FundamentalsofMechanicalControlTheory

機械控制理論基礎

SchoolofMechanicalEngineering

機械工程學院

TeachingMaterial:LinearControlSystemAnalysisandDesignFourthEdition

教材：線性控制系統分析與設計第4版

References參考書目

1.楊叔子，《機械工程控制基礎》，第四版，武漢，華中理工大學出版社

2.緒方盛彥，《現代控制工程》，科學出版社，1978

3.李友善，《自動控制原理（上冊）》，國防工業出版社

4.張伯鵬，《控制工程基礎》，機械工業出版社

5.陽含和，《機械控制工程（上冊）》，機械工業出版社

6.姚伯威，《控制工程基礎》，電子科技大學出版社

7.薛定宇，《控制系統計算機輔助設計一MATLAB語言及應用》，清華大學

出版社

CHAPTER1INTRODUCTION第一章緒論

1.1INTRODUCTION引言

1.2INTRODUCTIONTOCONTROLSYSTEMS控制系統弓I言

1.3DEFINITIONS定義

1.4HISTORICALBACKGROUND歷史背景

1.5DIGITALCONTROLDEVELOPMENT數字控制的發展

1.6MATHEMATICALBACKGROUND數學背景（基礎）

1.7GENERALNATUREOFTHEENGINEERINGCONTROLPROBLEM工程

控制問題的一般特點

1.8COMPUTERLITERACY計算機文化

1.9OUTLINEOFTEXT全文概括

1.1Introduction弓|言

Withtherapidlydevelopmentofthemodernscienceandtechnologies,man

createdmanymiracles.Oneofthemistheinventionofautomaticcontrolequipments.

Today,wecan'tliveonwithoutthehelpoftheseauto-machines.

隨著現代科技的迅速發展，人類創造了很多奇跡。其中之一就是自動控制設

備。今天，如果沒有這些自動機器的幫助，我們幾乎無法生存。

Autoniaticconinlepermeate（滲透）lifeinalladvancedsocietiestoday.

現在，自動控制系統技術已經滲透到所有的高級社會生活。

producegoodsrequiredbyanincreasingworldpopulation

制造滿足日益增長的人口需求的商品

traveltothemoonandexploreouterspace

到月球旅行和探索外層空間

spacevehicles,thespaceshuttle,spacestations

飛船、航天飛機、空間站

reconfigurableflightcontrolsystems重組的飛行控制系統

1.2Introductiontocontrolsystems控制系統引言

Therearemanyequipmentswithcontrolsystemsinourdailylives,suchas:我

們的日常生活中有很多帶控制系統的設備，例如：

Refrigerators冰箱

Robots機器人

air-conditioner空調

auto-washers全自動洗衣機

elevators電梯

pilotlessaircraft無人駕駛飛機

men人類

Example:toaster例子：烤箱

input:timer輸入：時間期望的面包

output:degreeofdarknessandcrispness

輸出：面包的黑度和松脆程度

Theoutputquantityhasnoinfluenceontheinputquantity,thereisnofeedback

inthissystem.輸出量對輸入量沒有影響，系統中不存在反饋。

激磁電壓源

電壓選擇器

Voltageselectorl.Fieldcurrent

）t磁場電流

50

ArmafurA

Example:DCshuntmotor例子：直流并勵馬達

input:armaturevoltage輸入：電樞電壓

output:speedoftheshaft輸出：軸的轉速

DC:DirectCurrent直流

AC:AlternatingCurrent交流

open-loopcontrolsystems:Systemsinwhichtheoutputquantityhasnoeffectupon

theinputquantity開環控制系統：輸出量不影響輸入量的系統

functionalblockdiagram:功能框圖

指令參考選擇器參考動態單元輸出

CommandReference

ReferenceDynamicOutput

selectorunit

inputinput

輸入---------輸入

commandinput:desireddarknessofthetoastorthedesiredspeedofthemotor

指令輸入：(面包的)期望黑度或者電動機的期望轉速

reference-selectorblock:selectionofthevalueoftimeonthetoastertimerorthe

valueofvoltage叩pliedtothemotorarmature參考選擇器框：烤箱上定時器的時間

值或電樞兩端外加電壓值的選擇

referenceinput:outputofthereference-selectorblock參考輸入：參考選擇器框

的輸出

dynamicunit:theunitwhichthereferenceinputisappliedto動態單元：參考輸

入應用的單元

desiredoutput:outputofthedynamicunit期望輸出：動態單元的輸出

closed-loopcontrolsystems:Systemsinwhichtheoutputhasadirecteffectupon

theinputquantity閉環控制系統：輸出影響到輸入的系統。

functionalblockdiagramofasingle-inputsingle-output(SISO):

