一、函數與方程思想1/26思想解讀思想解讀應用類型函數思想,就是用運動和改變觀點,分析和研究數學中數量關系,建立函數關系或結構函數,利用函數圖象和性質去分析問題、轉化問題,從而使問題取得處理數學思想.方程思想,就是分析數學問題中變量間等量關系,建立方程或方程組,或者結構方程,經過解方程或方程組,或者利用方程性質去分析、轉化問題,使問題取得處理數學思想.處理圖象交點或方程根問題;處理最值或范圍問題;處理與不等式相關問題;處理與數列相關問題;處理與解析幾何、立體幾何相關問題.2/26總綱目錄應用一

處理圖象交點或方程根問題應用二處理最值或范圍問題應用三處理與不等式相關問題應用四處理與數列相關問題應用五處理與解析幾何、立體幾何相關問題3/26應用一

處理圖象交點或方程根問題例1設f(x)是定義在R上偶函數,對任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),且當x

∈[-2,0]時,f(x)=

-6.若在區間(-2,6]內關于x方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個不一樣實數根,則實數a取值范圍是

.答案(

,2)解析由f(x+4)=f(x)得函數f(x)周期為4,若x∈[0,2],則-x∈[-2,0],則f(-x)=

-6=3x-6,因為f(x)是偶函數,所以f(-x)=3x-6=f(x),即f(x)=3x-6,x∈[0,2],設g(x)=loga(x+2),作出函數f(x)、g(x)圖象如圖.4/26當a>1時,方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3個不一樣實數根,等價于函數f(x)與g(x)=loga(x+2)有3個不一樣交點,則滿足

即解得

<a<2,故a取值范圍是(

,2).【技法點評】

利用函數與方程思想處理交點或方程根問題思緒(1)應用方程思想把函數圖象交點問題轉化為方程根問題,應用函數

思想把方程根問題轉化為函數零點問題.(2)含參數方程問題普通經過直接結構函數或分離參數化為函數問題處理.5/26函數f(x)=

零點個數為

()A.2

B.3

C.4

D.5答案

D當x≤0時,令ex+x2-1=0,則ex=1-x2,令g(x)=ex,h(x)=1-x2,作出兩函數圖象(如圖1),圖象有兩個交點,即ex+x2-1=

0有兩個解.

跟蹤集訓圖16/26當x>0時,f(x)=

x3-2x2+3x-1,則f'(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),∴x=3,x=1是函數f(x)極值點,又f(1)=

,f(3)=-1,在(0,+∞)上f(x)大致圖象如圖2所表示.

圖2∴f(x)圖象與x軸在x∈(0,+∞)上有3個交點.綜上,函數f(x)零點個數為5.故選D.7/26應用二

處理最值或范圍問題例2已知a,b,c為平面上三個向量,又a,b是兩個相互垂直單位向量,向

量c滿足|c|=3,c·a=2,c·b=1,則對于任意實數x,y,|c-xa-yb|最小值為

.答案2解析由題意可知|a|=|b|=1,a·b=0,又|c|=3,c·a=2,c·b=1,所以|c-xa-yb|2=|c|2+x2|a|2+y2|b|2-2xc·a-2yc·b+2xya·b=9+x2+y2-4x-2y=(x-2)2+(y-1)2+4,當且僅當x=2,y=1時,(|c-xa-yb|2)min=4,所以|c-xa-yb|最小值為2.8/26【技法點評】

求最值或參數范圍技巧(1)充分挖掘題設條件中不等關系,構建以待求字母為元不等式(組)

求解.(2)充分應用題設中等量關系,將待求參數表示成其它變量函數,然后應用函數知識求解.(3)當問題中出現兩數積與這兩數和時,應構建一元二次方程,再利用方

程知識使問題巧妙處理.(4)當問題中出現多個變量時,往往要利用等量關系去降低變量個數.9/26跟蹤集訓(湖南五市十校聯考)圓錐母線長為L,過頂點最大截面面積

為

L2,則圓錐底面半徑與母線長比

取值范圍是

()A.0<

<

B.

≤

<1C.0<

<

D.

≤

<1答案

D設過頂點截面頂角為θ,則過頂點截面面積S=

L2sin

θ≤

L2,sinθ≤1,當截面為等腰直角三角形時取最大值,故圓錐過頂點截面頂角必須大于或等于90°,得L>r≥Lcos45°=

L,所以

≤

<1.10/26應用三

處理與不等式相關問題例3關于x不等式ex-

-1-

x≥0在x∈

上恰成立,則a取值集合為

.答案{2

}解析關于x不等式ex-

-1-

x≥0在x∈

上恰成立?函數g(x)=

在

上值域為

.因為g'(x)=

.11/26令φ(x)=ex(x-1)-

x2+1,x∈

,則φ'(x)=x(ex-1).因為x≥

,所以φ'(x)≥0,故φ(x)在

上單調遞增,所以φ(x)≥φ

=

-

>0.所以g'(x)>0,故g(x)在

上單調遞增,則g(x)≥g

=

=2

-

,所以a-

=2

-

,解得a=2

.所以a取值集合為{2

}.12/26【技法點評】

處理不等式問題方法及注意點(1)在處理不等式恒成立問題時,一個最主要思想方法就是結構適當

函數,利用函數圖象和性質處理問題.(2)要注意在一個含多個變量數學問題中,需要確定適當變量和參

數,從而揭示函數關系,使問題更明朗化,普通地,已知存在范圍量為變量,而待求范圍量為參數.13/26跟蹤集訓1.函數f(x)定義域為R,f(-1)=2,對任意x∈R,f'(x)>2,則f(x)>2x+4解集

