高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省本溪市縣級重點高中協作體2023-2024學年高一下學期期中考試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，，則由可得，，則，故.故選：A2.已知向量滿足，則（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.3.已知角的終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，則.故選：C.4.要得到函數的圖像，只需將函數的圖像（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.問右平移個單位長度【答案】D【解析】，故將的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，故D正確；經檢驗，ABC錯誤.故選：D.5.已知單位向量滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設與的夾角為（），由，得且，即，解得，所以，故在上的投影向量為.故選：D.6.如圖，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續，設初始正方形的邊長為2，則（）A.0 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】如圖，連接，延長交于點，延長交于點.則由題意和圖形的對稱性，可知，且，由題意可知，.故選：C.7.設，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為函數在上單調遞增，所以，即.又因為函數在上單調遞增，所以，所以.故選：D.8.已知函數在上單調遞增，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在上單調遞增，又的最小正周期，則在處取得最小值，在處取得最大值，所以，即，又，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某校舉辦籃球賽，來自甲隊的6名隊員與來自乙隊的4名隊員的得分如下圖，則下列命題是真命題的是（）A.甲隊的6名隊員得分的中位數是13.5B.乙隊的4名隊員得分的平均數是15.25C.這10名隊員得分的60%分位數是15D.若采用分層隨機抽樣的方法從甲隊和乙隊的這10名隊員中抽取5名隊員參加某項活動，再從這5名隊員中抽取2人作為代表，則這2名代表都來自甲隊的概率是【答案】ABD【解析】對于A項，由莖葉圖可得甲隊的6名隊員得分的中位數是，故A正確；對于B項，乙隊的4名隊員得分的平均數是，故B正確；對于C項，將這10名隊員的得分從低到高排列為，因為，所以這10名隊員得分的分位數是故錯誤；對于D項，若采用分層隨機抽樣的方法抽取5名隊員參加某項活動，則抽取甲隊的隊員人數為3，設為，抽取乙隊的隊員人數為2，設為，若從這5名隊員中抽取2人作代表，則所有情況有，共10種，其中這2名代表都來自甲隊的情況有3種，故所求概率為，故D正確.故選：ABD.10.已知函數，則（）A.為奇函數 B.的值域為C.上單調遞增 D.在上有6個零點【答案】ACD【解析】對于A項，的定義域為，顯然關于原點對稱，由可知，為奇函數，故A項正確；對于B項，當時，，故B項錯誤；對于C項，令函數易得在上單調遞增，且當時，的值域為，因為函數在上單調遞增，由復合函數“同增異減”原則，可得在上單調遞增，故C項正確；對于D項，由C項可知，當時，的值域為而，則函數在上有6個零點，所以在上有6個零點，故D項正確.故選：ACD.11.如圖，在梯形中，，分別為邊上的動點，且，則（）A.的最小值為 B.的最小值為9C.的最大值為12 D.的最大值為18【答案】AC【解析】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，則.設，其中，且，得.因為，所以，解得，當且僅當時，等號成立.，當且僅當點或點與點重合時，等號成立，則.所以的最大值為12，最小值為.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.若，則__________.【答案】3【解析】由，得，顯然，否則，矛盾，所以.故答案為：3.13.中國扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的一個組成部分，其中扇面畫有著悠久的歷史.某扇面畫可看成一個扇環，其示意圖如圖所示.若，且該扇環的周長為，則該扇環的面積為__________.【答案】【解析】設，依題意可得，，解得，故該扇環的面積為.故答案為：.14.已知函數在內恰有兩個不同的零點，則__________，__________.【答案】【解析】由題意可得.令，得，則或，解得或.由，得或，所以.不妨取，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象．（1）求的解析式與最小正周期；（2）若，，求，的值．解：（1）函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，可得，最小正周期．（2）因為，，所以，所以，．16.已知向量滿足.（1）證明.（2）求向量與夾角的余弦值.解：（1）證明：因為，所以，故.（2）由題意得，，，故，即向量與夾角的余弦值為.17.已知函數.（1）將化成的形式；（2）若對于任意的恒成立，求的取值范圍.解：（1）因為，所以.（2）由（1）知，因為，所以，得到，因為，所以，因為函數在上單調遞增，所以，所以，故的取值范圍為.18.在平行四邊形中，.（1）若與交于點，求的值；（2）求的取值范圍.解：（1）設，則，設，根據平面向量基本定理得解得，所以，則，所以.（2）因為，，，所以.因為，所以當時，取得最小值，且最小值為，當時，取得最大值，且最大值為，故的取值范圍為.19.已知函數.（1）用單調性的定義判斷在上的單調性，并求在上的值域；（2）若函數的最小作為，且對恒成立，求的取值范圍.解：（1）設是上的任意兩個實數，且.（方法一），因為為增函數，