高中PAGE1試題2023-2024學年北京市十一學校高一（下）期中數學試卷一、選擇題（共12道小題，每題5分，共60分），請將答案填寫到答題卡規定的位置1．（5分）已知tanθ=13，則A．9+10217 B．12 2．（5分）在△ABC中，A＝45°，C＝60°，a＝10，則c＝（）A．56 B．5 C．52 3．（5分）在△ABC中，cosA=35，則A．55 B．255 C．?4．（5分）已知tanα＝2，則sin2α+sin2α＝（）A．25 B．45 C．655．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝23，AB＝2，則BC＝（）A．1 B．3 C．4 D．26．（5分）函數①f（x）＝sinx+cosx，②f（x）＝sinxcosx，③f(x)=2cos2(x+A．①② B．② C．③ D．②③7．（5分）函數y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．y=2sin(2x+5π6) C．y=2sin(2x+π6)8．（5分）已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為c2?aA．π6 B．π4 C．π29．（5分）設函數f(x)=cos(ωx?π6)(ω＞0)．若f(A．13 B．12 C．2310．（5分）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點．則EB→A．34AB→?14AC→ 11．（5分）在△ABC中，A=π4，則“sinB＜2A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．（5分）已知f（x）＝3sin（2x+φ）（φ∈R）既不是奇函數也不是偶函數，若y＝f（x+m）為奇函數，y＝f（x+n）為偶函數，則|m|+|n|的最小值為（）A．π B．π2 C．π4 二、填空題（共6個小題，每題5分，共30分），請將答案填寫到答題卡規定的位置13．（5分）函數y＝tan（2x+π3）的遞增區間是14．（5分）已知向量a→，b→共線，且|15．（5分）能使“cos（α+β）＝cosα+cosβ”成立的一組α，β的值可以為．16．（5分）已知函數y＝sin（2x+φ）(?π3＜φ＜π2)的圖象關于直線x17．（5分）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，若cosα=12，則cos（α﹣β）＝18．（5分）如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1km．求B，D的距離．三、解答題（五個大題，一共60分），請將答案填寫到答題卡規定的位置19．（10分）已知cosα=?4（1）sinα，cosβ的值；（2）sin（α+β）和tan2α的值．20．（12分）已知函數f(x)=sin(2x?π（1）求m的值；（2）求函數f（x）在[0，4π（3）下表是應用“五點法”進行的列表，請填寫表中缺失的數據．xπ35π62x?π0π2π3π22πsin(2x?π010﹣10y12121221．（12分）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝26，CD=6，cosA=63，cos∠（1）求cos∠ABD；（2）求BC的長．22．（14分）已知函數f(x)=cosx(23（1）求函數f（x）的單調遞增區間和最小正周期；（2）填寫由函數y＝2sinx的圖像變換得到f（x）的圖像的過程：先將y＝2sinx圖像上的所有點_____，得到y=2sin(x+π再把y=2sin(x+π6)（3）若當x∈[0，π2]時，關于x的不等式f（x）≥m請選擇①和②中的一個條件，補全問題（3），并求解．其中，①有解；②恒成立．23．（12分）在△ABC中，c＝2bcosB，∠C=2π（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）在條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求BC邊上的中線的長．條件①c=2b條件②△ABC的周長為4+23；條件③△ABC的面積為33注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．

