高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省泰州市2025屆高三下學期適應性調(diào)研測試（1.5模）數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知a，b為實數(shù)，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，可得且，則由“”可得“”，但是不能由“”得到“”，因為b可能為0，則“”是“”的必要不充分條件．故選：B.2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得,所以，又表示奇數(shù)集合，故選：C.3.若復數(shù)z滿足，則（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】因為則所以故選:B.4.若展開式中的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】A【解析】展開式的通項公式為，令，求得，可得它的常數(shù)項為，.故選：A.5.已知直線與圓相交于A，B兩點，若，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，當弦長時，弦心距，若，則，即，解得，故選：C.6.我國數(shù)學名著《九章算術(shù)》第五卷《商功》中有如下問題：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.問積幾何?”意思是：現(xiàn)有圓臺形的建筑物，下底面圓的周長為3丈，上底面圓的周長為2丈，高為1丈，則它的體積單位：立方丈是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，下底半徑丈，上底半徑(丈)，高丈，所以它的體積立方丈故選：7.在平面內(nèi)，畫出一個四邊形的任何一條邊所在直線，如果整個四邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個四邊形叫做平面凸四邊形.在平面凸四邊形ABCD中，若，，則該四邊形的面積為（）A. B.4 C. D.5【答案】A【解析】由題意，得，，，設與夾角為，則，可得，可得該四邊形的面積為故選：A．8.函數(shù)的定義域為R，其圖象是一條不間斷的曲線，且滿足，函數(shù)的圖象關于點對稱，則下列說法正確的是（）A.為奇函數(shù) B.不一定存在零點C.4是的一個周期 D.【答案】D【解析】因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以的圖象關于點對稱，所以則，即可得，即①，用代替x，則②，由①得，代入②可得：，化簡得，所以4不是周期，C選項錯誤;由，用代，得，結(jié)合，可得，即，所以不是奇函數(shù)，A選項錯誤；由，令得，令得，所以中一定既有正值也有負值，又因為的圖象是一條不間斷的曲線，所以當x變化時，一定存在使得，B選項錯誤；由，，則，所以，由，令，，即，所以，D選項正確.故選：D．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.一個袋子里裝有3個紅球，7個黃球，每次隨機的摸出一個球，摸出的球不再放回.則下列說法正確的是（）A.第二次摸出紅球的概率為B.第一次摸出黃球的條件下，第二次摸出紅球的概率為C.第一次摸出黃球且第二次摸出紅球的概率為D.第三次摸出黃球的概率為【答案】ABD【解析】對于A、第二次摸出紅球分兩種情況：第一次摸出黃球，第二次摸出紅球，其概率為第一次摸出紅球，第二次摸出紅球，其概率為，可得第二次摸出紅球的概率為：，所以選項A正確；對于B、設“第一次摸出黃球”為事件A，“第二次摸出紅球”為事件，由選項A的分析可知，，根據(jù)條件概率公式，所以選項B正確；對于C、由選項A可知，第一次摸出黃球且第一次摸出紅球的概率為，所以選項C錯誤；對于D、因為袋子里共有個球，其中黃球有7個，所以每次摸出黃球的概率都是，即第三次摸出黃球的概率為，所以選項D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)甲：函數(shù)的最小值是；乙：函數(shù)的周期是；丙：函數(shù)的圖象關于對稱;?。海艏?、乙、丙、丁中有且只有一個是錯誤的，則下列結(jié)論正確的是（）A.的值唯一確定B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是D.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象關于對稱【答案】ACD【解析】假設甲錯誤，由乙：函數(shù)的周期，可得，由丙：函數(shù)的圖象關于對稱，則，即，即，即，，得，又因為，此時無解，所以假設不成立.假設乙錯誤，由甲：函數(shù)的最小值是，可得由丙：函數(shù)的圖象關于對稱，則，即，即，①由?。?，即，即，②②-①得：，即，即，，，因為，所以把代入①得：，，，又因為，所以，則，所以的值唯一確定，故A正確；當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；由B可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，故C正確；函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到y(tǒng)的圖象，其關于對稱，故D正確.故選：ACD.11.已知正項數(shù)列滿足，，，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.存在，使得 D.【答案】BC【解析】由，展開可得，移項得到，兩邊同時除以因為是正項數(shù)列，，則，即，所以是等差數(shù)列.已知，設，則，設的公差為d，因為，所以，易知，所以，即，所以，即，解得，所以，所以，所以是遞減數(shù)列，故A錯誤；，故B正確；，所以，令，得，解得，故C正確；設，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當時，，即，所以，所以，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數(shù)字且1，3不相鄰的六位數(shù)的個數(shù)為__________.【答案】480【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將2、4、5、6四個數(shù)全排列，有

