基于學生經驗理解“關系，，、感悟“模型”

——我的教學札記之七

牛獻禮

案例：常見的數量關系——路程、時間與速度

教學思考：

“常見的數量關系”是《課標》（2011版）中新增的教學

內容。《課標》中的要求為“在具體情境中，了解常見的數量關

系：總價二單價X數量、路程二速度X時間，并能解決簡單的實際

問題”。怎樣理解這一要求呢？

“在具體情境中”這一前提條件說明教學不能離開具體的

情境空談數量關系，學習材料的選擇要貼近生活，貼近兒童，密

切聯系學生經驗。

“能解決簡單的實際問題”這一要求說明教學的重點在“關

系”的理解與掌握。比如，路程、時間、速度是三個數量，而“路

程二速度X時間、速度二路程：時間、時間二路程4■速度”則是它

們之間的關系，這些關系彼此關聯，并可以相互轉化。

更進一步思考，對“關系”具有統攝作用的是“模型”。

速度是描述物體運動快慢的物理量，定義為路程和時間的比值，

它離不開路程、時間。從數學模型的角度，它屬于“乘法模型”，

是“總數=每份數X數量”關系的具體化（更高層面上看，就是

“幾個幾相加”的乘法意義的具體化）。數學教學要體現模型思

想，就是要落實“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并

進行解釋與應用的過程”的教學理念。

為此，一方面要將數量關系的學習建立在學生熟悉的經驗

基礎之上，通過呈現富有啟發性的現實情境，讓學生用數學的眼

光去尋找、發現數量之間的關系；另一方面，要基于數量關系來

構建模型，感悟模型思想。

片斷一：聯系“比快慢”的經驗，引出“速度”，感受“關系”。

師：在我們生活中經常比快慢，以跑步為例，兩個同學跑步要比

快慢，怎么比才能知道誰快誰慢？

生：都跑100米，看誰用的時間少。

師：你的意思是跑同樣長的路，比時間，我們把跑多遠叫做路程。

（板書：路程）

課件演示：小紅和小麗跑100米的情景

（出示：路程相同，可以直接比時間）。

師：生活中哪里經常用這種方法？

生：體育比賽時，跑200米、400米、1000米等等。

師：除了用這樣的方法比快慢，還有其他的比法嗎？

生：時間一樣，看誰跑得多。

師：舉個例子。

生：都跑2分鐘，一個跑300米，一個跑400米。

師：也就是說，比快慢時，時間相同的話，只要比誰跑的路程遠，

誰就跑得快。

課件演示：小紅與小麗跑的時間相同，跑的路程不同。

（出示：時間相同，可以直接比路程）

出示：喜羊羊和懶羊羊分別從家到學校去

喜羊羊上學走了6分鐘懶羊羊上學走了4分鐘

師：你覺得他倆誰走得快一些？

生1：懶羊羊走得快一些，因為他用的時間少。

生2：不一定！有可能是懶羊羊家離學校近，喜羊羊家離學校遠

一些。

師：生2說得有沒有道理？

生（異口同聲）：有道理。

師：也就是說，只知道時間還不能比出快慢來，還需要知道它們

兩家到學校的路程。

（出示補充信息：喜羊羊從家到學校要走480米，懶羊羊從家到

學校要走280米。）

師：剛才我們比快慢，要先規定相同的路程或者相同的時間。現

在路程不相同，時間也不相同，還能比嗎？試試看。

學生嘗試計算。

師：誰走得快一些？你是怎么想的？

生：喜羊羊走得快一些。因為480+6=80（米）280：4=70

（米）70<80

師：70<80,他在比什么？你們看懂了嗎？

生：70是懶羊羊1分鐘走的路程，80是喜羊羊1分鐘走的路程。

師：1分鐘走70米是什么意思呢？我們可以在線段圖上表示出

來。（出示：用線段圖來說明，突出平均分成6份或4份）

師：我們通過計算、畫圖知道了喜羊羊1分鐘走80米，懶羊羊

1分鐘走70米。他們誰走得快？

生：喜羊羊走得快。因為都是1分鐘，喜羊羊走得多。

師：喜羊羊和懶羊羊上學走的路程不相同，走的時間也不相同，

我們通過計算它們1分鐘走的路程比出了快慢。像這樣表示1分

鐘走的路程叫做“速度”，速度跟什么有關？

生：跟路程、時間有關。

師：我們是怎么求速度的？

生：路程：時間二速度（板書）

思考：路程、時間、速度這三個數量中，速度是最難理解

的，但卻是最核心的。教學中，一方面把抽象的“速度”概念與熟

悉的“比快慢”生活經驗緊密聯接，將學生對速度粗淺的、模糊的

認識上升到數學高度；另一方面精心設置“認知沖突”，讓學生從

速度的計算中感受路程、時間與速度的關系。

片斷二：認識“速度單位”，理解“速度”，強化“關系”。

出示：（1）“神十”飛船在太空中5秒飛行了約40千米，“神

十”的速度約是（）。

（2）張老師騎自行車，2小時行了16千米，張老師騎自行車的

速度是（）。

學生列式：404-5=8（千米），164-2=8（千米）

師：大家是怎樣計算速度的呀？

生：路程4■時間二速度

師（故作驚訝地）：哎呀！我發現張老師騎車的速度真快呀！竟

然和“神十”飛船的速度一樣，都是8千米。

生（笑）：不是這樣的！“神十”飛船的速度是每秒8千米，騎

自行車的速度是每小時8千米。

師：但是黑板上寫的都是8千米，怎么能區分清楚呢？

生：寫上時間。

（板書：8千米/秒、8千米/時，并引導學生讀一讀。）

師：仔細觀察，你發現速度的單位與以前我們學過的單位有什么

不同？

生：速度單位是由兩個單位組成的。

師：哪兩個單位？

生：路程單位和時間單位。

師：沒錯！速度單位是由長度單位和時間單位復合而成的，復合

單位里的“/”也可以看成是。喜羊羊和懶羊羊上學走路

速度的單位應該怎么寫？（板書：80米/分、70米/分）

思考：速度單位和速度的意義緊密相連，因為速度是單位

時間內運動的路程，所以速度的單位一般寫作“長度單位/時間單

位”的形式，這樣的復合單位學生是第一次接觸，需要結合具體

情境理解。教學時，通過引導學生思考"兩個答案都是8千米，