2023-2024學年北京市十一學校高一（下）期中數學試卷參考答案與試題解析題號1234567891011答案CABDDDCDCAA題號12答案C一、選擇題（共12道小題，每題5分，共60分），請將答案填寫到答題卡規定的位置1．（5分）已知tanθ=13，則A．9+10217 B．12 【分析】由已知結合兩角和的正切公式即可求解．【解答】解：因為tanθ=1則tan(θ+π故選：C．【點評】本題主要考查了兩角和的正切公式的應用，屬于基礎題．2．（5分）在△ABC中，A＝45°，C＝60°，a＝10，則c＝（）A．56 B．5 C．52 【分析】直接利用正弦定理求解．【解答】解：由正弦定理可得，asinA所以10sin45°解得c＝56．故答案為：A．【點評】本題主要考查了正弦定理的應用，屬于基礎題．3．（5分）在△ABC中，cosA=35，則A．55 B．255 C．?【分析】由已知結合二倍角公式進行化簡即可求解．【解答】解：△ABC中，cosA=35=2cos所以cosA故選：B．【點評】本題主要考查了二倍角公式的應用，屬于基礎題．4．（5分）已知tanα＝2，則sin2α+sin2α＝（）A．25 B．45 C．65【分析】利用同角三角函數基本關系式化弦為切求解．【解答】解：∵tanα＝2，∴sin2α+sin2α==ta故選：D．【點評】本題考查三角函數的化簡求值，考查同角三角函數基本關系式的應用，是基礎題．5．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝23，AB＝2，則BC＝（）A．1 B．3 C．4 D．2【分析】根據題意利用余弦定理，可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，代入數據得到關于BC的方程，解之可得BC的長．【解答】解：根據余弦定理，可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即12＝4+BC2+2BC，整理得BC2+2BC﹣8＝0，解得BC＝2（BC＝﹣4不符合題意，舍去）．故選：D．【點評】本題主要考查利用余弦定理解三角形，考查了計算能力，屬于基礎題．6．（5分）函數①f（x）＝sinx+cosx，②f（x）＝sinxcosx，③f(x)=2cos2(x+A．①② B．② C．③ D．②③【分析】由已知結合三角函數的周期性及奇偶性檢驗各選項即可判斷．【解答】解：①f（x）＝sinx+cosx為非奇非偶函數，不符合題意；②f（x）＝sinxcosx=12sin2x為奇函數且周期為③f(x)=2cos2(x+π4)?1=cos（2x故選：D．【點評】本題主要考查了三角函數的周期性及奇偶性的判斷，屬于基礎題．7．（5分）函數y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．y=2sin(2x+5π6) C．y=2sin(2x+π6)【分析】由題意可知，A、T利用T求出ω，利用（π6，2）再求【解答】解：由圖象可知，A＝2，T2=2π3?π6函數y＝Asin（ωx+φ）＝2sin（2x+φ），當x=π6時，因為2sin（π3+φ）＝2，|φ|＜π故選：C．【點評】本題考查由函數y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定解析式，考查學生分析問題和解決問題的能力，是基礎題．8．（5分）已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為c2?aA．π6 B．π4 C．π2【分析】直接利用余弦定理和三角函數的值的應用求出結果．【解答】解：△ABC的面積為c2所以12整理得tanC＝﹣1；由于0＜C＜π；故C=3π故選：D．【點評】本題考查的知識要點：余弦定理和三角函數的值，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題．9．（5分）設函數f(x)=cos(ωx?π6)(ω＞0)．若f(A．13 B．12 C．23【分析】根據余弦函數的圖象以及性質可解．【解答】解：函數f(x)=cos(ωx?π6)(ω＞0)則π4ω?π6=2kπ則ω=23+8k，k則ω的最小值為23故選：C．【點評】本題考查余弦函數的圖象以及性質，屬于中檔題．10．（5分）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點．則EB→A．34AB→?14AC→ 【分析】由已知結合向量的線性表示及向量的基本定理即可求解．【解答】解：因為△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，所以EB→故選：A．【點評】本題主要考查了平面向量基本定理及向量的線性表示，屬于基礎題．11．（5分）在△ABC中，A=π4，則“sinB＜2A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】先解三角不等式，再結合充分必要條件判斷即可．