單輸入單輸出系統的功能框圖：

參考輸入激勵信號系統動態部分

characteristic:theoutputisfedbackandiscomparedwiththeinput特'性：輸出

是反饋并與輸入比較

comparisonunit:performscomparisonbetweenthereferenceinputandthe

feedbacksignalandresultsinanactuatingsignal比較單元：執行參考輸入與反饋信

號之間的比較，并產生一個激勵信號

Example:homeheatingcontrolsystem家用取暖控制系統

期望室內

Abimetalliccoilinthethermostatisaffectedbyboththeactualroom

temperature(output)andthereference-selectorsetting.恒溫器中的雙金屬片既受至!j

實際室溫(輸出)，又受到參考選擇器設定的室溫雙重影響。

Anotherexample:RefertoCh.materialPl-14其它的例子：見材料1~14

1.3Definitions定義

Fromtheprecedingdiscussionthefollowingdefinitionsareevolved,basedin

partonthestandardsoftheIEEE,andareusedinthistext.根據前面的討論，引伸出

了下列使用在本文中的定義，部分是基于IEEE標準［1］。

IEEE:InstituteforElectricalandElectronicEngineers電氣和電子工程師學會

［美］

System.Acombinationofcomponentsthatacttogethertoperformafunctionnot

possiblewithanyoftheindividualparts.系統許多部件的組合，這些部件組合起

來能完成一定的功能，而其中任何單獨的部件不能完成此功能。

Commandinput.Themotivatinginputsignaltothesystem,whichisindependent

oftheoutputofthesystemandexercisescompletecontroloverit(ifthesystemis

completelycontrollable).指令輸入加到系統的激勵輸入信號，該信號與系統的

輸出無關，并且在整個過程中對系統進行全面控制(假設系統是完全可控的)。

Referenceselector(referenceinputelement).Theunitthatestablishesthevalueof

thereferenceinput.Thereferenceselectoriscalibratedintermsofthedesiredvalue

ofthesystemoutput.參考選擇器(參考輸入環節)建立參考輸入值的單元。根據

系統輸出的期望值對參考選擇器進行設定。

Referenceinput.Thereferencesignalproducedbythereferenceselector,i.e.,the

commandexpressedinaformdirectlyusablebythesystem.Itistheactualsignal

inputtothecontrolsystem.參考輸入參考選擇器產生的參考信號，即以系統能

直接使用形式表示的指令，它是控制系統的實際輸入信號。

Disturbanceinput.Adisturbanceinputsignaltothesystemthathasanunwanted

effectonthesystemoutput.干擾輸入系統的干擾輸入信號對系統的輸出產生一

個不需要的影響。

Forwardelement(systemdynamics).Theunitthatreactstoanactuatingsignalto

produceadesiredoutput.Thisunitdoestheworkofcontrollingtheoutputandthus

maybeapoweramplifier.前向環節(系統動態環節)它在激勵信號作用下產生

期望輸出。該環節起控制輸出的作用，因此它可能是一個功率放大器。

Output(controlledvariable).Thequantitythatmustbemaintainedata

prescribedvalue,i.e.,itmustfollowthecommandinputwithoutrespondingto

disturbanceinputs.輸出(被控變量)這個量必須維持在所規定的值上，即跟隨指

令輸入。

Open-loopcontrolsystem.Asysteminwhichtheoutputhasnoeffectuponthe

inputsignal.開環控制系統輸出不影響輸入的系統。

Feedbackelement.Theunitthatprovidesthemeansforfeedingbacktheoutput

quantity,orafunctionoftheoutput,inordertocompareitwiththereferenceinput.

