九年級數學下冊第二章二次函數4二次函數的應用第1課時利用二次函數解決面積問題和拋物線形問題教學設計（新版）北師大版主備人備課成員教學內容分析同學們，咱們今天來聊聊九年級數學下冊第二章“二次函數4二次函數的應用”中的第一課時——利用二次函數解決面積問題和拋物線形問題。這節課，我們要把二次函數的威力發揮到極致，用它來解決生活中的實際問題。別看它有點難度，但只要我們掌握了方法，就能輕松應對。接下來，我們就來一起走進這個奇妙的數學世界吧！??核心素養目標本節課旨在培養學生的數學建模、邏輯推理、數學運算和直觀想象等核心素養。通過二次函數解決實際問題的過程，學生將學會如何將實際問題轉化為數學模型，運用數學知識進行邏輯推理和運算，同時提升對幾何圖形的直觀理解和空間想象能力。這樣的學習經歷將有助于學生形成科學探究和創新思維的習慣。學習者分析1.學生已經掌握的知識：

進入九年級的學生們，在之前的學習中已經對二次函數有了初步的了解，掌握了二次函數的基本性質，包括頂點坐標、對稱軸以及開口方向等。此外，他們還學習了如何根據二次函數的解析式繪制圖像，以及如何利用二次函數解決一些簡單的實際問題。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

學生們對于數學的興趣參差不齊，但普遍對解決實際問題比較感興趣。他們的數學能力也在逐步提升，能夠進行一定的邏輯推理和數學運算。在學習風格上，有的學生更傾向于通過直觀圖形來理解數學概念，而有的學生則更偏向于通過公式和計算來解決問題。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

在利用二次函數解決面積問題和拋物線形問題時，學生可能會遇到以下困難和挑戰：一是將實際問題轉化為二次函數模型的能力，這需要學生對實際問題有深入的理解和對二次函數性質的熟練掌握；二是解決復雜問題時可能出現的計算錯誤，這要求學生在計算過程中保持細心和耐心；三是對于拋物線與幾何圖形交點問題的處理，這需要學生對拋物線性質和幾何知識有較好的融合應用能力。針對這些挑戰，教師需要提供適當的指導和練習，幫助學生逐步克服。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學方法與手段1.講授法：通過系統講解二次函數的性質和應用，幫助學生建立知識框架，同時結合實例分析，使抽象的數學概念具體化。

2.討論法：組織學生分組討論，針對實際問題提出解決方案，鼓勵學生表達自己的想法，培養他們的合作能力和批判性思維。

3.實驗法：利用幾何畫板等軟件，讓學生動手操作，直觀地觀察二次函數圖像的變化，加深對函數性質的理解。

教學手段

1.多媒體展示：利用PPT展示二次函數圖像，動態演示函數的變化，提高學生的直觀感受。

2.教學軟件輔助：借助幾何畫板等教學軟件，讓學生通過拖動圖形來探究二次函數的性質，增強互動性。

3.實物教具：使用模型或實物，如拋物線形狀的物體，幫助學生更好地理解二次函數在現實世界中的應用。教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發布預習任務：通過在線平臺或班級微信群，發布預習資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預習目標和要求。例如，要求學生預習二次函數的基本性質和圖像特征。

-設計預習問題：圍繞“二次函數在解決面積問題中的應用”，設計一系列具有啟發性和探究性的問題，如“如何利用二次函數計算拋物線與x軸所圍成的面積？”

-監控預習進度：利用平臺功能或學生反饋，監控學生的預習進度，確保預習效果。例如，通過查看學生提交的預習筆記或思維導圖來了解預習情況。

學生活動：

-自主閱讀預習資料：按照預習要求，自主閱讀預習資料，理解二次函數的基本性質和圖像特征。

-思考預習問題：針對預習問題，進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。例如，學生可能會思考如何將實際問題轉化為二次函數模型。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：引導學生自主思考，培養自主學習能力。

-信息技術手段：利用在線平臺、微信群等，實現預習資源的共享和監控。

作用與目的：

-幫助學生提前了解二次函數在解決面積問題中的應用，為課堂學習做好準備。

-培養學生的自主學習能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導入新課：通過展示實際生活中的拋物線形狀物體（如鍋蓋）的圖片，引出“二次函數在解決面積問題中的應用”課題，激發學生的學習興趣。

-講解知識點：詳細講解如何將實際問題轉化為二次函數模型，并結合實例講解如何計算面積。

-組織課堂活動：設計小組討論，讓學生根據提供的圖形和數據，計算拋物線與x軸所圍成的面積。

學生活動：

-聽講并思考：認真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：積極參與小組討論，嘗試將實際問題轉化為二次函數模型。

教學方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細講解，幫助學生理解二次函數在解決面積問題中的應用。

-實踐活動法：設計實踐活動，讓學生在實踐中掌握解決面積問題的技能。

作用與目的：

-幫助學生深入理解二次函數在解決面積問題中的應用，掌握相關技能。

-通過實踐活動，培養學生的動手能力和解決問題的能力。

3.課后拓展應用

教師活動：

-布置作業：布置一些涉及二次函數解決面積問題的題目，如計算不同形狀的拋物線與坐標軸圍成的面積。

-提供拓展資源：推薦一些與二次函數相關的學習網站和書籍，供學生進一步學習。

學生活動：

-完成作業：認真完成老師布置的作業，鞏固學習效果。

-拓展學習：利用老師提供的拓展資源，進行進一步的學習和思考。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：引導學生自主完成作業和拓展學習。