【解答】解：在△ABC中，由sinB＜22，則0＜B＜π又A=π則0＜B＜π即C=π?A?B＞π即△ABC是鈍角三角形，由△ABC是鈍角三角形，當B=2π3時，sinB即“△ABC是鈍角三角形”不能推出“sinB＜2即“sinB＜22”是“△故選：A．【點評】本題考查了三角不等式的解法，重點考查了充分必要條件，屬基礎題．12．（5分）已知f（x）＝3sin（2x+φ）（φ∈R）既不是奇函數也不是偶函數，若y＝f（x+m）為奇函數，y＝f（x+n）為偶函數，則|m|+|n|的最小值為（）A．π B．π2 C．π4 【分析】利用函數的奇偶性，結合誘導公式及正弦函數的性質分析計算得解．【解答】解：依題意，φ≠kπ且φ≠kπ+π2，k∈Z，函數f（x）的最小正周期T＝可設φ0滿足φ0∈(0，π2)∪(π2，π)且φ＝2tπ則f（x）＝3sin（2x+φ0）．注意到五點法的最左段端點是(?φ02由y＝f（x+m）為奇函數，y＝f（x+n）為偶函數，可得|m|=min(|?φ當φ0∈(0，π此時|m|+|n|=π當φ0∈(π2，π)時．此時|m|=π?φ0故選：C．【點評】本題考查了y＝Asin（ωx+φ）的奇偶性以及對稱性的綜合應用，屬中檔題．二、填空題（共6個小題，每題5分，共30分），請將答案填寫到答題卡規定的位置13．（5分）函數y＝tan（2x+π3）的遞增區間是（kπ2?5π12，kπ【分析】由條件利用正切函數的單調性求得函數y＝tan（2x+π【解答】解：對于函數y＝tan（2x+π3），令kπ?π2＜2x+π3＜求得kπ2?5π12＜x＜kπ2+π故答案為：（kπ2?5π12，kπ2【點評】本題主要考查正切函數的單調性，屬于基礎題．14．（5分）已知向量a→，b→共線，且|【分析】結合共線向量的運算求解．【解答】解：已知向量a→，b當向量a→則a→則|a當向量a→則a→則|a故答案為：3或1．【點評】本題考查了共線向量的運算，屬基礎題．15．（5分）能使“cos（α+β）＝cosα+cosβ”成立的一組α，β的值可以為α=?π3【分析】根據給定的等式，寫出一組α，β的值并代入驗證作答．【解答】解：取α=?π3，β=π3，則cos（α因此cos（α+β）＝cosα+cosβ成立．故答案為：α=?π【點評】本題主要考查了和差角公式的應用，屬于基礎題．16．（5分）已知函數y＝sin（2x+φ）(?π3＜φ＜π2)的圖象關于直線x=π【分析】根據正弦函數的對稱性建立方程關系進行求解即可．【解答】解：∵函數y＝sin（2x+φ）(?π3＜φ＜π∴2×π3+φ＝kπ+π2，k∈Z，即φ∵?π3＜∴當k＝0時，φ=?π故答案為：?π【點評】本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用正弦函數的對稱性建立方程關系是解決本題的關鍵，屬于基礎題．17．（5分）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，若cosα=12，則cos（α﹣β）＝1【分析】由已知結合三角函數的定義，誘導公式及二倍角公式進行化簡即可求解．【解答】解：因為角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，若cosα=12，則β＝π﹣α+2kπ，k∈cosβ＝﹣cosα=?1cos（α﹣β）＝cos（2α﹣π﹣2kπ）＝﹣cos2α＝1﹣2cos2α＝1﹣2×1故答案為：12【點評】本題主要考查了三角函數定義的應用，屬于基礎題．18．（5分）如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1km．求B，D的距離32+6【分析】在△ACD中，∠DAC＝30°推斷出CD＝AC，同時根據CB是△CAD底邊AD的中垂線，判斷出BD＝BA，進而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．【解答】解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°﹣∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1．又∠BCD＝180﹣60°﹣60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA，在△ABC中，ABsin∠BCAsin215°=1?cos30°2，可得sin15°即AB=ACsin60°因此，BD=3故B、D的距離約為32+故答案為：32+【點評】本題主要考查了解三角形的實際應用．關鍵是將實際問題轉化為解三角形的問題解答；考查學生分析問題解決問題的能力．綜合運用基礎知識的能．三、解答題（五個大題，一共60分），請將答案填寫到答題卡規定的位置19．（10分）已知cosα=?4（1）sinα，cosβ的值；（2）sin（α+β）和tan2α的值．