高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省九江市2025屆高三第二次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】的虛部為，故選：C.3.等差數(shù)列中，已知，則的前10項(xiàng)和等于（）A.36 B.30 C.20 D.18【答案】B【解析】由等差數(shù)列得，故，即，故選：B.4.植物的根是吸收水分和礦物養(yǎng)分的主要器官.已知在一定范圍內(nèi)，小麥對(duì)氮元素的吸收量與它的根長(zhǎng)度具有線性相關(guān)關(guān)系.某盆栽小麥實(shí)驗(yàn)中，在確保土壤肥力及灌溉條件相對(duì)穩(wěn)定的情況下，統(tǒng)計(jì)了根長(zhǎng)度（單位：）與氮元素吸收量（單位：天）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.10.300.340.420.500.550.600.710.740.780.86根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得及線性回歸方程為，則（）A.B.變量與的相關(guān)系數(shù)C.在一定范圍內(nèi)，小麥的根長(zhǎng)度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加D.若對(duì)小麥的根長(zhǎng)度與鉀元素吸收量的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，則對(duì)應(yīng)回歸方程不變【答案】C【解析】由線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)知，，故A錯(cuò)誤；小麥對(duì)氮元素的吸收量與它的根長(zhǎng)度具有正相關(guān)關(guān)系，故相關(guān)系數(shù)，故B錯(cuò)誤；由線性回歸方程可得，在一定范圍內(nèi)，小麥的根長(zhǎng)度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加，故C正確；若研究小麥的根長(zhǎng)度與鉀元素吸收量的相關(guān)關(guān)系，回歸方程可能發(fā)生改變，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上.若最大值等于橢圓的焦距，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，，所以，.故選：D.6.已知是定義在上周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.設(shè)，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，且在[0，1]上單調(diào)遞減，因，所以，故選:B.7.已知球與正三棱柱的各個(gè)面均相切，記平面截球所得截面的面積為，球的表面積為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，設(shè)球的半徑為球與正三棱柱的各個(gè)面均相切正三棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為.設(shè)正三棱柱上，下底面的中心分別是是的中點(diǎn)，連接交于，則到平面的距離.又.所得截面圓半徑，故選：A.8.窗花是中國(guó)傳統(tǒng)剪紙藝術(shù)的重要分支，主要用于節(jié)日或喜慶場(chǎng)合的窗戶(hù)裝飾，尤以春節(jié)最為常見(jiàn)，它以紅紙為材料，通過(guò)剪、刻等技法創(chuàng)作出精美圖案，圖案講究構(gòu)圖對(duì)稱(chēng)、虛實(shí)相生.2025年春節(jié)，小明同學(xué)利用軟件為家里制作了一幅窗花圖案（如圖），其外輪廓為方程所表示的曲線.設(shè)圖案的中心為為曲線上的最高點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)為原點(diǎn)，我們可以把放入平面直角坐標(biāo)系中，連接，再利用曲線的對(duì)稱(chēng)性，我們不妨設(shè)，因?yàn)椋?，我們把視為以為主元的一元二次方程，故，解得，即，代入，解得，此時(shí)，此時(shí)由兩點(diǎn)間距離公式得，故D正確.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若函數(shù)對(duì)任意的，都有，則（）A.B.在上單調(diào)遞減C.為奇函數(shù)D.的最小正周期為【答案】AD【解析】依題意知，是的最小值，故，解得，故A正確；由，得.由，得在[上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：AD.10.若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)積等于數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.是等比數(shù)列B.等比數(shù)列C.是遞減數(shù)列D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】對(duì)A：由，得，且，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故A正確；對(duì)B：由上可知，，即，故是等比數(shù)列，B正確；對(duì)C：設(shè)的前項(xiàng)積為的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，，故D正確.故選：ABD.11.如圖，三棱錐中，平面，為其表面上一點(diǎn)，與四個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為，則下列命題正確的是（）A.若，則點(diǎn)不存在B.若，則點(diǎn)存在且唯一C.若，則的最小值為1D.的最小值為【答案】ACD【解析】設(shè)的外心為，因，則若點(diǎn)存在，則必在過(guò)且與平面垂直的直線上，而該直線與三棱錐表面交于點(diǎn)，當(dāng)重合時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)重合時(shí)，，不滿足題意.故點(diǎn)不存在，故A正確；因，則為線段的中垂面與線段的中垂面的交線與表面的交點(diǎn)，如圖，有兩個(gè)點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；若點(diǎn)在面上，，故點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上，即.而，故點(diǎn)在橢圓內(nèi)，在空間中將該橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周得到橢球面，則橢球面上任一點(diǎn)都，而，故點(diǎn)在橢球面外，因此與橢球面必有交點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段距離最短，故的最小值為1，故C正確；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則.①若點(diǎn)在坐標(biāo)平面上，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)平面，則，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；②若點(diǎn)平面，平面的法向量為，由得，且，消去整理得因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).