高級中學名校試題PAGEPAGE1青海省西寧市大通回族土族自治縣2025屆高考二模數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若與均為實數，且，則（）A.3 B.4 C.5 D.7【答案】C【解析】因為，所以，所以,則．故選：C．2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得或，所以或，因為，所以.故選：C.3.圓錐的底面半徑為，側面展開圖是半圓面，那么此圓錐的側面積是A. B. C. D.【答案】A【解析】若圓錐的側面展開圖是半圓，則圓錐的母線長為底面半徑的2倍，因為圓錐的底面半徑為a，故圓錐的母線長為2a，故圓錐的側面積，故選A.4.已知函數在區間上單調遞減，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為為上的單調增函數，根據復合函數單調性可知，在區間上單調遞減，故，解得．故選：B．5.給定下列四個命題，其中真命題是（）A.垂直于同一直線的兩條直線相互平行B.若一個平面內兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行C.垂直于同一平面的兩個平面相互平行D.若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直【答案】D【解析】正方體同一頂點的三條棱兩兩垂直，則垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯誤；若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，兩直線可以相交，也可以成為異面直線，故B錯誤；正方體的前面和側面都垂直于底面，這兩個平面不平行，C錯誤對：利用反證法簡單證明如下：若兩個平面垂直，假設一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面垂直.因為，且平面的交線，故可得，這與題設與不垂直相互矛盾，故假設不成立，原命題成立.即選項正確.故選：D．6.已知，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】因為，所以，且，所以，又因為，由，可得，所以．故選：A．7.畫法幾何學的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓，已知橢圓的蒙日圓是，若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則的值為（）A.或 B.或 C. D.【答案】B【解析】由橢圓的方程，可得且，且蒙日圓方程為，可得蒙日圓的圓心為原點O，半徑為，又由圓的圓心為，半徑為2，因為兩圓只有一個公共點，則兩圓外切或內切，可得或，又因為，所以或，解得或．故選：B．8.某科技興趣小組設計了一個信號發生器，傳輸0，1，2信號，信號傳輸互不干擾，收到的信號不變的概率為，收到其他兩種信號的概率均為．輸入同一個信號的概率都是，輸出3個信號作為一組信息單元，在輸出信號為“0，2，1”的條件下，輸入信號為“0，0，0”的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設事件A為“輸出信號為0，2，1”，事件B為“輸入信號為0，0，0”，則．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.甲、乙兩名籃球運動員連續12場比賽的得分如下表所示，則下列說法正確的有（）場次123456789101112甲16181811182025191718828乙41116102528162910181621A.甲的眾數大于乙的眾數 B.甲的極差大于乙的極差C.甲的平均數大于乙的平均數 D.甲的分位數大于乙的分位數【答案】AC【解析】由題意知甲的眾數為18，而乙的眾數為16，所以甲的眾數大于乙的眾數，故A正確；甲的極差為，乙的極差為，所以甲的極差小于乙的極差，故B錯誤；因為甲的平均數，乙的平均數，所以甲的平均數大于乙的平均數，故C正確；甲的得分按從小到大順序排列為：8，11，16，17，18，18，18，18，19，20，25，28，又，所以甲的分位數為19，乙的得分按從小到大順序排列為：4，10，10，11，16，16，16，18，21，25，28，29，又，所以乙的分位數為21，故D錯誤．故選：AC．10.已知函，則（）A.由可得必是的整數倍B.的圖象關于點對稱C.的表達式可改寫為D.的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到【答案】BC【解析】對于A選項，若，則，所以，，，上述兩個等式作差得，則，所以，必是的整數倍，A錯；對于B選項，，所以的圖象關于點對稱，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，所以，的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到，D錯.故選：BC.11.已知函數，1為的極小值點，則（）A. B.的極大值為3C.恰有3個零點 D.