是不是張叔叔騎車的速度與‘神十’飛船的速度一樣呢？”，由此引

發學生產生新的疑問，產生強烈的區別這兩個得數的需求。進而

想到速度單位不能只用路程的單位來表示，它還與時間單位有

關，因此要用復合單位才能準確地表達意思。這樣的教學巧妙地

突破了復合單位的難點，也進一步促進了學生對速度概念的理

解。

片斷三：類比抽象，感悟模型，“升華”關系。

師（指黑板上書寫的“路程、時間與速度”的三組關系）：它們

之間有聯系嗎？為什么用速度和時間計算路程要用乘法？

生：因為1分鐘行多少米X行的時間二行的路程。

師：速度是每分、每秒、每小時行駛的路程，相當于每份有多少，

時間相當于有幾份，路程就是求幾個幾是多少，所以求路程要用

速度去乘時間。

出示：《學數學長智慧》的單價是12元，全班買30本，總價是

多少元？

師：如果把這道題看成是走路問題，誰相當于速度？誰相當于時

間？誰相當于路程？你是怎樣想的？

生：單價相當于速度，因為它是每份的錢；數量相當于時間，因

為它表示幾份；總價相當于路程。

師：應該怎樣列式呢？

生：12X30=360（元）

師：好多數學知識之間都有著密切的聯系，帶著聯系的眼光學數

學，會讓我們把復雜的問題變得越來越簡單。

思考：教師引導學生“回顧與反思”，尋找知識之間的聯系，

并將學生熟悉的價錢問題“轉換”成走路問題，這就使得“路程、

時間、速度之間的關系”具有了數學模型的價值，能夠用來解決

一類具有相同結構的數學問題。

教什么？怎么教?

——聽課隨想之五

案例：

下面記述的是一節四年級科學課一一“聲音是如何傳播

的”的教學流程：

一、引入。

1、呈現上節科學課上一個小組的研究報告一一“你可以用

什么方法產生聲音？”，全班交流。時長大約2分鐘。

2、教師演示：尺子放在講桌面上，露出桌面外的長短不同,

用手下按尺子再放手，讓學生觀察產生聲音的不同。時長大約2

分鐘。

3、情境引入：學校食堂、走道上安裝的“噪音測量儀”，

為什么一走近發出聲音，測量儀上面的數字就發生變化了呢？

師生交流：聲音震動引起測量儀上的數字發生變化

質疑：如果測量儀安裝在月球上，有人在旁邊大聲喊，

測量儀上的數字會有變化嗎？

引出：聲音需要空氣幫著傳播。

二、展開:

（一）探究活動一

1、（呈現）猜想：空氣如何幫助我們傳播聲音？

活動小組通過實驗探究一一敲擊音叉后放入水中，發現

產生了波紋，證明聲音是以“波紋”的形式傳播。

師舉例：小青蛙跳到水中，波紋向四周擴散。

2、全班交流

師：你發現了什么？（生：有波紋）

（二）探究活動二

1、（呈現）聲音可以在氣體中傳播

猜想：聲音也可以在液體和固體中傳播

師讓生舉例說明，學生有困難。

生：手拍水的聲音（注：此例不能說明問題。能聽到手

拍水的聲音，只能說明聲音是在空氣中傳播的，不能說明聲音在

液體中傳播。說明學生并沒有想明白“驗證猜想的方法”。）

師演示：把一個開著的收音機裝入塑料袋中，再將塑料

袋放入水中，仍然能聽到收音機發出的聲音。

（三）探究活動三

1、師：聲音在氣體、液體和固體中傳播，哪個最清晰？

有依據嗎？

隨學生說出不同的想法，師板書：假設1、假設2、假設

3（學生的想法三種情況都有）

2、師生交流試驗的設計方法后，學生小組探究，并填寫

試驗報告單：（1）你的假設是什么；（2）試驗結果是什么？（3）

你有什么新發現？

3、全班交流，由于實驗條件和試驗方式的粗放，試驗結

果千差萬別，學生意見不一。

4、師讓一名學生到講臺前和教師一起做試驗的示范，講

試驗的注意事項。（滯后，應放在小組探究試驗前進行）

5、引導反思：結論是固體傳播聲音效果最清晰。可是我

們的試驗結果卻五花八門，這是為什么呢？

生的回答照例五花八門，師說明“有干擾因素”。

三、應用拓展：

1、引申：借助工具聽一個人的心跳聲,有什么好辦法？（生:

用聽診器）

2、質疑：能否做一個聽診器？

（呈現）拓展試驗：固體物質傳聲試驗測試，包括：你

的假設、試驗設計、你的結論

（下課）

思考：

1、探究活動是指向“結論的得出"？抑或其它？（為

什么而教？）

《小學科學課程標準》（2011版）以培養學生科學素質

為宗旨，實施探究式的科學教育，通過引導學生體驗科學探究過

程，初步形成對科學的認識，學生要在探究過程中理解科學概念,

掌握科學方法，培養科學態度。具體到本節課的核心目標應該是:

經歷科學探究過程，知道“聲音通過固體傳播更清晰”。科學結

論的得出一定是在非常精細的試驗環境下，排除了各種干擾變

量，經過多次精密試驗才獲得的。僅靠課上粗陋的試驗材料和環

境是無法得出科學結論的，探究學習的目的更在于讓學生親身經

歷探究性學習活動，使他們像科學家那樣進行科學探究，體驗學

習科學的樂趣，增長科學探究能力。

2、教學中設計了三個“探究活動”，哪個是目標達成必

須的？（教什么？）

教什么一旦確定，怎么教的問題就迎刃而解了。教學內

容切忌“廣而淺”，宜“精而深”。應該圍繞這節課的核心目標

“聲音通過固體傳播比通過氣體或液體傳播更清晰”，設計有意

義的探究活動。從上述案例可見，“探究活動三”與核心目標的

關聯性更大。

3、以怎樣的路徑展開教學？如何知道學生的探究性學

習？（怎么教？）

探究性學習不僅要模擬科學探究之“形”，更要滲透科

學探究之“神”。組織學生探究學習的基本步驟為：一、提出或

生成問題；二、圍繞問題，提出和形成假設；三、收集證據，形

成解釋；四、交流和評價。這幾個環節也可以看作是幾個要素。

這其中既有學生對現象、事件和觀點的質疑，對問題的自由行探

索和觀察實驗的自主性設計，也有教師對學生探索的智慧性啟發

和引導。包括教師的示范和與學生的互動，以及組織學生和學生

之間的討論和辯論，將學習引向深入。

重建:

、情境引入。

呈現學校樓道或食堂的“噪音測試儀”圖片，引出問題:

從測試儀旁經過的人發出的聲音能引起“測試儀”上的數字發

生變化，為什么？

引出：聲音通過空氣傳播到了“測試儀”，才能測出聲

音。

引申：在太空中的“神舟十號”飛船里，航天員是如何

交流的？別人說話能聽到嗎？(增長見識)

二、探究活動

1、基于問題提出假設

(1)質疑：聲音可以在液體或固體中傳播嗎？

(2)引出猜想：通過哪種介質傳播最清晰呢？

2、自主設計試驗方案

討論：試驗步驟、試驗方法、注意事項等。

在相關環節，可適當安排“師生示范”。

3、收集證據形成解釋

學生分組試驗，教師巡視指導。

4、交流和評價

介紹科學家們是在什么環境和條件下研究“聲音的傳

播”的，開闊視野，增長見識，使學生體驗到科學結論得出所經

歷的嚴謹試驗論證的過程。

三、應用拓展

介紹試驗得出的科學結論在工作生活中是如何應用的

（如醫生用的聽診器等），讓學生體會科學的價值。

“學得有效”離不開教師的價值引領

——以“認識分數”教學片斷為

例

好的課堂要讓兒童的學習看得見。也就是說，要讓人看

到學生在學習過程中遇到什么困難或提出什么問題，看到老師是

如何把不會的學生教會，看到學生如何經過自己的思考和探究解

決問題，經過自己的努力學會知識、學會思考的，要讓人感受到

學生在變化、在提高、在進步。

可見，有效的教學是圍繞著學生的學習展開的，課堂應該

由“教得精彩”向“學得有效”轉變。但是，學生的數學學習是

“有指導的再創造”，有效的教學活動一定是學生學與教師教的

統一，“學得有效”離不開教師的價值引領。

案例：“分數的初步認識”教學片段

師：剛才我們一起認識了1/2,你還想認識幾分之一？

學生匯報，教師板書。

師：同學們桌上有一些圖形紙片，你能利用這些圖形紙片

表示出自己想認識的幾分之一的分數嗎？

學生自主動手折紙、涂色，表示出圖形的幾分之一。

師：你表示出了幾分之一？你是怎樣認識這個分數的？

學生匯報交流。

師：有沒有誰認識了1/100這個分數？

生：沒有。

師：那如果我想認識1/100,還需要折紙嗎？可以怎么辦？

生：不需要折紙，我們只要想把圖形平均分成100份，每

一份就是它的1/100o

師：那如果我想認識1/101呢？

生：只要把圖形平均分成101份，每一份就是它的1/101。

師：回顧剛才認識的過程，想一想怎樣就能得到幾分之一

的分數？

思考：折紙活動以一種直觀的方式，既可以幫助學生得到

一些分數，又可以使學生感悟分數的產生。但折紙也有其“局限

性”，諸如分母是奇數或者分母比較大的分數時，“折”的受困

就成為學生認知的羈絆。其實，折紙活動不是最終目的，重要的

是通過折紙活動給學生搭建認知突破的臺階。直觀只是一個手

段，不管分數能不能通過折紙直觀地表示出來，更本質的應該是

分數的意義和內涵。

“教師的工作是通過向學生問他們應當自己問自己的問題

來對學習和問題解決進行指導。”教學中，教師巧妙借助于1/100

和1/101兩個分數，使學生深入認識到：折紙的方便與否并不影

響分數的得出，只要“把一個物體或一個圖形，平均分成幾份，

每一份就是它的幾分之一”。正是有了教師在關鍵的學習點處追

問和質疑，增強了學生的概念性的理解。學生對分數的認識逐步

從直觀中“剝離”，進而走向抽象，有效實現對分數意義的深度

建構。

想學生所想研教學之法

——“平行

四邊形的面積”教學片斷與思考

（已發表）

建構主義認為，知識不是通過教師傳授得到的，而是學

習者在一定的情境即社會文化背景下，借助其他人（包括教師和

學習伙伴）的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構的方式

而獲得的。那么，面對新的知識，學生到底是怎樣進行意義建構

的？達成意義建構的內因和外因是什么？在學生意義建構過程

中會碰到哪些困難？教師和同伴應該提供怎樣的幫助……顯然，

加強對學生數學學習心理和思維過程的研究有助于我們正確回

答這些問題。

就“平行四邊形的面積”的教學而言，本課要解答的無非是這樣

的問題：平行四邊形的面積公式是什么，不是什么？平行四邊形

的面積為什么是“底X高”，為什么不是“底義鄰邊”？而學生

在學習的過程中，一直在想的或許也是這些問題（當然也可能只

是其中的某個問題）。教學就要基于學生的這種真實思維而展開,

想學生所想，研教學之法，才能促進有效建構。

教學片斷一：

首先，在無提示的狀態下讓學生自主嘗試計算平行四邊

形紙片的面積，學生的想法大致分為兩種情況：一種是用“底X

高”計算，另一種用“底X鄰邊”計算。接著，引導學生借助“數

方格”的方法驗證這兩種算法，發現“底義高”的計算結果是

正確的，而“底X鄰邊”的結果是錯誤的。然后，教師組織全班

同學交流想法：

師：平行四邊形面積用“底X高”來計算，到底有什么

道理呢？

生1:因為把平行四邊形沿著高剪下一個三角形來，拼

到另一邊，就可以變成一個長方形。長方形的長就是平行四邊形

的底，長方形的寬就是平行四邊形的高，它們的面積是一樣

的……

（教師利用黑板上的圖，請學生上前剪拼，告知這叫“轉化”，

并引導學生理解這些聯系，最后得出“底義高”實際上就是“長

X寬”，算的是剪拼后的長方形的面積，也就是原來平行四邊形

的面積。）

師：用轉化的方法，我們可以把沒學過的知識變成已學

過的知識，從而解決問題，這是學習數學的一種重要方法。

生2：老師，我也是把平行四邊形轉化成長方形的呀！

（迫不及待地跑上前，拿起平行四邊形框架，把它推拉成了一個

長方形。）這個底邊就是長方形的長，鄰邊就是長方形的寬，“底

義鄰邊”不就是“長義寬”嗎？怎么不對呢？

（看到這一幕，不少同學也都面露困惑之色。）

師（故作疑惑）：是啊，像他這樣，把平行四邊形拉成

長方形，也是轉化成長方形，怎么就不對呢？問題到底出在哪兒

呢？

（教師把長方形框架貼在黑板的平行四邊形圖片上）

教室里短暫的靜寂之后一一

生3：啊，我發現了！像他這樣拉成長方形后，面積比

平行四邊形變大了。

生2（還是一臉困惑）：怎么會變大呢？一樣大呀！

師：把平行四邊形推拉成長方形以后，變大的部分在哪

里，你能不能上來指出來?

