高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省本溪市縣級重點高中協作體2023-2024學年高二下學期期中考試數學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教B版選擇性必修第三冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在數列中，，則（）A.8 B.11 C.18 D.19【答案】D【解析】由，得.故選：D2.一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離與時間之間的函數關系式為，則時，此木塊在水平方向的瞬時速度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以時，此木塊在水平方向的瞬時速度為.故選：A3.已知數列滿足，則（）A.2 B. C.5 D.【答案】D【解析】由，可得，所以數列是以2為周期的周期數列，故.故選：D4.定義在上的函數的導函數為，且，則下列函數一定是增函數的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，，，無法判斷單調性，故A錯誤；對于B，，，無法判斷單調性，故B錯誤；對于C，恒成立，則義在上是增函數，故C正確；對于D，，，無法判斷單調性，故D錯誤.故選：C.5.已知函數的部分圖象如圖所示，為的導函數，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由導數的意義可知，和分別表示圖像上點切線的斜率，所以由圖像可知，，而表示過點直線的斜率，由圖像可知，，故選：D.6.已知等差數列的前項和為，則（）A.14 B.26 C.28 D.32【答案】B【解析】設等差數列的公差為，則，則，所以.故選：B.7.若過點可以作曲線的兩條切線，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在曲線上任取一點，，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知，點在直線上，可得，令函數，則.當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，所以.設，所以，所以當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以，所以，所以，當時，，所以，當時，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個交點，則.故選：B8.已知等比數列的前項和為，若恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】設等比數列的公比為，由，得，則，即，因為，所以，解得，所以，所以，當為奇數時，，所以，當為偶數時，，所以，所以.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】因為，所以錯誤；因為，所以正確；因為，所以錯誤；因為，所以D正確.故選：BD10.已知，函數的大致圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于A，當時，，，為定義在上的奇函數，圖象關于原點對稱；當時，，，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，且當時，恒成立，由對稱性知：在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，恒成立，又，A正確；對于B，當時，，，為定義在上的偶函數，圖象關于軸對稱；當時，，，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，且當時，恒成立，由對稱性知：在上單調遞增，在上單調遞減，且當時，恒成立，又，B正確；對于C，當時，，，，的定義域為，為定義在上的偶函數，圖象關于軸對稱；當時，，，在上單調遞減，且當時，恒成立；由對稱性知：在上單調遞增，且當時，恒成立，C正確；對于D，由圖象可知：，即在處有意義，則；又圖象關于軸對稱，為偶函數，，此時圖象應為B中圖象，D錯誤.故選：ABC.11.已知數列的前項和為，且，數列滿足，記，則下列說法正確的是（）A.B.C恒成立D.若，關于的不等式恰有兩個解，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】當時，，即，所以.當時，，所以，即.因為，所以，所以是首項為1，公比為2的等比數列，所以，故A正確；由，得，則，所以數列為常數列，所以，即，故B錯誤；故.當時，，令，可得，令，可得，所以，則當或時，取得最大值，故C正確；，因為關于的不等式恰有兩個解，所以的取值范圍為，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.若函數的導函數為，則__________.【答案】【解析】由題意得，令，得，則，所以.故答案為：.13.已知正項等比數列的前項和為，若，則的最小值為__________.【答案】【解析】設等比數列公比為，由題意知且，則，解得，則，所以.易知當時，，當時，，故的最小值為.故答案為：14.以表示數集中最小的數，表示數集中最大的數，則__________，__________.【答案】①②【解析】構造函數，則.，當時，，則在上單調遞減，而，故，所以.又，，所以，故.故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在長方體中，四邊形的周長為，長方體的體積為.（1）求的表達式；（2）若自變量從變到，求平均變化率；（3）若，求在處的瞬時變化率.解：（1）因為四邊形周長為12，所以，所以，因為，所以，所以.（2）若自變量從變到，則的平均變化率為.（3）由，得.，則，所以在處的瞬時變化率為-30.16.已知為等差數列，是公比為2的等比數列，且是和的等差中項，是和的等差中項.（1）證明：.（2）已知，記數列是將數列和中的項從小到大依次排列而成的新數列，求.解：（1）設數列的公差為，因為是和的等差中項，是和的等差中項，所以，，所以，解得，得證.（2）因為，所以..為奇數，為偶數，故數列和沒有相同的項.因為，，所以的前100項中，含有7個，所以.17.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若有個零點，求的取值范圍.解：（1），當時，恒成立，所以在上單調遞增.當時，令，解得或，所以在和上單調遞增，在上單調遞減.當時，令，解得或，所以在和上單調遞增，在上單調遞減.（2）當時，，令，解得或，不符合題意，故，由（1）可知，又有3個零點，所以，.由，所以，因，所以，可得或或，即的取值范圍為.18.已知數列滿足.（1）記，證明數列是等比數列，并求的通項公式；（2）令，求數列的前項和.解：（1）由題可知，當時，，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，當為偶數時，，當奇數時，，故.（2）由（1）可得，所以，記，①則，②①②得，所以，則，所以當為偶數時，，當為奇數時，.故.19.已知函數（1）若求曲線在點處的切線方程．（2）若證明：在上單調遞增．（3）當時，恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為所