反饋環節該環節將輸出量或輸出的函數反饋到輸入端，使之與參考輸入進行比

較。

Actuatingsignal.Thesignalthatisthedifferencebetweenthereferenceinput

andthefeedbacksignal.Itistheinputtothecontrolunitthatcausestheoutputto

havethedesiredvalue.激勵信號它是參考輸入和反饋信號兩者之差的信號。它

激勵控制環節，使輸出達到期望值。

Closed-loopcontrolsystem.Asysteminwhichtheoutputhasaneffectuponthe

inputquantityinsuchamannerastomaintainthedesiredoutputvalue.閉環控制系

統輸出對輸入有影響的系統，這種影響使輸出維持期望值。

Thefundamentaldifferencebetweentheopen-andclosed-loopsystemsisthe

feedbackaction.開環與閉環系統兩者之間的主要區別是反饋作用

Servomechanism(oftenabbreviatedasservo).Thetermisoftenusedtorefertoa

mechanicalsysteminwhichthesteady-stateerroriszeroforaconstantinputsignal.

Sometimes,bygeneralization,itisusedtorefertoanyfeedbackcontrolsystem.伺月艮

機構指的是在常值輸入信號下穩態誤差為零的機械系統。有時這一術語也可用

于任何反饋控制系統。

Regulator.Thistermisusedtorefertosystemsinwhichthereisaconstant

steady-stateoutputforaconstantsignal.Thenameisderivedfromtheearlyspeed

andvoltagecontrols,calledspeedandvoltageregulators.調節器指的是在常值輸

入信號下有常值穩態輸出的系統這一名稱是從早期的速度和電壓控制系統引伸

(也稱速度和電壓調節器)得來的。

1.4Historicalbackground歷史背景

汽車前進的規定

芳1向（輸入）

Prescribeddirection

ofmovement-

referenceinput

Actualdirectionof

movementof

automotxle-output

汽車前進而實際

方向（輸出）

Apictorialdemonstrationofanautomobileasafeedbackcontrolsystem駕駛汽

車作為反饋控制系統的圖示

Heroesdeviceforopeningtempledoors.打開廟門的古老裝置

JamesWatt'sflyballgovernor飛球調速器，即蒸汽機離心調速器

離心調速器的應用

離心調速器的工作原理很簡單，假定機器在平衡狀態遠行時突然加上負載，此時

機器速度下降，調速器飛球的高度下降，通過杠桿的作用使蒸汽閥門（它在這里

是執行器）打開以使更多的蒸汽進入機器從而使速度大體上能復原。為了使閥門

維持在這個新的開啟狀態，飛球張開的角度自然和原先（未加負載時）不同，這意

味著在有負載時的速度實際不會完全和原先的速度相等，亦即負數的變動產生了

轉速誤差。如果該誤差在允許范圍內，則上述控制已滿足要求，若要求轉速不因

加上負載而變化，可以設法改變閥門的閥桿長度。后來的發明者設計了自動更新

調整機構實現了轉速恒定。

loaddisturbanceMI-*rotatedspeednt-*centrifugalframeworkexpansiont-*

slidingcoverofcomparingframeworkt-valveI(throughthelevelofthe

transitionframework)fsteamquantityQI-*nI(Chi-9)