（生3上前指出變大的部分，教師協助生3用剪刀把平行

四邊形紙片剪拼成了一個長方形，并與長方形框架比較。使學生

直觀地看出這樣轉化之后，“底義鄰邊”算得的面積比平行四邊

形大了，面積發生了變化。同學們都恍然大悟，認可了“推拉成

長方形后面積發生變化”的結論。）

師：想一想，“底義鄰邊”計算出的是誰的面積？

生：是轉化后的長方形的面積，不是平行四邊形的面積。

師：說得真好！與前面的“剪拼轉化后面積不變”不同,

這樣的“推拉”轉化之后，平行四邊形的面積發生了變化。但是,

這個轉化中，有一樣東西也是不變的，你看出來了嗎？

生：平行四邊形四條邊的長度沒有變。

師：也就是周長沒有變，但是面積卻變了。看來，在運

用轉化的方法時，我們要想清楚，轉化之后，變的是什么，不變

的是什么。

思考:

“知其然，更要知其所以然”，我們往往理解為“幫助

學生知道這樣是對的，并通過教學展開明白為什么這樣是對的

由于數學答案非此即彼，具有答案的唯一性。所以我們通常用'對

的'去否定'錯的'。而對于為什么錯？錯在什么地方？錯誤是

否可以被利用或轉化？關于這方面的思考經常被我們所忽略，導

致學習體驗流于膚淺，不利于意義建構的達成。

其實，澄清錯誤比建立正確認識更重要。在上述教學中，

教師不急于引導學生對正確情況的接受，而更多地讓學生自己在

嘗試解決問題的過程中發現問題，產生矛盾沖突，并引導學生參

與對問題和錯誤的剖析。平行四邊形面積為何是“底X高”，為

何不是“底乘鄰邊”？同樣是轉化為長方形來思考，為何前者是

對的，后者卻又不對了？疑問的解答，需要的是觀察、比較、分

析等充滿挑戰性的過程，在這樣的過程中，學生一步步澄清平行

四邊形的面積“是什么，不是什么”，明白“這樣才是正確的，

那樣為什么是錯誤的”，就會獲得真正的數學理解，推理能力也

能得到有益的發展。

教學片斷二：

師：平行四邊形拉動可以變成長方形，反過來，長方形

拉動也可以變成平行四邊形。現在有一個長10厘米、寬6厘米

的長方形框架，拉動它，它會變成怎樣的平行四邊形？

（課件演示框架的拉動，讓學生通過直觀比較，發現高肯

定小于6厘米。繼續演示高不斷變小依次得到的幾個平行四邊

形，如下圖，每步都組織學生說出高是多少并口算出面積，教師

在表格中記錄數據。）

底高平行四邊形的面積

10550

103.838

102.525

101.111

師：觀察這些圖形和數據，你有什么發現？

生1：我發現高不斷變小，面積也在不斷變小。

生2：我發現平行四邊形的周長沒有變。

師：想一想，到底是什么造成了平行四邊形面積的變化?

生：是“高”的變化造成的。

師：如果繼續往下拉，平行四邊形的面積將會怎么變化?

生：面積將會變得更小。

師：拉到什么時候，平行四邊形面積最大？

生：把它再拉成長方形，面積最大。

師：這時候，平行四邊形的高就是長方形的一一

生：寬

師：在底邊長度不變的情況下，平行四邊形的面積隨著

高的變化而變化。在這個過程中，還有一樣東西也一直在變？你

發現了嗎？

生：兩條鄰邊的夾角也一直在變。

師：其實，正是因為兩條邊之間夾角的變化，才引起了

高的變化和面積的變化。現在我們知道了計算平行四邊形的面積

應該用“底義高”，而不是“底義鄰邊”計算。等將來我們上了

中學學習了三角函數的知識之后，用兩條鄰邊的長度和這兩條邊

夾角的正弦值相乘，也可以計算平行四邊形的面積。也就是說，

用鄰邊相乘不是不可以，只是還缺少一個條件。

思考:

通過把平行四邊形不斷“拉扁”，引導學生逐步了解高與

面積之間的內在聯系，理解高對平行四邊形面積的影響，在讓學

生獲取知識的同時，悄然無聲地滲透了函數思想。引入“利用兩

條鄰邊的長度和夾角計算平行四邊形的面積”的介紹，一方面可

以使學生清楚地知道“用鄰邊相乘不是不可以，只是還缺少一個

條件”，為學生的后續知識的學習鋪好了一條路子，另一方面也

再次明晰了“底X高”的正確算法，鞏固了新知，。

教學片斷三：

（出示）有一個長10厘米、寬6厘米的長方形框架。

師：如果將它拉成高是5厘米的平行四邊形（如下圖所

示），面積減少了多少平方厘米？

學生獨立思考、解答后，全班交流：

生1：用長方形面積減去平行四邊形的面積，10X6—

10X5=10（平方厘米）

生2：我是這樣想的，（跑上前指出圖中減少的部分面

積）從圖上可以看出來，減少的面積就是上面那個小長方形的面

積，所以還可以用10X（6—5）=10（平方厘米）

師：減少的面積其實就是圖上面那個小長方形的面積，

它的長是10厘米，寬就是長方形的寬減去平行四邊形的高，6

—5=1（厘米），10X1=10（平方厘米）。

思考：

學生學習過程中數學思維的發展與教學設計提供的情境

和材料密切相關。通過解決“推拉成的長方形比平行四邊形面積

大多少？”的數學問題，再次對比長方形與平行四邊形面積的計

算方法，使“推拉轉化后，面積發生變化”的表象得到強化，進

一步澄清學生潛意識中“平行四邊形的面積=底邊X鄰邊”的

錯誤認識。在不斷地對比、交流過程中，錯誤經驗得以糾正，模

糊認識得以澄清，數學思維得以發展，創新意識和學習能力得以

提升。

巧設情境化難為易

除數是兩位數的除法”教學片斷與反思

（已發表）

“除數是兩位數的除法一一用四舍五入法試商”是人教

版四年級的一節內容，這是學生第一次接觸“用四舍五入法”試

商，承上啟下，地位很重要。通過學前調研，我們發現學生學習

新知的主要障礙集中在“把除數用‘四舍五入法'取近似值”