【分析】（1）由已知結合同角平方關系即可求解；（2）由已知結合和差角公式及二倍角公式即可求解．【解答】解：（1）因為cosα=?4所以sinα=35，cosβ（2）sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα=35×(?1213由（1）得，tanα=sinα則tan2α=2tanα【點評】本題主要考查了同角基本關系，和差角公式，二倍角公式的應用，屬于基礎題．20．（12分）已知函數f(x)=sin(2x?π（1）求m的值；（2）求函數f（x）在[0，4π（3）下表是應用“五點法”進行的列表，請填寫表中缺失的數據．xπ35π62x?π0π2π3π22πsin(2x?π010﹣10y121212【分析】（1）將點的坐標代入函數解析式，結合特殊角的三角函數值求解即可；（2）由（1）得函數的解析式，令f（x）＝0，結合x的取值范圍求解即可；（3）根據“五點法”及特殊角的三角函數值填表即可．【解答】解：（1）因為函數f(x)=sin(2x?π所以f（0）＝sin（?π6）+m=?所以m=1（2）由（1）得f（x）＝sin（2x?π6）由f（x）＝sin（2x?π6）即sin（2x?π6）=?12，解得x＝kπ，k∈Z，或x=2π3+因為x∈[0，4π3]，所以x＝0，2π故f（x）在[0，4π3]上的零點為0，2π（3）根據“五點法”填表如下，xπ12π37π125π613π122x?π0π2π3π22πsin(2x?π010﹣10y123212?112【點評】本題主要考查特殊角的三角函數值，考查三角函數的性質，屬于基礎題．21．（12分）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝26，CD=6，cosA=63，cos∠（1）求cos∠ABD；（2）求BC的長．【分析】（1）由已知利用同角三角函數基本關系式可求sinA，sin∠ADB的值，由于∠ABD＝π﹣（A+∠ADB），利用誘導公式，兩角和的余弦公式即可求解；（2）由已知及正弦定理可求出BD的值，在△BCD中，利用余弦定理即可求出BC的值．【解答】解：（1）因為AB∥CD，cosA=63，cos∠ADB所以sinA=1?cos2A=可得cos∠ABD＝cos[π﹣（A+∠ADB）]＝﹣cos（A+∠ADB）＝sinAsin∠ADB﹣cosAcos∠ADB=3（2）由已知及正弦定理BDsinA=ABsin∠ADB，可得由于cos∠BDC＝cos∠ABD=69，CD在△BCD中，由余弦定理可得BC=C【點評】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，誘導公式，兩角和的余弦公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了數形結合思想和轉化思想，屬于中檔題．22．（14分）已知函數f(x)=cosx(23（1）求函數f（x）的單調遞增區間和最小正周期；（2）填寫由函數y＝2sinx的圖像變換得到f（x）的圖像的過程：先將y＝2sinx圖像上的所有點_____，得到y=2sin(x+π再把y=2sin(x+π6)（3）若當x∈[0，π2]時，關于x的不等式f（x）≥m請選擇①和②中的一個條件，補全問題（3），并求解．其中，①有解；②恒成立．【分析】（1）根據三角函數的性質即可求解；（2）結合正弦函數的平移變換及周期變換即可求解；（3）若選擇①，則不等式f（x）≥m有解，即m≤f（x）max，求f（x）在[0，π2]上的最大值，即可求解；若選擇②，則不等式f（x）≥m恒成立，即m≤f（x）min，求f（x【解答】解：（1）因為f(x)=cosx(23sinx+cosx)?sin2x=23sinxcosx+cos=3sin2x+cos2x＝2sin(2x+所以函數f（x）的最小正周期T＝π，因為函數y＝sinx的單調遞增區間為[?π2+2kπ，π2+2kπ]令?π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k所以函數f（x）的單調遞增區間為[?π3+kπ，π6+kπ]（2）由函數y＝2sinx的圖像變換得到f（x）的圖像的過程：先將y＝2sinx圖像上的所有點向左平移π6個單位，得到y=2sin(x+再把y=2sin(x+π6)的圖像上的所有點，縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的1（3）若選擇①：由題意可知，不等式f（x）≥m有解，即m≤f（x）max，因為x∈[0，π2]故當2x+π6=π2，即x=π6所以m≤2，即m∈（﹣∞，2]；若選擇②：由題意可知，不等式f（x）≥m恒成立，即m≤f（x）min，因為x