負載擾動下降，則(軸)轉速上升，離心力上升，

炮彈擊中飛機

Antiaircraftradar-trackingcontrolsystem防空雷達跟蹤控制系統

1868:JCMaxwell,Onspeedregulatingmachine,ProceedingoftheRoyal

SocietyofLandon,Vol.161868年，麥克斯韋爾，速度調節器（飛球控制器），英

國皇家學會學報

1884:EJRouth,Stabilitycriterionoflinearsystem1884年,勞斯，線性系統的

穩定性判據

1923:Heaviside,arithmeticoperatorsmethod1923年：海維賽德，拉氏逆變

換定理（海維賽德展開式）

1930's:HNyquist,NyquistStabilitycriterion19世紀30年代，奈奎斯特穩定

性判據

HWBode,negativefeedbackamplifiers波德，負反饋放大器

1945:publicationofservomechanism伺服機構的出版

1948:publicationofTheoryofcontrols控制理論的出版

1950:WREvans,Root-Locusmethod伊文斯根軌跡理論

conventionalcontroltheory:developedthroughthelate1950s.Whichis

effectivelyappliedtomanycontrol-designproblems,especiallytoSISOsystems.經

典控制理論：是20世紀50年代末以前出現的，已經有效地應用于許多控制設計

問題中，特別是對于單輸入單輸出信號系統。

moderncontroltheory:developedforthedesignofmorecomplicatedsystems

andformultiple-inputmultiple-output(MIMO)systems現代控制理論：為了設計更

復雜的系統和多輸入多輸出系統而發展起來的控制理論。

Thedevelopmentofcontrolconceptsintheengineeringfieldhasbeenextended

totherealmofhumanandbiomedicalengineering.控制概念已經從工程界延伸到

人類和生物醫學工程領域。

1.5Digitalcontroldevelopment數字控制的發展

aerospacevehicles:宇航飛行器

controlsurfaces:操縱面

stabilityaugmentationsystem:增穩系統，SAS

controlstick:駕駛桿

airbornedigitalprocessors:機載數字處理器

1.6MathematicalBackground數學背景

differentialequations:aclassicalmeans,usedinthesolutionofcontrolsystems

intheearlystudies.Theapproachistediousanddoesnotreadilyindicatewhat

changesshouldbemadetoimprovesystemperformance.微分方程：一種經典方法，

在早期研究中用于控制系統的求解。很煩瑣，而且不能直接看出為了改善系統的

性能應采取什么措施。

Laplacetransform:transformsdifferentialequationstoalgebraicequationsin

ordertosimplifytheabovemethod.拉普拉斯變換：將微分方程變換為代數方程，

以便簡化求解。

Nyquisfsmethod:dealswiththeapplicationofsteady-statefrequency-response

techniquestofeedbackamplifierdesign,extendedbyBlack,Bode,Hall,Harris,etc.

奈魁斯持方法，涉及到穩態頻率響應計算法在反饋放大器設計中的應用。

root-locustheory:presentedbyEvans,permitsthegraphicalevaluationofboth

thetimeandthefrequencyresponse.根軌跡理論：伊文斯提出，可以對時間和頻

率響應進行圖解計算。

Mathematicalmodels:asetofmathematicalequationsdescribingaphysical

system.OncetheMathematicalmodelsaresetup,thesubsequentmethodofanalysis

isindependentofthenatureofthephysicalsystem;i.e.,itdoesnotmatterwhetherthe

systemiselectrical,mechanical,orsomethingelse.Thistechniquehelpsthedesigner

tospotsimilaritiesbaseduponpreviousexperience.數學模型：用一組數學方程描

述一個控制系統，一旦數學模型建立起來，后面的分析就與物理系統的結構特性

無關，即不管系統是電的，機械的，或者其它什么系統。這種方法有助于設計人

員根據以前的經驗找出各系統之間的相似性。

Nosingledesignmethodisintendedtobeusedtotheexclusionoftheothers.

Dependingupontheknownfactorsandthesimplicityorcomplexityofa

control-systemproblem,adesignermayuseonemethodexclusivelyoracombination

ofmethods.Withexperienceinthedesignoffeedbackcontrolsystemscomesthe

abilitytousetheadvantagesofeachmethod.每種方法的應該都不是絕對的。根據

一個控制系統問題的已知因素和復雜程度，設計者可以只使用其中一種方法，或

將幾種方法結合起來使用。根據每個人在反饋控制設計中的經驗，可以最大程度

地利用各種方法的優點。

1.7Generalnatureoftheengineeringcontrolproblem工程控制問題的一般性質

Ingeneral,acontrolproblemcanbedividedintothefollowingsteps:一般而

言，一個控制問題可以分成如下步驟：

1.Asetofperformancespecificationsisestablished.建立一組性能指標。

2.Theperformancespecificationsestablishthecontrolproblem.由于性能指標

的原因而導致控制問題的存在。

3.Asetofdifferentialequationsthatdescribethephysicalsystemisformulated.

列出一組描述物理系統的微分方程式。

4.Thedifferentialequationsaresolvedbyusingconventionalcontroltheory

aidedbyavailableorspeciallywrittencomputerprograms.借助于現成的或專門寫

出的計算機程序，使用經典控制理論的方法分析解決不同的問題

1.8Computerliteracy計算機文化（普及）

FREQR:usedforfrequencydomainanalysis頻率域分析方法

PARTL:usedforpartial-fractionexpansionoftransferfunctionsandfor

obtainingatimeresponse傳遞函數的部分分式展開和獲得時間響應

ROOTL:usedforobtainingroot-locusdataandplots用于獲得根軌跡數據和

圖形

MATLAB:MATrixLABoratory,whichcanbeusefortheanalysisanddesignof

controlsystemsandforthesimulinksimulation矩陣實驗室，用于控制系統分析與

設計及仿真模擬。

1.9Outlineoftext全文概述

Thetextisdividedintothreeparts:本文分為以下三個部分：

PART1:Chap2?4,providesthemathematicalfoundationformodelingphysical

systemsandobtainingtimesolutionsusingclassicalorLaplacetransformmethods.