后，“商要乘除數的準確值還是近似值”。怎樣喚起學生對計算

學習的興趣，幫助學生突破這一學習難點呢？我們做了如下嘗

試。

教學片斷:

師：顧老師到商場買魔方，發現有三種，價格分別是20元、31

元、38元（顯示：魔方圖片）。顧老師帶了170元錢，大概能

買幾個31元的魔方呢？

學生獨立計算，全班交流。

師：誰能結合買魔方的事情說一說是怎么算的？

生1:我先把31元看成30元，如果商6的話就要180元了，錢

就不夠了，所以商5,5乘31得155,170減去155剩下15。

師：誰聽明白了？她為什么要把31元看成30元？

生（齊）：這樣好算。

師：確實是這樣，用“四舍五入”法把31看成30,算起來簡便

多了。

生2：我是先看170的前兩位，發現不夠除31,就把31估成30,

170里面最多有5個30,所以商5,再算31乘5得155,最后余

150

師：聽明白她的意思了嗎？生1和生2這兩位同學的算法有什么

相同之處？

生3:他們都是先把31看成30,再商5,然后用5乘31得155,

170減155余15。

師：這兩位同學的算法都是正確的。我剛才發現有同學這樣計算

（投影顯示錯誤做法），商5,5乘30得150,余數是20,他錯

在哪里呢？

生4:他是用商5去乘估計的數30了。

生5:后來應該是精確算而不是估算，應該用5去乘31等于155。

生6:如果5去乘30的話題目就變成170除以30了。

師：想一想，顧老師買5個魔方，付錢的時候，是去付5個31

元呢，還是付5個30元？

生（齊）：肯定是5個31元嘍。

師：如果我付5個30元，如果你是收銀員，你會同意嗎？

生（齊）：不會。

生7:除非商場搞促銷。（眾笑）

師：是的，我去付錢的時候要付5個31元。所以，商5要去乘

31,而不能去乘30。

生8：老師,我想補充一下，我們把31元估成30元是為了好算

商，接下來的商還是要去乘原來的準確數的。

師：說得真好！計算出結果后，我們還可以通過驗算來檢查得數

是否正確，請你驗算一下。

學生獨立驗算，一生板演，全班交流。

師：31X5表示什么？

生（齊）：5個魔方的價格。

師：也就是買這些魔方要付出去的錢。那15呢？

生1:170元買了5個31元的魔方余下來的錢。

生2:表示找回了15元。

師：找回的錢加上花去的錢得170元，就是老師帶的錢數。170

元能買5個31元的魔方還剩下15元。假如老師要買38元一個

的魔方，又能買幾個呢？你會算嗎？試試看。

學生獨立計算，個別板演，全班交流。（師巡視時發現已經沒有

學生用40去乘商4的了。）

生1:我先把38元看成40元，170除以40商4,再4乘38得

152,余18元。

師：很好，剩下18元。那這152表示的是什么呢？

生2:表示的是買4個38元魔方的錢。（在算式的152旁邊板

書4X38）

師：哎，有沒有誰付錢的時候是按照40元一個付給營業員的呀？

生（齊）：沒有。

生3:那不是給營業員小費了嘛。（眾笑）

反思：

算理是計算的原理和根據，算法是計算的基本程序和方

法，算理不清，算法難以牢固；算法不明，計算技能難以形成。

但是，在實際教學中，或者不少教師不重視學生探索如何計算的

過程，或者當學生剛剛探索出方法后，教師就立即引導學生總結

計算法則，在對算法還未真正內化的情況下，教師又開始引導學

生大量練習。這樣倉促地同時完成幾個內容的教學，就可能造成

學生因為沒有真正理解每一步計算的道理就只好死記住算法了。

再加上教師又沒有在后面的練習中，注意促進學生在記憶基礎上

再次理解，學生產生“老師讓我們這么做就這么做”的想法就不

足為奇了。為避免出現這種“未理解，先熟練”的狀況，教師不

僅要讓學生知道該怎么計算，而且還應該讓學生明白為什么要這

樣計算，在理解算理的基礎上掌握運算法則。

作為溝通學生的經驗世界與數學世界的橋梁一一情境，

尤其是現實情境，無疑對學生理解算理、掌握算法極有裨益。在

上述教學中，教師在深入研究知識的發生、發展過程的基礎上，

注重凸現現實情境背后所隱含的與計算內容相關的數學線索，借

助實際生活中的“買魔方”付款問題，使抽象的知識成為學生熟

悉的事物，使學生看得見、摸得著。通過“170元錢能買幾個31

元的魔方？”“找回多少錢？”“能買幾個38元的魔方？”等

問題的討論，引發學生的認知沖突從而引起內在的數學思考，學

生結合現實情境更深刻地理解了“應該去乘準確值而不應乘近

似值”的道理，很好地突破了教學難點。同時也增強了對數學的

親切感，在學生眼里，數學與他們的生活息息相關，而不再是一

大堆毫無實際意義的枯燥符號，這也大大激發了他們的學習興

趣。

教學就是滌蕩學生的思維

——特

級教師牛獻禮《探究計算中的規律》賞析

杭州市安吉

路實驗學校牛獻禮

南京東方數

學教育科學研究所陳今晨

（已

發表）

片斷一：口算導引。

1/2+1/42/5+1/5

1/4+1/84/7+2/7

1、逐一出示，學生口算。

2、提問：你發現這些算式有什么特點了嗎？

生1：都是加法。

生2：兩個分母之間有倍數關系，4是2的2倍，8是4的2倍。

生3：第一個分數是第二個分數的2倍。

小結：都是兩個分數相加，前一個分數是后一個分數的2倍。

（板書：分數相加，前一個分數是后一個分數的2倍）