-反思總結法：引導學生對自己的學習過程和成果進行反思和總結。

作用與目的：

-鞏固學生在課堂上學到的二次函數在解決面積問題中的應用知識點和技能。

-通過拓展學習，拓寬學生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結，幫助學生發現自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。教學資源拓展1.拓展資源

（1）二次函數的實際應用案例

-工程設計中的拋物線橋面設計：介紹拋物線在工程設計中的應用，如如何通過二次函數計算橋面的最大跨度、最小高度等。

-房地產市場分析：探討如何利用二次函數分析房價隨時間變化的趨勢，預測未來房價走勢。

-農業生產中的應用：介紹如何利用二次函數模型分析農作物產量與種植面積、施肥量等因素之間的關系。

（2）二次函數的數學性質

-頂點坐標和對稱軸：探討二次函數頂點坐標和對稱軸的幾何意義，以及它們與函數圖像的關系。

-函數圖像的開口方向和形狀：分析二次函數開口方向和形狀對函數圖像的影響，以及如何根據函數圖像判斷開口方向和形狀。

-函數圖像的漸近線：介紹二次函數圖像的漸近線概念，以及如何判斷二次函數的漸近線。

（3）二次函數的圖像變換

-平移變換：探討二次函數圖像的平移變換，包括上下左右平移，以及如何根據變換后的圖像確定原函數。

-縮放變換：分析二次函數圖像的縮放變換，包括水平縮放和垂直縮放，以及如何根據變換后的圖像確定原函數。

2.拓展建議

（1）實際案例學習

-鼓勵學生關注實際生活中的二次函數應用，如工程、經濟、生物等領域，通過收集相關資料，了解二次函數在這些領域的應用。

-組織學生參觀相關企業或機構，實地了解二次函數在實際問題中的應用。

（2）數學性質探究

-引導學生深入探討二次函數的數學性質，如頂點坐標、對稱軸、開口方向等，通過數學推導和圖像分析，加深對二次函數性質的理解。

-設計數學競賽或研究性學習項目，讓學生在探究過程中培養自己的數學思維和創新能力。

（3）圖像變換研究

-指導學生研究二次函數圖像的平移變換和縮放變換，通過繪制變換后的函數圖像，理解變換對函數圖像的影響。

-組織學生進行二次函數圖像變換的實踐操作，如使用計算機軟件繪制變換后的函數圖像，加深對變換的理解。

（4）拓展閱讀材料

-推薦一些與二次函數相關的書籍和文章，如《數學之美》、《幾何學原理》等，幫助學生拓展知識面。

-引導學生閱讀數學史相關書籍，了解二次函數的發展歷程，激發學生對數學的興趣。

（5）在線學習資源

-引導學生利用網絡資源，如在線課程、教育平臺等，學習二次函數的相關知識。

-組織學生參加在線數學競賽或挑戰活動，提高學生的數學素養和解決問題的能力。板書設計①重點知識點：

-二次函數的標準形式：y=ax^2+bx+c

-頂點坐標公式：(-b/2a,4ac-b^2/4a)

-對稱軸：x=-b/2a

-開口方向：a>0時開口向上，a<0時開口向下

-頂點坐標與a、b、c的關系

②重點詞句：

-二次函數圖像的頂點位置決定了拋物線的開口方向和形狀

-頂點坐標是二次函數圖像的最高點或最低點

-對稱軸是拋物線的對稱軸，也是圖像的中軸線

-當a=0時，函數退化為一次函數

③教學步驟：

-引入二次函數概念，展示標準形式

-講解二次函數的圖像特點，包括頂點、對稱軸、開口方向

-利用實例展示如何求頂點坐標和對稱軸

-通過圖形演示，讓學生直觀理解二次函數的性質

-練習題：應用二次函數解決實際問題，如計算拋物線與坐標軸所圍成的面積重點題型整理1.題型一：求二次函數的頂點坐標

-題目：已知二次函數y=-2x^2+4x+1，求該函數的頂點坐標。

-解答：首先，根據頂點坐標公式，我們有：

x=-b/2a=-4/(2*(-2))=1

y=4ac-b^2/4a=4*(-2)*1-4^2/(4*(-2))=1

因此，頂點坐標為(1,1)。

2.題型二：求二次函數與x軸的交點

-題目：已知二次函數y=x^2-6x+9，求該函數與x軸的交點。

-解答：由于該函數可以因式分解為(y=(x-3)^2)，因此與x軸的交點為x=3。所以交點坐標為(3,0)。

3.題型三：求二次函數與y軸的交點

-題目：已知二次函數y=2x^2-8x+6，求該函數與y軸的交點。

-解答：二次函數與y軸的交點發生在x=0時，將x=0代入函數得：

y=2*0^2-8*0+6=6

因此，交點坐標為(0,6)。

4.題型四：利用二次函數解決實際問題——計算面積

-題目：一個長方形的長是x米，寬是x+2米，長方形的面積是16平方米，求長方形的長和寬。

-解答：長方形的面積公式為長乘以寬，即x(x+2)=16。解這個方程得到x的兩個可能值，然后分別計算長和寬。

5.題型五：利用二次函數解決實際問題——優化問題

-題目：一個工廠生產某種產品，每天的生產成本是