高級中學名校試題PAGEPAGE1內蒙古呼和浩特市2025屆高三第一次模擬考試數學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，又，所以.故選：C2.已知復數滿足：，則復數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由復數的模長公式可得，所以，，則.故選：B.3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，.故選：D.4.設隨機變量服從正態分布，若，則函數有極值點的概率為（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】C【解析】函數的定義域為R，求導得，依題意，有兩個不相等的實數根，則，解得，由隨機變量服從正態分布，且，得，所以函數有極值點的概率為0.4.故選：C5.將函數的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象.命題是偶函數，命題，則（）A.是的充分不必要條件B.是的必要不充分條件C.是的充要條件D.是的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】依題意，，當時，是偶函數，即，若是偶函數，則，解得，顯然不能推出，所以是的必要不充分條件.故選：B6.已知為單位向量，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為為單位向量，由，所以，即，設與夾角為，則，又，所以.故選：C.7.設函數，則使得成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數的定義域為R，，函數是奇函數，求導得，函數在R上單調遞增，由，得，即，則，因此，解得，所以所求的取值范圍是.故選：C8.已知為雙曲線上的一點，由向兩漸近線作垂線，垂足分別為、，則的值為（）A. B. C. D.不確定【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，設點，則，設點在直線、的射影點分別為、，則，，所以，，設直線的傾斜角為，則為銳角，且，則，所以，，因為，故，所以，，由平面向量數量積定義可得.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.有選錯的得0分.9.2024年4月30日國家統計局發布了制造業采購經理指數（PMI）（）（與上月比較無變化），如圖所示.下列說法正確的是（）A.從2023年4月到2024年4月制造業采購經理指數（PMI）呈下降趨勢B.從2023年10月到2024年4月，這7個月的制造業采購經理指數（PMI）的極差為C.從2023年10月到2024年4月，這7個月的制造業采購經理指數（PMI）的平均數為D.從2023年10月到2024年4月，這7個月的制造業采購經理指數（PMI）的分位數為【答案】BD【解析】對于A，制造業采購經理指數（PMI）有升有降，A錯誤；對于B，從2023年10月到2024年4月，這7個月的制造業采購經理指數（PMI）的極差，B正確；對于C，從2023年10月到2024年4月，這7個月的制造業采購經理指數（PMI）的平均數為，C錯誤；對于D，從2023年10月到2024年4月，這7個月的制造業采購經理指數（PMI）,從小到大的順序為，由，得第80百分位數為第6個數，為，D正確.故選：BD10.在正方體中，棱長為1，已知點，分別是線段上的動點（不含端點）.下列說法正確的有（）A.存在無數條直線與直線平行B.與不可能垂直C.二面角不可能為定值D.點到任意直線的距離都不可能小于【答案】AD【解析】對于A，由，平面，平面，得平面，則過的平面與平面相交，交直線分別于點，必有，因此有無數條直線與直線平行，A正確；對于B，在正方體中，，由平面，平面，得，而平面，則平面，又平面，因此，B錯誤；對于C，由，得平面即為平面，平面即為平面，因此二面角即為二面角，而二面角為定值，則二面角為定值，C錯誤；對于D，由選項B知，平面，點到平面的距離為，而平面，因此點到任意直線的距離都不可能小于，D正確.故選：AD11.琴生（Jensen，1859-1925）是丹麥的一位電訊工程師，他利用業余時間研究數學，其中流傳至今的研究成果是以凹凸函數為基礎的“琴生不等式”，表述如下：若函數的導函數存在導函數，記的導函數為，如果對，都有，則稱在是“凸函數”，滿足；如果對，都有，則稱在是“凹函數”，滿足，則下列說法正確的是（）A若，有B.若，有C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，，，則在是“凸函數”，，，A正確；對于B，，，則在是“凹函數”，，有，B錯誤；對于C，令函數，，函數在是“凹函數”，，因此，C正確；對于D，令函數，，在是“凸函數”，，，因此，D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，斜率為且與圓相切的一條直線方程為__________.【答案】（答案不唯一，）【解析】圓的圓心，半徑，設切線方程為，即，則，解得或，所以所求切線方程為或.故答案為：（或）13.邊長為的正方形，經如圖所示的方式裁剪后，可以圍成一個正四棱錐，若內部小正方形的邊長為，則此正四棱錐的體積為__________.【答案】【解析】設底面的中心為，設線段的中點為，連接、，因為，則，因為為的中點，則，，且，所以，，翻折前，則、、三點共線，則，可得，翻折后，在正四棱錐中，如下圖所示：由正四棱錐的幾何性質可得平面，因平面，所以，，由勾股定理可得，正方形的面積為，因此，正四棱錐的體積為.故答案為：.14.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的最大值為___________.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以兩式相減得，即，由正弦定理，得，即，化簡可得，因為，所以，則，所以為銳角，，當且僅當時，取得最大值.故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，滿分77分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明.15.已知為等差數列的前項和，滿足，數列滿足.（1）求的通項公式；（2）將和的項由小到大進行排列組成數列，設的前項和為，求.解：（1）在等差數列中，，解得，而，則數列的公差，，由，得，所以數列的通項公式分別為，.（2）由（1）知，，而數列都是遞增數列，則數列前100項由數列的前93項和數列的前7項組成，所以16.已知函數.（1）若，求函數在處的切線方程；（2）討論函數在上零點的個數.解：（1）當時，，求導得，則，而，所以所求切線方程為，即.（2）依題意，，當時，；當時，，函數在上遞增，在上遞減，，當，即時，恒成立，此時在上無零點；當，即時，，，在上無零點，，在上有一個零點，則在上有一個零點；當，即時，，函數在和上各有一個零點，因此在上有兩個零點；當，即時，在上恒成立，當且僅當，函數在上有一個零點；當，即時，恒成立，此時在上無零點，所以當或時，在上無零點；當或時，在上有一個零點；當時，在上有兩個零點.17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，其中，點為棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：由，即，得，而，平面，則平面，又平面，于是，由為等邊三角形，且點為棱的中點，得，又，平面，因此平面，而平面，所以.（2）解：由（1）知平面，而平面，平面平面，在平面內過點作，而平面平面，則平面，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，則，令，得，又平面的法向量為，設二面角的平面角為，則，，所以二面角的的正弦值為.18.在圓上任取一點，過點作軸的垂線段為垂足，當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡為曲線（當點經過圓與軸的交點時，規定點與點重合）.（1）求曲線的方程；（2）為曲線與軸的交點，過點作直線交于兩點（與，不重合），直線與交于點.（i）證明：點在定直線上；（ii）是否存在點使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.解：（1）設點的坐標為，由軸于，為線段的中點，得點，由點在圓上，得，即，所以點的軌跡的方程是.（2）（i）由（1）不妨令，直線不垂直于軸，設直線，，由，得，由，得或，則，，直線方程為，直線方程為，聯立消去，得，解得，所以點在直線上.（ii）由，得，則點在以為直徑的圓上，設，則，解得，即，于是直線的方程為，由消去得，而點A橫坐標為，則點橫坐標，縱坐標，所以直線的斜率.19.在某場乒乓球比賽中，甲乙兩人進入決勝局，且目前該局比分為，接下來比賽規則如下：兩人輪流各發一個球，誰贏此球就獲得1分，直到有一方得分超過對方2分時即可獲得該局的勝利.已知甲先發球，且甲此球取勝的概率為0.6，若上一球甲獲勝，則甲在下一球比賽中獲勝的概率為0.8，若上一球乙獲勝，則甲在下一球比賽中獲勝的概率為，其中