【賞析】教者極富教學思想，自覺開發課程資源，編創教材，引

導學生在有關分數計算中積極探索規律。備課設計從分數口算題

開始，明確地把經歷猜想和驗證的過程，運用轉化和數形結合的

思想方法，引導感悟和探究計算中的數學規律作為教學目標，表

現了教者堅持課改理念高度的自覺性、課堂設計強烈的意識性和

教材組合極大的靈活性。

片斷二：猜測驗證。

1、引導擴展算式。

師:符合這個特點的算式我們可以寫得更長一些。

師生對話引出：（1）1/2+1/4+1/8

（2）1/3+1/6+1/12+1/24

（3）

1/4+1/8+1/16+1/32

讓學生計算上述算式（1），然后匯報。1/2+1/4+1/8二7/8

2、組織探究發現。

師：這種方法是將異分母分數經過通分轉化成同分母分數計算。

（板書：轉化）請大家再仔細觀察這個算式和得數，你又有什么

發現？

生1:和的分母是最后一個分數的分母，分子比分母小1。

生2：最后一個分數+得數=1

師：最后一個分數+得數=1。想一想：要求得數，有沒有更簡便

的算法呢？

生3：可以用1減去1/8來算。

3、借助圖形理解。

師：到底可不可以這樣算呢？我們可以借助于直觀的圖形來幫助

我們理解。

動態出示上圖，引導學生明白：換個角度想，可以把計算幾個部

分的和轉化成求一個正方形減去空白部分所得的差。（板書：求

和求差）

板書：1/2+1/4+1/8=1—1/8:7/8

4、深入觀察猜想。

師：我們可以大膽地猜想一下：計算這類前一個分數是后一個分

數的2倍加法算式的和,有沒有什么規律？

結合學生回答，投影呈現：“有人說：幾個分數相加，如果前一

個分數是后一個分數的2倍，求它們的和，只要用1減去最后一

個分數就行了。”

你認為這種說說法對不對？你將用什么方法證明你的結論？

生1：可以舉例子，來算一算。

師：用什么方法算呢？

生1：用通分的方法算，再用猜想的方法算。

師：然后呢？

生1：再比較這兩個得數是不是一樣。如果一樣，說明猜想是正

確的；如果不一樣，說明是錯誤的。

師：誰聽懂他的意思了？

生2：他的意思是說，分別用通分的方法和猜想中的方法算出結

果，比較兩個結果是否相同。

師：生1介紹了一個好方法，生2聽得很認真，也很會表達。好,

我們就用“舉例子”的方法來驗證一下這個猜想是否正確。

學生獨立思考，舉例驗證，全班交流。

建議學生用上述算式(2)、(3)為例或舉其它例來驗證，發現

這一猜想錯誤。

顯示：在數學上，我們要證明一個說法是不對的，只要舉一個反

例就可以了。

師：看來這個猜想并不具有普遍性，有些題目符合猜想，有些題

目不符合猜想。要想找到普遍性的規律，還需要我們進一步觀察

和探究。

【賞析】對學生的誘導層次性很強一一先是對已有幾道算式特點

的歸納概括；再有類推遷移擴展算式強化特點；接著強調通分體

現轉化思想，誘導對算式與得數間聯系的發現；繼之運用數形結

合的手段動態地表征算式；驗證中舉出反例否定猜想。這些拾級

而上的數學學習活動引領，都是圍繞著創設猜想的氛圍，為促成

學生深入觀察，大膽猜想，小心驗證做足鋪墊。

片段三：再猜測再驗證。

師：我們還是借助于直觀的圖形來幫助我們找找猜想錯誤的原

因。

逐步出示上面兩個例子的正方形圖。

圖

一圖二

師：既然剛才的猜想不是規律，那么規律到底是什么呢？哪位同

學能借助圖形來說說自己的發現？

生1:(邊指著圖一邊講想法)我發現可以先把最右邊空白部分

1/24當成涂色部分,1/6+1/12+1/24+1/24=1/3,這樣涂色部

分就是2個1/3,但是因為多加了一個1/24,所以需要再減去一

個1/24O1/3+1/6+1/12+1/24=1/3+(1/3-1/24)=1/3X2-

1/24=5/8

生2：(邊指著圖二邊講想法)我的想法跟生1差不多。可以先

把最右邊空白部分1/32當成涂色部分，1/8+1/16+1/32

+1/32=1/4,這樣涂色部分就是2個1/4,但是因為多加了一個

1/32,所以需要再減去一個l/32o1/4+1/8+1/16+1/32=1/4+(1/4

-1/32)=1/4X2-1/32=15/32

師：大家明白他們的想法嗎？有沒有道理？我們在圖形的幫助下

不但找到了錯誤的原因，而且還發現了正確的算法。那么，受到

剛才計算方法的啟發，現在你能不能再次大膽猜想一下：計算

“幾個分數相加，前一個分數是后一個分數的兩倍，求它們的

和”，怎樣算比較簡便？

生3：幾個分數相加，如果前一個分數是后一個分數的2倍，求

它們的和，只要用第一個分數的2倍減去最后一個分數。

投影顯示：“有人說：如果前一個分數是后一個分數的2倍，求

這樣一組分數的和，只要用第一個分數的2倍減去最后一個分

數。*

你認為這個人說得對不對？你有什么方法證明你的想法？

師：如果要證明一個說法是錯誤的，只需要舉出一個“反例”就

可以了，如果要證明一個說法是正確的，需要舉出幾個例子呢？

生1：多舉幾個例子，越多越好。

師：但是例子是舉不完的呀？

生2：我覺得可以舉一些特殊的例子。

師：有道理，盡量多舉一些例子，舉一些典型型的例

子，比如舉一些開頭的分數不是幾分之一的分數。

學生舉例驗證，發現猜想二都是正確的。

（投影）顯示“猜想一”和“猜想二”