第1部分：2?4章，討論物理系統建模的數學基礎，使用經典的或拉氏變換方法

獲得時域解。

PART2:Chap5?15,representsmaterialthatisusuallycoveredincontroltheory

andcontrolsystemdesign.第2部分:5?15章，介紹有關控制系統理論與設計的

一般方法。

PART3:Chapl6~18,consistsofadvancedundergraduateorgraduatetopics.第3

部分：16?18,本科畢業生或研究生提高用

AppendixA:TableofLaplacetransformpairs附錄A：拉氏變換對表。

AppendixB:InteractiveCADprograms附錄B：CAD程序

We911learnthefollowingchapters:chapl?6,8我們將學習以下章節：chapl-6,

8

Chap2WritingSystemEquation系統方程的建立

2.1Introduction(Complementary:Theprincipleofsuperpositionaboutlinear

system)引言(補充：線性系統的疊加原理)

2.2Electriccircuitsandcomponents電路及其元件

2.5Transferfunctionandblockdiagram傳遞函數和方框圖

2.6Mechanicaltranslationsystems直線運動機械系統

2.7Analogouscircuits模擬電路

2.16Summary總結

2.1Introduction弓I言

Inordertoresearchandanalysisasystem,itisnecessarynotonlytoknow

qualitativelytheworkingprinciplesandit'scharacteristics,butalsomoreimportantto

quantitativelydescribedynamicpropertiesofthesystem,torevealtherelationship

betweenthestructure,parametersaswellasdynamicpropertiesofthesystem(Ch2-1).

Soanaccuratemathematicalmodelthatdescribesasystemcompletelymustbe

determinedinordertoanalyzeadynamicsystem.

為了研究和分析一個系統，不僅要定性地了解其工作法則和特性，而且更重

要的是定量地描述系統的動態特性，以揭示系統的結構、參數以及動態特性及其

它們之間的關系。所以在分析動態系統之前，一定要確定完全能描述該系統的精

確的數學模型。

Thedifferentialequationsofcontrolsystemsdescribethedynamicperformances

ofthesystemsintimedomain.Wecangetoutputresponseofthesystembysolving

differentialequationsongivenforcesandinitialconditions.在時域內描述控制系統

動態特性的是微分方程。我們可以根據激勵(外力，輸入)和初始條件解微分方

程的方法獲得系統的輸出響應。

lineardifferentialequationswithconstantcoefficients(linearconstant-coefficient

differentialequationsorlineartime-invariant,LTI):therelationshipbetweenthe

systeminputandoutputisindependentoftime.常系數線性微分方程(常系數線性

或線性時不變微分方程)：系統輸入與輸出之間的關系與時間無關。

Thischapterpresentsmethodsfbrwritingthedifferentialandstateequationsfor

avarietyofelectrical,mechanical,thermal,andhydraulicsystems.這——章介紹對于

各種電的、機械的、熱的和液壓的系統如何建立微分方程和狀態方程的方法。

Thebasicphysicallawsaregivenforeachsystem,andtheassociatedparameters

aredefined.對于每個系統給出基本的物理定理，規定有關的參數。

Theresultisadifferentialequation,orasetofdifferentialequations,that

describesthesystem.Theequationsderivedarelimitedtolinearsystemsorto

systemsthatcanberepresentedbylinearequationsovertheirusefuloperatingrange.

