2025年高考圓錐曲線專題模擬試題卷及答案解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.已知橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若點$P(2,0)$到橢圓的左、右焦點的距離分別為$c$和$d$，則$c+d$的值為：（1）$2a$（2）$2\sqrt{a^2-b^2}$（3）$2\sqrt{a^2+b^2}$（4）$2a-2\sqrt{a^2-b^2}$2.若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的離心率為$e$，則下列說法正確的是：（1）$e=\frac{c}{a}$（2）$e=\frac{c}$（3）$e=\frac{a}{c}$（4）$e=\frac{c}$3.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\angleF_1PF_2=60^\circ$，則$m^2+n^2$的值為：（1）$a^2+b^2$（2）$a^2-b^2$（3）$a^2+2bc$（4）$a^2-2bc$4.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\angleF_1PF_2=45^\circ$，則$m^2+n^2$的值為：（1）$a^2+b^2$（2）$a^2-b^2$（3）$a^2+2bc$（4）$a^2-2bc$5.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等邊三角形，則$m^2+n^2$的值為：（1）$a^2+b^2$（2）$a^2-b^2$（3）$a^2+2bc$（4）$a^2-2bc$6.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等邊三角形，則$m^2+n^2$的值為：（1）$a^2+b^2$（2）$a^2-b^2$（3）$a^2+2bc$（4）$a^2-2bc$7.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰直角三角形，則$m^2+n^2$的值為：（1）$a^2+b^2$（2）$a^2-b^2$（3）$a^2+2bc$（4）$a^2-2bc$8.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰直角三角形，則$m^2+n^2$的值為：（1）$a^2+b^2$（2）$a^2-b^2$（3）$a^2+2bc$（4）$a^2-2bc$9.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰鈍角三角形，則$m^2+n^2$的值為：（1）$a^2+b^2$（2）$a^2-b^2$（3）$a^2+2bc$（4）$a^2-2bc$10.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰鈍角三角形，則$m^2+n^2$的值為：（1）$a^2+b^2$（2）$a^2-b^2$（3）$a^2+2bc$（4）$a^2-2bc$二、填空題1.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\angleF_1PF_2=30^\circ$，則$m^2+n^2$的值為______。2.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\angleF_1PF_2=45^\circ$，則$m^2+n^2$的值為______。3.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰直角三角形，則$m^2+n^2$的值為______。4.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰直角三角形，則$m^2+n^2$的值為______。5.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰鈍角三角形，則$m^2+n^2$的值為______。6.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰鈍角三角形，則$m^2+n^2$的值為______。7.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰銳角三角形，則$m^2+n^2$的值為______。8.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰銳角三角形，則$m^2+n^2$的值為______。9.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰三角形，則$m^2+n^2$的值為______。10.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰三角形，則$m^2+n^2$的值為______。三、解答題1.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\angleF_1PF_2=30^\circ$，求$m^2+n^2$的值。2.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\angleF_1PF_2=45^\circ$，求$m^2+n^2$的值。3.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰直角三角形，求$m^2+n^2$的值。4.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰直角三角形，求$m^2+n^2$的值。5.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰鈍角三角形，求$m^2+n^2$的值。6.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰鈍角三角形，求$m^2+n^2$的值。7.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰銳角三角形，求$m^2+n^2$的值。8.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰銳角三角形，求$m^2+n^2$的值。9.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰三角形，求$m^2+n^2$的值。10.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\triangleF_1PF_2$是等腰三角形，求$m^2+n^2$的值。四、解答題11.已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，求橢圓的焦距和離心率。12.已知雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$，求雙曲線的實軸長度和虛軸長度。13.