師：比較這兩個猜想，它們之間有聯系嗎？

結合學生回答，小結：猜想一僅僅是猜想二的一種特殊情況，猜

想一并不具有普遍性，猜想二才具有普遍性。因此，猜想二才是

規律。

【賞析】光有驗證中的否定猜想還是不夠的，還得有通過驗證獲

得證實的情形，這樣學生對猜想的正反面驗證經歷才能完整。教

者點撥學生的思路先行探究猜想遭受否定的原因，修正自身的主

觀猜想，發現更為一般的規律表述，進入再驗證過程。如此的循

環往復，突出了猜想與驗證之間認識發展的辯證過程，使得學生

對探索規律經歷的過程體驗涵蓋了更強的普適性。

片斷四：反思建構。

1、運用。

計算：1/4+1/8+1/16+1/32+…+1/1024

學生口答，集體反饋。

2、反思：

師：在學習過程中善于反思和總結的人進步最快。通過這節課的

學習同學們靜靜地想一想：

(1)這節課我們得出了什么結論？

（2）我們是怎么得出這個結論的？

歸納：猜想一一驗證一一再猜想一一再驗證，用到了“數形結

合”和“轉化”的方法（板書）。

（3）你還能提出新的猜想嗎？

生1：這是幾個分數相加，如果是整數呢？有沒有這個規律？

生2：如果是小數呢？

生3：如果是幾個分數相減呢？有沒有類似的規律？

生4：如果幾個分數相加，前一個分數是后一個分數的3倍，是

不是得用第一個分數乘3再減最后一個分數呢？

師：同學們提出了許多很好的猜想，是否正確呢？還需要一一

生（齊）：仔細驗證。

師：對。大科學家牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就沒有偉

大的發明和發現。”歷史上，很多著名的數學結論都是從猜想開

始的，都是經過了“大膽猜想，小心求證”的過程，我們可以用這

節課中學到的思想方法去探究更多的數學規律。

【賞析】將經過驗證而獲得證實的規律性認識，讓學生再通過一

定的計算運用以求進一步確證，并體驗掌握規律后的便利，同時

也作為了引發學習反思和總結的中介。設計的三個提問，恰到好

處地引導了學生的思維方向，成就了課堂認知明確而扼要的成果

檢閱，既發揮了學生課堂總結中的主體性，也提升了他們認知的

概括性。引用世界著名大科學家牛頓的名言作結，能夠激發學生

對數學規律后續的進一步探究興趣,預留了可持續發展的巨大空

間。

【總評】

牛獻禮同志作為全國著名特級教師，應邀在成都所做的

這一節成功的公開課，展示了多方面的課堂精彩：

1、積極踐行開發課程資源的自主精神。探索規律是數學

課程標準新增的內容,培養學生探究發現的創新學習品格是素質

教育中的課改最強音。教者選取這一要點，參照諸多版本教材,

不拘一格地從遠道借班觀摩教學的實際出發，自我開發創編教學

內容，使得切入容易，最終實現了課堂的務實求真，靈活執教,

順利軟著陸，很好地達成了課堂目標。

2、數學課堂緊抓對學生思維的生動導引。從四道簡單分

數口算題，安排讓學生擴展，經過計算、探究、發現，引導學生

的大膽猜想，明白地表達交流對算式蘊含規律認識的“毛坯”，

繼之再經歷“小心求證”驗證過程的精雕細刻，既證偽，修正猜

想；又證實，應用規律，引領學生在探究的途程中登堂入室，漸

入佳境，成就思考的精致上品。其間學生思考的快樂、發現的樂

趣、成功的體驗全憑教者恰當的思維領導。

3、統籌兼顧數學課堂教學的多方面要求。從這一課的教

學，我們可以窺測到教者教學中的教育思考，不但讓學生獲得對

所授算式的規律認識,還著意養成學生思考探究的科學精神和科

學態度，以及形成良好的學習習慣一一“善于反思和總結的人進

步最快”；提升學生的一般探究思路一一“猜想一一驗證一一再

猜想一一再驗證”；不但著眼于學生當前的認知建構，還蓄意于

學生的長遠發展一一“我們可以用這節課中學到的思想方法去

探究更多的數學規律”。其間，轉化的思想方法、數形結合的思

想方法、修正猜想逼近客觀、獲得確證的思想方法等都使得本課

教學定位豐滿、飽滿，全方位收益。

4、充分顯露了教者高妙的教學素養和優勢。教學用語,

要言不煩，簡樸明確；備課教案，轉述環節，簡潔扼要；教學手

段運用板書、圖示、投影，通俗從眾；教學信息，少而精致，不

滿不溢，留有余地。當然，從練習效率角度著眼，反思建構階段

的運用環節僅安排了一道題似乎數量少了點，可以視課堂進程而

定，預留三五道同類題漸次而出，讓學生舉一反三，強化運用規

律的心理愉快體驗，熟化運用規律的解題技能技巧。更有甚者,

還可留置另一規律探索的算式題，讓學生自我探索，猜想驗證,

重新自我走實探究規律的一般道路。

教者反思：

緣起：本節課是自己開發的一節“數學活動課”，緣起

于與學生交流探討“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64”這道

數學題目的解法。在與學生交流互動的過程中受到啟發：能否以

此題為依托，充分展現知識的發生、發展過程，進而將其開發成

一節數學課呢？于是，幾經思考、幾經打磨，就有了上面這節課

的設計。

思考：學生學習數學，獲得必需的數學知識和技能當然

是重要的，但不應是惟一的目的。學習數學要學會用數學的視角

看世界，用數學的方法去認識客觀世界中各式各樣的事物，學會

通過數學思考去把握千變萬化的現象。因此，教師應在比較寬的

視野下看待小學數學教學，不僅考慮顯性的知識，更要充分挖掘

教學內容蘊涵的數學“大思想”，以及教學內容對于人的發展所

具有的教育價值：應用價值，思維價值（數學思想方法、研究問

題的方法等等），情感態度價值，并將其作為教學目標落實在課

堂上。

基于上述想法，制定了本節課的教學目標如下:

1、以“前一個分數是后一個分數的2倍的分數加法算

式求和”這一知識為載體，運用“轉化”和“數形結合”的思想

方法，使學生經歷“猜想、驗證、再猜想、再驗證”的科學探究

過程，體驗數學規律形成的過程，感悟探究數學規律的一般方法。

2、在探索計算規律的過程中，培養學生主動探索與思

考的習慣和大膽猜想、仔細驗證、實事求是的科學態度。

由上述目標可見，本節課的重心不在于多練習幾道題目，

追求“計算規律”的熟練應用，而重在引導學生充分經歷一次滌

蕩思維之旅。在這四十分鐘時間里，讓學生在與老師、與同伴充

分互動交流的過程中，體驗發現的樂趣、探索的艱辛、錯誤的困

惑，體驗“柳暗花明”時的喜悅和“恍然大悟”后的快樂。也期

望在這節課中，學生收獲的不只是教學的知識和結論，更重要的

是讓學生初步掌握數學探究的一般方法，體悟老師苦心傳遞的

“數學觀”。我想，這種數學思想方法的滲透和數學觀念的傳遞

可能會比知識和結論更有價值，更有利于促進學生的發展。

挑起爭端深化理解

“商

不變的性質”教學片段與思考

牛獻

禮

案例：

在教完“商不變性質”后，教師出示算式：24?8二

(24+24)+(8+8),讓學生判斷對錯。

學生展開了激烈的爭論。

甲方認為:這道題是錯的，因為它的被除數與除數同時增

加，不是同時擴大或縮小，前面做的一道題是(60+20)+(20+20),

它的商就變了；

乙方認為:這兩題是不一樣的，前面一題是“被除數和除

數加上同一個數”，而這道題是“被除數和除數都加上一個和自

己一樣大的數”。24+24=24X2,8+8=8X2,被除數和除數同時

擴大2倍，商應該不變。

在事實根據面前，甲方同學被乙方同學說得心服口服,

對“商不變性質”的理解也深入了一步。

思考：

學生由于智力、知識經驗、個性特點、家庭背景存在差異,

所以他們解決問題的思維方式、能力也存在著差異，不同的學生

往往表現出不同的悟性。作為教師，就要善于圍繞教學重點設計

變式練習，并注意反饋不同思維層次的材料，有意“挑起爭端”，

引起學生之間不同想法的交流、不同思維的碰撞，促使學生在爭

論中不斷矯正自己的思維方向，主動去梳理自己的思路，從而更

深刻地理解數學概念的內涵。上述片段中，正是有了兩組學生的

“據理力爭”，促進了學生對“商不變性質”的深刻理解，創造

了一個充滿靈性、涌動激情的課堂。

讓動手操作與數學思考共舞

——“兩位數除以一位數商是兩位數”案

例與反思

牛獻禮

小學生的思維正處在以具體形象思維為主要形式逐步

向以抽象邏輯思維為主要形式的過渡階段，他們的邏輯思維還帶

有很大成分的具體形象性，往往需要在感性材料支持下其思維活

動才能順利進行。正如著名心理學家皮亞杰所說：“兒童的思維

是從動作開始，切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展。”

由于動手實踐更能引起和促進學生把外顯的動作過程和內隱的

思維活動緊密結合起來，使之成為“思維的動作”和“動作的思

維”，因此，在教學時通過動手操作感性材料，幫助學生在頭腦

中建立數學知識的表象，利用表象的中介作用有助于降低學習難

度，排除思維障礙，確保學生在數學學習的智力活動中邏輯思維

得以順利進行。但筆者發現，在教學實踐中，許多操作是為操作

而操作，學生沒有進行深刻的體驗和深入的探究，缺少數學思考,

致使沒有充分發揮動手實踐為學生的數學學習服務的功效。那

么，如何實現動手操作與數學思考和諧共舞呢？現結合一個實例

談談筆者的思考。

案例：“兩位數除以一位數商是兩位數”教學片段

學生根據數學問題“48個桃子，平均分給2只猴子，每

只猴子得到幾個桃子？”得出了口算方法：402=20（個），8

：2二4（個），20+4=24（個）后，教師讓學生用小棒代替桃子分

一分，學生很快把48根小棒平均分成兩份，每份是24根。

接著學生探索筆算方法，可是出乎老師意料的是學生所

呈現的方法均如下式。

24

2）48

48

0

反思：為什么動手操作后，學生還不能探索出正確的筆

算方法呢？事實上，算法建構過程需要操作的直觀感知來獲取算

理，但并不意味著有了操作就可以理解算理、建構算法，動手操

作所獲得的只是對算理的直觀感知，還需要通過有效引導來搭建

平臺，幫助學生進一步內化整理，溝通算理與算法之間的內在聯

系。

在上述案例中，教師想當然地認為通過分小棒的操作過

程，就能幫助學生建立筆算模型，但實際的結果是，學生算出了

“48+2”的商，豎式卻寫不出來。筆者認為，問題的根源在于,

案例中教師沒有提出具體的要求，學生的操作只是把口算的結果

予以呈現。這樣的“數與形”嚴重分離的操作所建立的直觀經驗

對學生筆算除法的建構沒有任何指導意義，反而對筆算除法的探

索起到了負遷移的作用。其實學生運用已有的知識經驗已能直接

口算出得數，他們難以理解的是口算和筆算之間的內在聯系，如

果把操作過程和豎式計算聯系起來，效果就不一樣了。

重建：

師：請同學們先想一想，怎樣用擺小棒的方法來說明口

算的計算步驟呢？

通過討論，讓學生明確：

先擺出小棒4捆（每捆10根）和散著的8根，第一步把

4捆平均分成兩份，每份是2捆，也可以說每份20根；第二步

把剩下的8根小棒平均分成兩份，每份是4根。

(這樣的操作學生需要思考小棒的呈現、小棒的分與合

等問題，容易做到擺小棒的操作與口算的算理相結合，動手與動

腦相結合。)

師：想一想，你能用除法豎式把剛才分小棒的過程表示

出來嗎？

學生嘗試用豎式計算，師選擇典型做法出示，全班交流。

算法1:

24

2)48

48

0

算法2：

24

2)48

4

8

8

0

師：你認為黑板上哪種算法把剛才分小棒的過程清楚地

表示出來了？

生：第二種。（全班絕大多數同學表示認同）

師：你能看出第一種算法表示的是如何分小棒嗎？

生1:他是把4捆小棒全都散開，與8根散著的合成48

根，再平均分給兩只小猴子，每只小猴分到24根。

師：誰能結合分小棒的過程，解釋一下第二種豎式的意

思？

生2：先把4捆小棒平均分成2份，每份是2捆，還余1

捆。

師：豎式上的2為什么寫在十位上呢？

生：2捆就是20根，所以2就應該寫在十位上。

師：接下來應該怎樣分呢？

生：再把8根平均分成2份，每份是4根。

師：4寫在哪一位上呢？

生：寫在個位上。

師：把48根小棒平均分成2份，其實是兩次平均分，先

把4捆平均分成兩份，每份2捆，是2個十，所以2就寫在十位

上；再把8根平均分成兩份，每份4根，是4個一，所以4就寫

在個位上。

師：現在，你能試