其結果就是一個微分方程或一組微分方程來描述該系統。這里所得出的方程僅限

于線性系統或在它們整個工作范圍內可以由線性方程描述的系統。

blockdiagram:representstheflowofinformationandthefunctionsperformedby

eachcomponentinthesystem.方框圖：描述系統中的信息流向和每個元件所起的

作用。

?Eachfunctionisrepresentedby(iblock系統的每一部份功能均由一個方框表

示

?Eachblockislabeledwiththenameofthecomponent每一個方框上都注明

了一個元件的名字

?Theblocksareappropriatelyinlerconnectedbylinesegmentswitharrows

(Arrowsareusedtoshowthedirectionoftheflowofinformation.)方框用帶箭頭的

線段相連(箭頭表示信息流動的方向)

Theuseofablockdiagramprovidesasimplemeansbywhichthefunctional

relationshipofthevariouscomponentscanbeshownandrevealstheoperationofthe

systemmorereadilythandoesobservationofthephysicalsystemitself.方框圖的應

用提供了一個簡單的方法，通過這個方法可以說明各個部分功能之間的關系，用

它來說明系統的工作情況比考察物理系統本身要容易得多。

Thesimplefunctionalblockdiagramshowsclearlythatapparentlydifferent

physicalsystemscanbeanalyzedbythesametechniques,從簡單的函數方框圖中可

以清楚地看出，顯然不同的物理系統可以用同樣的方法進行分析。

Ingeneral,variablesthatarefunctionsoftimearerepresentedbylowercase

letters,通常，時間變量用小寫字母表示。

Tosimplifythewritingofdifferentialequations,theDoperatornotationisused.

ThesymbolsDand1/Daredefinedby:為了簡化微分方程的書寫，使用算子符號

Do符號D和1/D分別定義如下：

Dy三?)轡(2J)

dtdt2

。一、三5丁三￡y(r)t/r=fy(r)dr+%(2.2)

whereY()representsthevalueoftheintegralattimet=0,thatis,theinitialvalueofthe

integral.式中均表示在時刻，=°的積分值，即積分的初始值。

Theprincipleofsuperpositionaboutlinearsystem線性疊加系統原理

Itisassumedthatthedifferentialequationdescribingthedynamicrelationship

betweentheinputx(r)andtheoutput)")isasfollowing:

假設微分方程描述的系統輸入x⑺和輸出)，⑺之間的動態關系如下：

nnrn

anDy(t)+an_^D~^y(t)+...+a^Dy(t)+aQy(t)=brnDx(t)+..^byDx(<t)+bQX(t)

(1)Ifa-(i=andbj(J=areallconstants,thatis,theyare

notthefunctionsaswellasderivativesofy⑺andxQ),theequationiscalledlinear

time-invariant,thecorrespondingsystemiscalledlineartime-invariantsystem.如果

%.(i=0,1,2,…4)和與0=0,1,2,…M是常數，也就是說，他們與輸入工⑺和輸出

)")的變化無關，該方程就稱為線性時不變方程，相應的系統稱為線性時不變系

統。

nnmy

anDy(t)+an_^D^^y(t)+...-i-a^Dy(t)-^aQy(t)=hrnDx(t)+...+hyDx(<t)-}-hQX(<t)

(2)Ifa-andhjisthefunctionoftimei,theequationiscalledlineartime-variant,

thecorrespondingsystemiscalledlineartime-variantsystem.如果勺和hj是時間t

的函數，方程就稱為線性時變方程，相應的系統稱為線性時變系統。

(3)Ifoneofthe%andbjisdependentofy(r)andx(r)aswellastheirderivatives

orthereexistsotherformsoftintheequation,theequationisnon-linear,the

correspondingsystemiscallednon-linearsystem.Forexamples:如果a：和b：中有

1J

任一個與輸入X⑺和輸出ya)的有關，或者在方程中存在時間，的其他形式的函數，

該方程就稱為非線性方程，相應的系統稱為非線性系統。例如：

Dy(t)+2Dy(t)^4y(t)=x(t)linear

Dy(t)+ynon-linear

Althoughtherearevariousformsofmathematicalmodelstodescribethecontrol

systems,thelinearityornonlinearityofthesystemisindependentofexpressing

methods,becausetheyarethenaturalcharacteristicsofthesystemitself.盡管有不

同形式的數學模型描述控制系統，但是系統的線性與非線性與表達形式秘，因

為這是系統本身的固有特性。

Thelinearsystemssatisfytheprincipleofsuperposition,otherwisethenon-linear

systemsdonotsatisfy.線性系統滿足疊加原理，非線性系統不滿足疊加原理。

Assumethereisalinearsystem:假定有如下線性系統：

ifforinputx?(t)foutput力⑴

forinput^(t)output為仕).