種排法，②，四個數(shù)排好后，有5個空位，在5個空位中任選2個，安排1和3，有

種情況，則有個符合題意的六位數(shù).故答案為：.13.如圖，點為橢圓：的左焦點，直線分別與橢圓交于、兩點，且滿足，為坐標原點，，則橢圓的離心率______．【答案】【解析】如圖，設橢圓的另一個焦點為，連接，根據(jù)橢圓的對稱性可得，為平行四邊形，由FA⊥AB，在中,∠ABF＝∠AFO，，得，在中有，,得，，，由橢圓的定義有：，在中：，即化簡整理得:,兩邊同時除以化為：，解得：.所以橢圓的離心率為：故答案為：.14.，，則實數(shù)a的取值范圍為__________.【答案】【解析】，，變形為，即，顯然若，當時，，不等式不成立，故，從而，此時，若，則，故不等式恒成立，故只需考慮的情況.令，則，因，所以，則在上遞增，又時，，，而即，從而時，恒成立，也即時，恒成立，令，則，當時，，在上遞增，當時，，上遞減，則有最大值為，所以，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）在中，已知，若最長邊的長為，求最短邊的長.（2）在中，，點D在BC的延長線上，，，，求AD的長.解：（1）因為，所以，又，所以，所以，，所以，，故c為最長邊，即因為，且A，B為銳角，所以A為最小角，故a為最短邊，由得，且，所以由正弦定理得，即最短邊的長為；（2）在中，由正弦定理得，因為，所以，在中，由余弦定理得，即AD的長為16.某校隨機調(diào)查了100名同學的日運動時間分鐘，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求該100名同學的平均日運動時間;（2）為進一步調(diào)查運動方式，采用分層抽樣從日運動時間在內(nèi)同學中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到日運動時間在內(nèi)的調(diào)查人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.解：（1）由題意得，所以所以該100名同學的平均日運動時間為：分鐘，（2）日運動時間在內(nèi)的同學人數(shù)分別為2，4，4，所以X可取0，1，2，

，，，，所以X的分布列為X0123P數(shù)學期望17.如圖，在空間幾何體ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，點F在線段AP上，（1）求二面角的余弦值;（2）為線段EF上一點，若直線BQ與平面BCP所成角的正弦值為，求線段FQ的長.解：（1）由四邊形PDCE為正方形得，因為平面平面ABCD，平面平面，平面PDCE，，所以平面ABCD，又DA，DC在平面ABCD內(nèi)，所以，，由得，以為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面PBC的一個法向量為，則即取，則，設平面ABP的一個法向量為，則即取，則，所以，因為二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為（2）設，則，因為BQ與平面BCP所成角的正弦值為，所以，解得或，因為，所以，故18.已知雙曲線的左，右頂點分別為A，B，點在雙曲線上.直線QA，QB的斜率分別為，，（1）求雙曲線C的方程;（2）若點P為直線上的一點點P不在x軸上，直線PA與雙曲線C交于另一點(i)記，的面積分別為，，若，求點P的坐標;(ⅱ)若直線PB與雙曲線C交于另一點N，點G是直線MN上一點，，其中O為坐標原點，求線段OG的最大值.解：（1）由題意得，所以，，所以雙曲線C的方程為（2）設，則直線PA的方程為，由，得，當時，有，此時直線PA與雙曲線的漸近線平行，故直線PA與雙曲線只有一個交點，舍去.當時，有，所以，所以，(i)因為，，由，得，所以，即點P的坐標為；(ⅱ)直線PB的方程為，由，得，因為，所以，即，所以，當時，有，所以MN的方程為；當時，直線MN的斜率，所以直線MN的方程為，即，所以直線MN恒過定點，又，所以點G在以HO為直徑的圓上，所以當MN垂直于x軸時，點G與點H重合，所以，所以線段OG的最大值為.19.已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的極值;（2