為

()A.(-1,1)

B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)

D.(-∞,+∞)答案

B設g(x)=f(x)-2x-4,則g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,g'(x)=f'(x)-2>0,則g

(x)為增函數.解g(x)>0,即g(x)>g(-1),得x>-1,選B.14/262.若0<x1<x2<1,則

()A.

-

>lnx2-lnx1

B.

-

<lnx2-lnx1C.x2

>x1

D.x2

<x1

答案

C設f(x)=ex-lnx(0<x<1),則f‘(x)=ex-

=

,令f'(x)=0,得xex-1=0.依據函數y=ex與y=

圖象可知兩函數圖象交點x0∈(0,1),所以函數f(x)在(0,1)上不是單調函數,故A,B選項不正確.設g(x)=

(0<x<1),則g‘(x)=

.又0<x<1,∴g'(x)<0.∴函數g(x)在(0,1)上是減函數.又0<x1<x2<1,∴g(x1)>g(x2),∴x2

>x1

.故選C.15/26應用四

處理與數列相關問題例4已知數列{an}是各項均為正數等差數列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比數列,求數列{an}通項公式an;(2)在(1)條件下,數列{an}前n項和為Sn,設bn=

+

+…+

,若對任意n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求實數k最小值.16/26解析(1)因為{an}是正項等差數列,所以d≥0,由題意知

=a2·(a4+1),又a1=2,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),解得d=2或d=-1(舍去),所以數列{an}通項公式an=2n.(2)易知Sn=n(n+1),則bn=

+

+…+

=

+

+…+

=

-

+

-

+…+

-

=

-

17/26=

=

,令f(x)=2x+

(x≥1),則f'(x)=2-

,當x≥1時,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上是增函數,故當x=1時,f(x)min=f(1)=3,即當n=1時,(bn)max=

,要使對任意正整數n,不等式bn≤k恒成立,則須使k≥(bn)max=

,所以實數k最小值為

.18/26【技法點評】數列最值問題中應用函數與方程思想常見類型:(1)數列中恒成立問題,轉化為最值問題,利用函數單調性或不等式

求解.(2)數列中最大項與最小項問題,利用函數相關性質或不等式組

(n≥2,n∈N*)求解.(3)數列中前n項和最值:轉化為二次函數,借助二次函數單調性或求

使an≥0(an≤0)成立時最大n值即可求解.19/26跟蹤集訓(長沙統一模擬考試)已知數列{an}為等差數列,其中a2+a3=8,a5=3a2.(1)求數列{an}通項公式;(2)記bn=

,設{bn}前n項和為Sn.求最小正整數n,使得Sn>

.解析(1)設等差數列{an}公差為d,依題意有

解得a1=1,d=2,從而{an}通項公式為an=2n-1.(2)因為bn=

=

-

,所以Sn=

+

+…+

=1-

,令1-

>

,解得n>1008,故n=1009.20/26應用五

處理與解析幾何、立體幾何相關問題例5設橢圓中心在坐標原點,A(2,0),B(0,1)是它兩個頂點,直線y=kx

(k>0)與直線AB相交于點D,與橢圓相交于E,F兩點.(1)若

=6

,求k值;(2)求四邊形AEBF面積最大值.解析(1)由題設條件可得,橢圓方程為

+y2=1,直線AB方程為x+2y-2=0.設D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,由

得(1+4k2)x2=4,解得x2=-x1=

.①由

=6

得x0-x1=6(x2-x0),21/26∴x0=

(6x2+x1)=

x2=

.由D在AB上,得x0+2kx0-2=0,∴x0=

.∴

=

,化簡,得24k2-25k+6=0,解得k=

或k=

.(2)依據點到直線距離公式和①式可知,點E,F到AB距離分別為d1=

=

,d2=

=

,又|AB|=

=

,22/26∴四邊形AEBF面積為S=

|AB|(d1+d2)=

·

·

=

=2

=2

=2

≤2

=2

,當且僅當4k=

(k>0),即k=

時,等號成立.故四邊形AEBF面積最大值為2

.【技法點評】解析幾何中最值是高考熱點,在圓錐曲線綜合問

題中經常出現,求解這類問題普通思緒為在深刻認識運動改變過程

之中,抓住函數關系,將目標量表示為一個(或者多個)變量函數,然后

借助于函數最值探求來使問題得以處理.23/26跟蹤集訓1.(湖南,10,5分)某工件三視圖如圖所表示,現將該工件