綜上，，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)是__________.【答案】【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中第4項(xiàng)系數(shù)是.故答案為：.13.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為為上兩點(diǎn)，軸，為正三角形，則__________.【答案】【解析】延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn).解法一：由題意得，則直線，聯(lián)立方程組整理得，解得.，.解法二：，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性得，.故答案為：214.已知函數(shù)恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】解法一：.，的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn).又函數(shù)定義域?yàn)椋沂巧系钠婧瘮?shù)，只需要考慮在上有一個(gè)零點(diǎn)即可.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的值域是.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，，無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在性定理知，必存在唯一的正數(shù)，使.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；又，，，，在上存在唯一零點(diǎn)，符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.解法二：，是的一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，得，令，.函數(shù)定義域?yàn)椋瑸樯吓己瘮?shù).則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在上有一個(gè)交點(diǎn).由，可得，設(shè)，則.在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.又，，在上的值域?yàn)?，故，即，故?shí)數(shù)的取值范圍是.解法三：令，得，設(shè).，.函數(shù)的定義域?yàn)?，且；函?shù)的定義域?yàn)椋?，與都是上的奇函數(shù)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上恰有一個(gè)交點(diǎn).又函數(shù)在上單調(diào)遞增，.又，，單調(diào)遞減，又，作出函數(shù)與直線的圖象，，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.甲、乙、丙三人各自獨(dú)立投籃，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.（1）請(qǐng)問(wèn)三人中哪一位投籃水平較高？并說(shuō)明理由；（2）現(xiàn)將投籃水平較低的兩人組成一組（記為），與投籃水平較高的人（記為組）進(jìn)行投籃比賽，甲、乙、丙各自獨(dú)立投籃次，且每次投籃的結(jié)果互不影響，投中次數(shù)較多的一組獲勝，求組獲勝的概率.解：（1）丙投籃水平較高，理由如下：設(shè)甲、乙、丙三人各自獨(dú)立投籃投中的概率分別為、、.依題意，得，解得，因?yàn)?，所以，丙投籃水平較高.（2）記組投中次數(shù)為，組投中次數(shù)為，由（1）知，，若組獲勝，則，或，或，，所以，，，.故組獲勝的概率為.16.如圖，在三棱錐中，平面平面平面，且.（1）證明：平面；（2）若三棱錐的外接球半徑為，求二面角的余弦值.（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為平面平面，平面平面平面，又平面平面平面.又平面平面.（2）解：平面，又平面，三棱錐的外接球球心為中點(diǎn)，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，則，故易得平面的一個(gè)法向量為，則故二面角的余弦值為.17.如圖，中，角所對(duì)的邊分別為為邊上一點(diǎn)，，記.（1）若，求證：；（2）若，求的值.（1）證明：，又為等腰直角三角形，，在中，由余弦定理得，又.（2）解：，又在中，由正弦定理，得，即即，，解得，18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）是否存在常數(shù)，使的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值集合.（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）當(dāng)時(shí)，，得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（2）的定義域是，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意的成立，即，化簡(jiǎn)整理得，解得.即存在，使的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).（3）設(shè)，則.在上單調(diào)遞增，對(duì)任意的恒成立，即，且.當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，.由，得.②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，設(shè)，易知在上單調(diào)遞減.存在唯一的，使.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減存在唯一的，使.令，解得由①②，得的取值集合為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，把一個(gè)圖形繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角的圖形變換叫作旋轉(zhuǎn)變換.定點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心，定角叫作旋轉(zhuǎn)角（規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?如果圖形上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫作這個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn).現(xiàn)將曲線繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到新曲線，其變換關(guān)系為，點(diǎn)在曲線上.（1）求曲線的方程并確定點(diǎn)的位置；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)作斜率為2的直線交于另一點(diǎn)，設(shè)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).記的坐標(biāo)為.（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）記為直線與直線的交點(diǎn)，為直線與直線的交點(diǎn)，為直線與直線的交點(diǎn)，證明