thenfbrinputax](t)+/?X2(t)，outputay]⑴+公篤⑴

Theprincipleofsuperpositionaboutlinearsystemstatesthatforalinearsystem,

theexistenceofainputsignalhasnoinfluenceontheoutputcausedbytheotherinput

signal,thatis,therearenoinfluencesbetweenoutputsignalscausedbyeachinput

signal.線性系統疊加原理說明：對于一個線性系統，一個輸入信號的存在不影

響由其他輸入信號引起的輸出，也就是說，每個輸入信號引起的輸出之間互不影

響。

2.2Electriccircuitsandcomponents電路及其元件

TheequationsforanelectriccircuitobeyKirchhoffslaws,whichstatethe

following:電路方程遵循克希霍夫定律，敘述如下：

1.Thealgebraicsumofthepotentialdifferencesaroundaclosedpathequalszero.

Thiscanberestatedasfollows:intraversinganyclosedloopthesumofthevoltage

risesequalsthesumofthevoltagedrops.沿一閉合電路電位差的代數和等于零。

也可以說成是：沿任一封閉回路電壓升之和等于電壓降之和。

2.Thealgebraicsumofthecurrentsentering(orleaving)anodeisequaltozero.

Inotherwords,thesumofthecurrentsenteringthejunctionequalsthesumofthe

currentsleavingthejunction.在連接點或節點處電流的代數和等于零。換句話說，

流入節點的電流之和等于流出節點電流之和。

basicelectricalelements:resistors,inductors,capacitors電路基本元素：電阻、

電感、電容

Ohm'slaw:Voltagedropacrossaresistorisequaltotheproductofthecurrent

throughtheresistoranditsresistance.歐姆定律：電阻兩端的電壓降等于通過電阻

的電流乘以本身的電阻。

vR=Ri(2.3)

Faraday'slaw:Thevoltagedropacrossaninductorisequaltotheproductofthe

inductanceandthetimerateofincreaseofcurrent.法拉弟定律：電感兩端的電壓降

等于電感量與電流對時間的微分的乘積。

v,=L—=LDi(2.4)

Ldt

Thepositivelydirectedvoltagedropacrossacapacitorisdefinedastheratioof

themagnitudeofthepositiveelectricchargeonitspositiveplatetothevalueofits

capacitance.電容器兩端正向電壓降的大小定義為：正極板上電荷的大小與該電

容器電容值之比。

(2.5)

Themks(Meter-Kilogram-Second)unitsfortheseelectricalquantitiesinthe

practicalsystemaregiveninthefollowingtable.在實際系統中，這些電量的mks

單位見表2?1。

TABLE2.1Electricalsymbolsandunits電量符號和單位

Symbols符號Quantity電量Units單位

eorvVbltage電壓Volts伏特

iCurrent電流Amperes安培

Inductance電感Henrys亨利

Capacitance電容Farads法拉

Resistance電阻Ohms歐姆

Exp:SeriesResistor-InductorCircuit串聯電阻電感電路

FIG2.1Seriesresistor-inductorcircuit串聯電阻電感電路

圖2.1中電源電壓e是時間的函數。當開關閉合時，加到電路上的電壓源等

于電阻及電感上的電壓降之和，即

聯+以=e

Ri+L—=Ri+LDi=e

dt

電感兩端的電壓可以按下面的方法求出。電感電壓

vL=LDi

因此，通過電感的電流

.1

i=——匕T/

LD2

把以、i的表達式代入原方程求得

R

----V.+v.=e(2-7)

LD

直接用節點電壓法寫出系統方程式也是很方便的。任何兩元件的連接處叫節點。

該電路有三個節點，分別為a、b和c(見圖2-1)。其中一個節點可用來作參考點，

在該電路中參考點為c。其它各節點處的電壓都可看作是相對于參考節點的電壓。

這樣，匕”.是節點a到節點c的電壓降，而%是節點b到參考節點c的電壓降。

為了簡化，這些電壓分別寫成5和也。

電源電壓匕=「是已知的，僅有一個未知電壓以，所以僅需一個節點方程。

對節點b應用克?；舴虻诙桑瑒t節點處電流的代數和等于零。

從節點b到節點a流過電阻R的電流是g-匕,)/?,從節點b到節點c通過

電感L的電流是(1/L。)力。這些電流的和必等于零:

(匕1

---------------------1----------力=0(2-8)

RLD

整理后得:

(2-9)

