的正面投影與平面上正平線的正面投影相垂直；直線的側面投影與平面上側平線的側面投影相垂直。［例題2.28］如圖所示，過點A作一平面垂直于一般位置直線BC。［解］圖2.133過A作平面垂直于BC①過a′作OX軸的平行線a′d′，過a作ad垂直于bc，便作出了與BC相垂直的水平線AD。②過a作OX軸的平行線ae，過a′作a′e′垂直于b′c′，便作出了與BC相垂直的正平線AE。③相交兩直線AD、AE所確定的平面ADE即為所求。②兩平面垂直兩平面互相垂直的幾何條件：一個平面上有一條直線垂直于另一平面。兩平面互相垂直的投影特性［例題2.29］如圖所示，過點A作一平面，平行于直線BC，垂直于三角形DEF。圖2.134過點A作平面平行于BC，垂直于三角形DEF［解］分析：按直線與平面平行和兩平面垂直的幾何條件，只要所作的平面既包含過點A的BC的平行線，又包含過點A的三角形DEF的垂線，就能滿足題目的要求。①過點A作AG∥BC：作ag∥bc，a′g′∥b′c′，就作出了AG的兩面投影。②過點A作AH⊥△DEF：作△DEF平面上的一條水平線DⅠ和一條正平線DⅡ。過a