高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省南京市六校聯合體2024-2025學年高一下學期3月調研考試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，，若向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，解得.故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴.故選：C.3.已知向量，滿足，，，夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在上的投影向量.故選：C.4.在中，若，則是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形【答案】C【解析】由于，故，從而.所以是直角三角形.故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以，解得，，由同角三角函數基本關系得，故D正確.故選：D.6.一艘船在A處，燈塔S在船正北方向，船以100海里/小時的速度向北偏東30°航行，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船南偏西75°方向上．此時燈塔S與船B之間的距離為（）海里A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可作圖如下：在中，，，，，由正弦定理可得，則.故選：A.7.如圖，在直角，，，點，是邊上兩個三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，，在中，.故選：B.8.在中，角所對的邊分別為，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，因為，所以，，所以，因為，由正弦定理得，所以，即，所以，，，由，解得，所以，，所以的范圍是.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.下列化簡結果是的選項為（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，.對于D，，故D不正確.故選：AB.10.下列命題正確的是（）A.在中，是的充要條件B.在中，角所對邊分別為，若，則C.在中，角所對的邊分別為，若三角形有兩解，則的取值范圍為D.在中，，則為銳角三角形【答案】AC【解析】對于A中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，則，所以A正確；對于B中，在中，，由正弦定理知，即，得或.故B不正確；對于C，在中，，若三角形有兩解，則即故C正確；對于D，在中，，由正弦定理得，則，根據余弦定理知，所以是鈍角，故D不正確.故選：AC.11.在中，點分別滿足與相交于點，則下列說法中正確的是（）A.B.若，則C.D.若外接圓的半徑為2，且，則的取值范圍為【答案】AC【解析】對于A，設，因為則，，由共線，得解得，所以，故A正確；對于B，由得，所以，所以，故B不正確；對于C，由知是的中點，所以，，又，所以，所以，，故C正確；對于D，設的三邊分別為，依題意得，由外接圓的半徑為2，根據正弦定理得，所以，由，得或，當時，，故D不正確.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，滿足，，且，則，夾角余弦值為________．【答案】【解析】，解得，所以.13.________．【答案】2【解析】.14.如圖所示，已知點是的重心，過點作直線與、兩邊分別交于、兩點，且，，則________；的最小值為________．【答案】【解析】因為為的重心，延長交于點，則為的中點，且，由重心的幾何性質可知，因為、、三點共線，設，即，所以，，因為，，則，，則，因為、不共線，所以，，，則，，故，即，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，且與的夾角為.（1）求；（2）若向量，求實數的值．解：（1），，所以.（2）由，則，即，，即，或.16.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）由，得.（2）由（1）得.（3）依題意，，由，，得，，而，則，所以.17.如圖，在中，已知，是邊上一點，，，.（1）求的值；（2）求的長；（3）求的面積.解：（1）在中，，，，由余弦定理可得：.（2）因為，所以，所以，在中，，，，由正弦定理可得.（3）在中，，，所以，在中，由正弦定理可得，，所以，18.已知函數．（1）求的周期及在上的值域；（2）已知銳角中，，且的面積為，，求邊上的中線的長．解：（1），，因為，所以，所以，所以在上的值域.（2）因為為銳角三角形，所以，，又，所以，即，因為，所以，在中，由余弦定理得，所以，因為為邊上的中線，所以，所以，所以.即邊上的中線的長為.19.我們知道，三角形中存在諸多特殊位置的點，并且這些特殊點都具備一定的特殊性質.意大利學者托里拆利在研究時發現：在三角形的三邊分別向其外側作等邊三角形，這三個等邊三角形的外接圓交于一點，該點即稱為托里拆利點（以下簡稱“點”）.通過研究發現三角形中的“點”滿足到三角形三個頂點的距離和最小.當的三個內角均小于時，使得的點即為“點”；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為“點”.試用以上知識解決下面問題:已知的內角所對的邊分別為.（1）若，則①求；②若，設點為的“點”，求；（2）若，設點為的“點”，，求實數的最小值.解：（1）①在中，由正弦定理得，，有，，，，，又，；②由①知，則的三個角都小于，由“