除了所用符號不同以外，該方程和方程2-7一樣。注意，該節點法要求只寫一個

方程式。

Exp:SeriesResistor-Inductor-Cap<icitorCircuit串聯RLC電路

FIG2.2SeriesRLCcircuit串聯RLC電路

圖2-2中給出RLC串聯電路。當開關閉合時，加到電路上的電壓等于電壓

降之和：

V.+v?+vr=eLDi+Ri+-^—i-e(2-10)

LR°CD

根據各電路元件上的電壓降可以寫出電路方程式。例如，根據電阻兩端的電

壓降，方程式(2-10)變成

L八1

vK--DVK-\---------vR-e(2-11)

RR口RCDR

MultiloopElectricCircuits多回路電路

多回路電路的求解既可用回路方方程，又可用節點方程。我們用下面的例子

來說明這兩種方法的應用，說明如何求出電壓%。

I.LoopMethod回路法

首先標出每個閉合回路中的回路電流，然后寫出每個回路的克希霍夫電壓方

程式：

&+—I；；-R}i2--—(2-12)

CCDD)CD

—RJi+(/?|+R)+RD)J—R2。二0(2-13)

-專，-咐+(為+&+/=。(2-14)

而輸出電壓

V。=R3h(2-15)

根據輸入電壓e(f)和電路參數，對這4個方程聯立求解，即可求出%(f)。

II.NodeMethod節點法

如圖24,對各節點標以小寫字母。根據節點電壓，寫出每一節點的克?；?/p>

夫電流方程。圖中節點d為參考點，電壓也,是節點b相對于參考節點d的電壓。

為了簡化起見，電壓力可寫成也。這里有兩個未知電壓。和%,因此需要寫兩

個方程式

節點b：z,+/2+z3=0(2-16)

節點c：—ij+z4+Zj=0(2-17)

根據節點電壓，這些方程是

幺」二為=0(2-18)

+幺+-!-(0-e)=0(2-19)

R2&LD'°)

為了使方程具有系統他的形式，重新整理各項得：

(1]111

----\-CD-\---V,-----叫=—e(2-20)

R2)R.R、

1(11]11

---v.+F—+v=e(2-21)

LD0LD

R2[R2&)

此例說明，為了求得節點C處的電位僅需兩個節點方程。如果要求出/?3中的電流

必定要用到一個附加方程。用回路法，同時解三個方程就可以得到每個支路電流：

欲求&兩端電壓，必定要用到一個附加方程。這種方法要求解最少數量的方程，

其具體應用情況隨具體電路而異。

Therulesforwritingthenodeequations:書寫節點方程的規劃歸納如下：

1.Thenumberofequationsrequiredisequaltothenumberofunknownnode

voltages.1.所要求方程的個數等于未知節點電壓的個數。

2.Anequationiswrittenforeachnode.2.寫出每一個節點的方程。

3.Eachequationincludesthefollowing:3.每一個方程包括：

⑷Thenodevoltagemultipliedbythesumofalltheadmittancesthatare

connectedtothisnode.Thistermispositive.a.節點電壓乘以與該節點相聯結的所

有導納之和，該項為正；

3）Thenodevoltageattheotherendofeachbranchmultipliedbythe

admittanceconnectedbetweenthetwonodes.Thistermisnegative,b?每個支路另一

端的節點電壓乘以聯結兩節點之間的導納，該項為負。

2.3Basiclinearmatrixalgebra基本線性矩陣代數

squarematrix:方矩陣，矩形矩陣

Boldfacecapitalletters:粗體大寫字母

transpose:轉置矩陣

Npremultiplied（自左乘）M

Mpostmultiplied（自右乘）byN

unitoridentitymatrix:單位矩陣

2.4Stateconcepts狀態概念

systemcharacteristicequation:系統特征方程

canonicalstatevariables*.正則狀態變量

physical-variable:物理變數

energy-storageelements:儲能元件

stateequation:狀態方程

2.5Transferfunctionandblockdiagram傳遞函數和方框圖

systemtransferfunction:Ifthesystemdifferentialequationislinear,theratioof

theoutputvariabletotheinputvariable,wherethevariablesareexpressedas

functionsoftheDoperator,iscalledthetransferfunction.系統傳遞函數如果描

述系統的微分方程是線性的，那么輸出變量和輸入變量之比(這些變量可以表示

成算子D的函數)就稱之為傳遞函數。

Ifthedifferentia