高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省鞍山市普通高中2024-2025學年高一下學期3月第一次月考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，又，所以.故選：C.2.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，解得，故，．故選：A．3.已知數據，且滿足，若去掉，后組成一組新數據，則新數據與原數據相比，有可能變大的是（）A.平均數 B.中位數 C.極差 D.方差【答案】A【解析】由于，所以原來的極差為，新數據的極差為，故極差變小，原來和新數據的中位數均為，故中位數不變，去掉，后，數據波動性變小，故方差變小，因此可能變大的是平均數，比如，原數據的平均數為6.6，去掉1和12后，新數據的平均數為，但，故A正確.故選：A.4.如圖所示，在中，，若，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故選：C.5.已知集合，，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由“”是“”的充分不必要條件，得A是B的真子集.又，則必有，即，所以.故選：D.6.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為定義域為且，，所以為奇函數，則圖象關于原點對稱，故排除B項、D項，又，故排除C項.故選：A.7.已知函數是定義在的奇函數，且在上單調遞增，若，則實數t的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是定義在的奇函數，且在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以，所以，解得，故t的范圍為.故選：D.8.已知函數，，的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，，，得，，，則為函數與交點橫坐標，為函數與交點橫坐標，為函數與交點橫坐標，在同一直角坐標系中，分別做出，，和的圖像，如圖所示，由圖可知，，故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則下列說法正確的是（）A. B.事件與不互斥C.事件與相互獨立 D.事件與不一定相互獨立【答案】BC【解析】故錯誤；又所以事件與不互斥，故正確；則事件與相互獨立，故正確；因為事件與相互獨立，所以事件與一定相互獨立，故錯誤.故選：10.下列結論中正確的是（）A.若冪函數的圖象經過點，則B.函數且的圖象必過定點C.函數的單調增區間是D.若冪函數，則對任意、，都有【答案】BCD【解析】對于A選項，設冪函數的解析式為，由題意可得，解得，則，A錯；對于B選項，因為，所以，函數且的圖象必過定點，B對；對于C選項，因為內層函數的增區間為，減區間為，外層函數為減函數，故函數的增區間為，C對；對于D選項，冪函數，對任意的，則，則對任意、，，，所以，所以，可得，所以，D對.故選：BCD.11.PM2.5的監測值是用來評價環境空氣質量的指標之一．劃分等級為日均值在以下，空氣質量為一級，在，空氣質量為二級，超過為超標．如圖是某地12月1日至10日的日均值（單位：），則下列說法正確的是（）A.這10天日均值的80%分位數為60B.從日均值看，前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差C.從日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差D.這10天中日均值的平均值是50【答案】BC【解析】由圖知：從小到大為，而，所以分位數為，A錯誤；日均值的平均值，D錯誤；前5天極差為，后5天極差為，B正確；前5天平均值為，后5天平均值為，所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，C正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數在上單調遞增，則__________.【答案】【解析】由題意可知，，解得，即，.13.2022北京冬奧會期間，吉祥物冰墩墩成為頂流”，吸引了許多人購買，使一“墩難求甲、乙、丙3人為了能購買到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購買，若甲、乙2人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為，丙購買到冰墩墩的概率為，則甲，乙，丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為_________．【答案】【解析】因為甲乙2人中至少有1人購買到冰墩墩概率為，所以甲乙2人均購買不到冰墩墩的概率.同理，丙購買不到冰墩墩的概率.所以，甲乙丙3人都購買不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率.14.已知函數（且）的圖像過定點，正實數，滿足，則的最小值為______.【答案】12【解析】函數的圖像過定點，所以，，即，所以，當且僅當，時等號成立.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式=.（2）原式.16.設集合U=R，.（1）求：，；（2）設集合，若，求a的取值范圍．解：（1），，，，.（2），（i）時，；（ii）時，，解得.綜上：．17.為了解某小區居民的體育鍛煉時間，隨機在該小區選取了名住戶，將他們上周體育鍛煉的時間（單位：時）按照、、、、分成組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計樣本數據的第百分位數；（2）按分層隨機抽樣的方法從上周體育鍛煉時間在、的住戶中選取人，再從這人中任意選取人，求這人上周體育鍛煉時間都不低于小時的概率.解：（1），解得.設樣本數據的第百分位數為，因為樣本數據在的頻率為，樣本數據在的頻率為，則，所以，解得，故估計樣本數據的第百分位數為.（2）上周體育鍛煉時間在頻數為，上周體育鍛煉時間在的頻數為，按分層隨機抽樣的方法選取人，則上周體育鍛煉時間在的住戶被抽取人，記為、，體育鍛煉時間在的住戶被抽取人，記為、、，所以從這人中隨機抽取人的情況有、、、、、、、、、，共種，其中，事件“所抽取的人上周體育鍛煉時間都不低于小時”包含的情況有、、，共種，則所求的概率.18.如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊，分別交于點．（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值．解：（1）因為，所以，因為是線段的中點，所以，又因為，設，則有，因為三點共線，所以，解得，即，所以．（2）因為，，由（1）可知，，所以，因為三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為．19.若函數在區間上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數是在區間上的“美好函數”.（1）函數；；中，哪個函數是在區間上的“美好函數”？并說明理由；（2）已知函數.①函數是在區間上的“美好函數”，求的值；②當時，函數是在區間上的“美好函數”，求的值.解：（1）因為函數在區間上單調遞減，所以，，所以，故是在區間上的“美好函數”；因為函數在區間上單調遞增，所以，，所以，故不是在區間上的“美好函數”；因為在區間上單調遞增，所以，，所以，故是在區間上的“美好函數”.（2）①有題知.因，所以.令，則，當時，函數在區間上單調遞增，此時，，所以有；當時，函數在區間上單調遞減，此時，，所以有，綜上所述，.②由題可知，函數.因為，所以.令，則，.可知此時，