已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，求橢圓上到原點距離最短的點的坐標。14.已知雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$，求雙曲線上到原點距離最遠的點的坐標。15.已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，求橢圓的短軸長度和焦距。16.已知雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，求雙曲線的實軸長度和離心率。17.已知橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$，求橢圓的焦距和離心率。18.已知雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，求雙曲線的實軸長度和虛軸長度。19.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，求橢圓上到原點距離最短的點的坐標。20.已知雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$，求雙曲線上到原點距離最遠的點的坐標。五、證明題21.證明：對于任意橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其上任意一點到兩個焦點的距離之和為常數$2a$。22.證明：對于任意雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$），其上任意一點到兩個焦點的距離之差為常數$2a$。23.證明：對于任意橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其上任意一點到原點的距離的最大值為$a+b$，最小值為$a-b$。24.證明：對于任意雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$），其上任意一點到原點的距離的最大值為$a+b$，最小值為$a-b$。25.證明：對于任意橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其上任意一點到短軸的距離的最大值為$b$，最小值為$-b$。26.證明：對于任意雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$），其上任意一點到實軸的距離的最大值為$a$，最小值為$-a$。六、綜合題27.已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，點$P(m,n)$在橢圓上，若$\angleF_1PF_2=45^\circ$，求$m^2+n^2$的值，其中$F_1$和$F_2$分別為橢圓的左、右焦點。28.已知雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$，點$P(m,n)$在雙曲線上，若$\angleF_1PF_2=60^\circ$，求$m^2+n^2$的值，其中$F_1$和$F_2$分別為雙曲線的左、右焦點。29.已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，求橢圓上到原點距離最短的點的坐標，以及該點到原點的距離。30.已知雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1$，求雙曲線上到原點距離最遠的點的坐標，以及該點到原點的距離。31.已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，求橢圓的短軸長度和焦距。32.已知雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，求雙曲線的實軸長度和離心率。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（1）$2a$解析：橢圓的焦距為$2c$，根據橢圓的定義，$c^2=a^2-b^2$，所以$c=\sqrt{a^2-b^2}$。點$P(2,0)$到橢圓的左、右焦點的距離分別為$c$和$d$，因此$c+d=2\sqrt{a^2-b^2}$。2.答案：（1）$e=\frac{c}{a}$解析：雙曲線的離心率定義為$e=\frac{c}{a}$，其中$c$為焦距，$a$為實軸半長。3.答案：（2）$a^2-b^2$解析：根據橢圓的定義，$m^2+n^2=a^2-b^2$，所以$m^2+n^2$的值為$a^2-b^2$。4.答案：（2）$a^2-b^2$解析：根據雙曲線的定義，$m^2+n^2=a^2-b^2$，所以$m^2+n^2$的值為$a^2-b^2$。5.答案：（1）$a^2+b^2$解析：由于$\triangleF_1PF_2$是等邊三角形，根據橢圓的定義，$m^2+n^2=a^2+b^2$。6.答案：（1）$a^2+b^2$解析：由于$\triangleF_1PF_2$是等邊三角形，根據雙曲線的定義，$m^2+n^2=a^2+b^2$。7.答案：（3）$a^2+2bc$解析：由于$\triangleF_1PF_2$是等腰直角三角形，根據橢圓的定義，$m^2+n^2=a^2+2bc$。8.答案：（3）$a^2+2bc$解析：由于$\triangleF_1PF_2$是等腰直角三角形，根據雙曲線的定義，$m^2+n^2=a^2+2bc$。9.答案：（4）$a^2-2bc$解析：由于$\triangleF_1PF_2$是等腰鈍角三角形，根據橢圓的定義，$m^2+n^2=a^2-2bc$。10.答案：（4）$a^2-2bc$解析：由于$\triangleF_1PF_2$是等腰鈍角三角形，根據雙曲線的定義，$m^2+n^2=a^2-2bc$。二、填空題1.$a^2-b^2$2.$a^2-b^2$3.$a^2+b^2$4.$a^2+b^2$5.$a^2-b^2$6.$a^2-b^2$7.$a^2+b^2$8.$a^2+b^2$9.$a^2+b^2$10.$a^2+b^2$三、解答題1.$m^2+n^2=a^2-b^2$2.$m^2+n^2=a^2-b^2$3.$m^2+n^2=a^2+b^2$4.$m^2+n^2=a^2+b^2$5.$m^2+n^2=a^2-b^2$6.$m^2+n^2=a^2-b^2$7.$m^2+n^2=a^2+b^2$8.$m^2+n^2=a^2+b^2$9.$m^2+n^2=a^2+b^2$10.$m^2+n^2=a^2+b^2$四、證明題21.證明：由橢圓的定義，$PF_1+PF_2=2a$，其中$PF_1$和$PF_2$分別為橢圓上任意一點到兩個焦點的距離。因此，對于任意橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其上任意一點到兩個焦點的距離之和為常數$2a$。22.證明：由雙曲線的定義，$|PF_1-PF_2|=2a$，其中$PF_1$和$PF_2$分別為雙曲線上任意一點到兩個焦點的距離。因此，對于任意雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$），其上任意一點到兩個焦點的距離之差為常數$2a$。23.證明：設橢圓上任意一點為$P(