的圖象關于點對稱【答案】BC【解析】因為，所以，因為1為的極小值點，由，所以.此時由f'(x)=3x2-3=3由.所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.所以的極大值點為，極大值為；的極小值.所以，故A錯誤；因為的極大值點為，極大值為，故B正確；因為的極大值為，的極小值，所以恰有3個零點，故C正確；因為，所以，故函數的圖象關于點對稱，故D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的漸近線方程為，實軸長為4，則該雙曲線的標準方程為_________．【答案】或【解析】當雙曲線焦點在x軸上時，設雙曲線方程為，則漸近線方程為，實軸長為，由題意得，解得，所以該雙曲線的標準方程為；當雙曲線焦點在y軸上時，設雙曲線方程為，則漸近線方程為實軸長為，由題意得，解得，則該雙曲線的標準方程為．綜上，該雙曲線的標準方程為或．故答案為：或13.已知向量，滿足，，則向量在向量上投影向量的坐標為_____________.【答案】【解析】因為，所以，又，所以向量在向量上投影向量為，故所求坐標為.故答案：.14.已知，函數，若，則的最小值為_________．【答案】6【解析】由題意可知的定義域為，令，解得；令，解得．則當時，，故，所以；當時，，故，所以，故，即，又，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為6．故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.游泳是一種高效的鍛煉方法，堅持游泳可以增強體質，提高免疫力．某游泳館為了了解是否喜歡游泳與性別有關聯，隨機在某小區調查了200人，得到的數據如表所示：性別游泳合計喜歡不喜歡男8040120女324880合計11288200（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否喜歡游泳與性別有關聯？（2）為分析喜歡游泳的原因，在喜歡游泳的人中采用分層抽樣的方法隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人進行調查，記隨機變量X為這3人中女性的人數，求X的分布列與數學期望．附：，其中．010.050.0100050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設為：是否喜歡游泳與性別無關聯．根據列聯表中的數據，計算得到，所以根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為是否喜歡游泳與性別有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．（2）由題意可知抽取的男性有人，女性有人，隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，且，，.所以X的分布列為：X012P所以．16.設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）若，求的面積；（2）若，求的值．解：（1）因為，則，且，化簡得．由余弦定理得，即，可得，所以的面積為．（2）由及正弦定理得，因為，即，化簡得，所以．17.已知函數，其中，.（1）當時，求的圖象在處的切線方程；（2）當時，若函數在區間上存在極值，求的取值范圍.解：（1）當時，，定義域為，所以，所以的圖象在處的切線方程為，即.（2）當時，，定義域為，所以，因為在區間上存在極值，所以在上必存在變號零點，令，則在上必存在變號零點，因為，所以，解得，當時，，且在上單調遞增，又，故存在，使得，所以當時，，即，當時，，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故為的極小值點，符合題意，故的取值范圍為.18.設為數列的前n項和，時，，已知．（1）證明：數列為等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若不等式對任意正整數n都成立，求實數的最小值．（1）證明：當時，，即，則，而，則，于是時，，整理得，又，所以數列是首項和公比都是2的等比數列.（2）解：由（1）知，數列是首項和公比都是2的等比數列，則，因此，數列是首項為，公差為的等差數列，，所以數列的通項公式.（3）解：由（2）知，，，兩式相減得，，則．不等式，當時，為任意實數；當時，恒成立，而，因此，所以實數的取值范圍是，的最小值為.19.如圖1，已知拋物線，O為坐標原點，點A，B是E上異于點O的兩點（其中點A在第一象限），直線AB交x軸于點C，且，將平面AOC沿著x軸翻折得到三棱錐，如圖2所示，且．（1）求點C的坐標；（2）求證：平面平面；（3）若，求直線與平面所成角的正弦值．（1）解：由題意知直線AB的斜率不為0且不過原點，所以可設直線AB的方程為，聯立，得，則，所以．因為，所以，所以，即，解得（舍去），所以直線AB的方程為，令，得，即．（2）證明：如圖，在平面內過點作，垂足為M，在平面內過點M作，垂足為N，連接，因為，所以．由折疊的性質可得，因為，所以，所以，所以，所以，即．因