啟用前注意保密 試卷類型：B2025年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(二)數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合,則的元素個(gè)數(shù)為A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】,3個(gè)元素,選B.2.已知復(fù)數(shù)滿足,則的最小值為A.3B.2C.1D.0【答案】【解析】令,則,則(x,y)在(0,2)為圓心1為半徑的圓上,,選C.3.聲強(qiáng)級(jí)(單位:)由公式給出,其中為聲強(qiáng)(單位:).輕柔音樂(lè)的聲強(qiáng)一般在之間,則輕柔音樂(lè)的聲強(qiáng)級(jí)范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】,則,,選C.4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為A.24B.-24C.-36D.-40【答案】D【解析】展開(kāi)式第項(xiàng) ,即系數(shù)-40,選D.【點(diǎn)評(píng)】二項(xiàng)式展開(kāi)的經(jīng)典題,易錯(cuò)在分項(xiàng)相乘時(shí)的遺漏。拆解(x+1/x)(1-2x)是?關(guān)鍵,部分同學(xué)可能只計(jì)算項(xiàng)或項(xiàng)中的一項(xiàng)而漏解。需注意:展開(kāi)時(shí)必須窮舉所有可能的乘積組合,尤其是交叉項(xiàng)的系數(shù)疊加。本題訓(xùn)練多項(xiàng)式乘法中的系統(tǒng)性思維。5.已知,則,則A.B.C.2D.3【答案】A【解析】,選A.【點(diǎn)評(píng)】三角恒等式與方程結(jié)合的難題。通過(guò)與的公式轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵在分子分母的因式分解技巧。部分同學(xué)可能在化簡(jiǎn)2tanθ/(1-tan2θ)=cosθ/(√(1+sin2θ))時(shí)迷失方向,建議引入輔助變量簡(jiǎn)化計(jì)算。此題考驗(yàn)三角恒等變形的熟練度和代數(shù)運(yùn)算的耐心。6.已知函數(shù)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】時(shí),無(wú)解.,則有兩正根,矛盾,當(dāng)時(shí),有且僅有一個(gè)根,則即有且僅有一個(gè)正根,成立,,選B.【點(diǎn)評(píng)】分段函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,用參數(shù)分離法分析圖像交點(diǎn),更需注意分段討論的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。當(dāng)a>0時(shí),需分別討論指數(shù)函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),部分同學(xué)可能忽略x≤0和x>0區(qū)間的不同性質(zhì),誤判交點(diǎn)數(shù)量。此題檢驗(yàn)分段函數(shù)分析和數(shù)形結(jié)合能力。7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線與相交于兩點(diǎn),且,則的離心率為A.B.C.D.【答案】D【解析】,則,選D.【點(diǎn)評(píng)】橢圓幾何性質(zhì)的深度應(yīng)用。通過(guò)設(shè)邊長(zhǎng)利用余弦定理,關(guān)鍵在橢圓定義與焦半徑性質(zhì)的綜合應(yīng)用。8.已知函數(shù)在上的所有極值點(diǎn)從小到大依次記為,則A.-32B.-16C.-8D.-4【答案】B【解析】在上有4個(gè)變號(hào)零點(diǎn)在上有8個(gè)極值點(diǎn),且由關(guān)于(0,-2)中心對(duì)稱知,選:B.【點(diǎn)評(píng)】極值點(diǎn)與對(duì)稱性的綜合題。利用導(dǎo)數(shù)求零點(diǎn),核心在于中心對(duì)稱性的觀察。部分同學(xué)可能陷入求導(dǎo)后解三角方程的復(fù)雜計(jì)算,忽略關(guān)于(0,-2)對(duì)稱的本質(zhì)。記住:對(duì)稱性可極大簡(jiǎn)化求和問(wèn)題。此題訓(xùn)練高階函數(shù)的整體性質(zhì)分析能力。二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)位于一條直線附近,它的樣本相關(guān)系數(shù)(其中),由最小二乘法求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程(其中,則A.若,則B.若,則成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)等于C.若,則成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)大于D.若,則成對(duì)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程【答案】ABD【解析】,則,則,A對(duì).相關(guān)系數(shù)不變,B對(duì).錯(cuò).對(duì),選.【點(diǎn)評(píng)】統(tǒng)計(jì)概念辨析題。正確識(shí)別相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系,需強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)線性變換對(duì)統(tǒng)計(jì)量的影響。部分同學(xué)可能誤認(rèn)為選項(xiàng)中系數(shù)擴(kuò)大會(huì)影響相關(guān)系數(shù),實(shí)則僅度量線性關(guān)系的強(qiáng)度,不受尺度影響。此題檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)概念的精確理解。10.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出:三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上,這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.若的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,,其“歐拉線”為,圓,則A.過(guò)作圓的切線,切點(diǎn)為,則的最小值為4B.若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2,則C.若圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到的距離都為1,則D.存在,使圓上有三個(gè)點(diǎn)到的距離都為1【答案】BC【解析】中點(diǎn)的外心與垂心都在上,其歐拉線方程為.對(duì)于(時(shí)可取""),錯(cuò).對(duì)于,說(shuō)明過(guò)圓心正確.對(duì)于,當(dāng)與圓相交或相切時(shí),顯然均滿足,,當(dāng)與圓相離時(shí),有,,正確.由對(duì)的分析知,圓上至多有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為1,錯(cuò),選:.【點(diǎn)評(píng)】歐拉線與圓的綜合題。通過(guò)幾何構(gòu)造分析,關(guān)鍵在動(dòng)態(tài)距離與圓位置關(guān)系的討論。部分同學(xué)可能誤判選項(xiàng)D,需注意:當(dāng)圓M與歐拉線距離恰好為1時(shí),最多有兩個(gè)點(diǎn)滿足條件,不可能存在三個(gè)點(diǎn)。此題考驗(yàn)幾何直觀與代數(shù)推理的結(jié)合。11.已知是球的球面上兩點(diǎn),為該球面上的動(dòng)點(diǎn),球的半徑為,二面角的大小為,則A.是鈍角三角形B.直線與平面所成角為定值C.三棱錐的體積的最大值為D.三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】取中點(diǎn),過(guò)作平面于點(diǎn),連接,,,延長(zhǎng)至點(diǎn),使,,,而,而,在圖中以為圓心,上方以為弦的一段劣弧上運(yùn)動(dòng)(不含),為鈍角,是鈍角三角形,A正確.對(duì)于,設(shè)與平面所成角為為定值,正確.對(duì)于,C錯(cuò).對(duì)于為的外心,三棱錐的外接球球心一定在上,設(shè)外接球半徑為,由正確,選:ABD.【點(diǎn)評(píng)】空間幾何與球體的難題。利用向量投影和球面幾何,需注意外接球半徑的構(gòu)造邏輯。部分同學(xué)可能誤用勾股定理直接計(jì)算,忽略三棱錐外接球球心的位置分析。此題對(duì)空間想象和立體幾何定理的應(yīng)用要求高。三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若函數(shù)是偶函數(shù),且,則_____.【答案】【解析】為偶函數(shù),則,,,.13.一個(gè)袋子里有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,從中有放回地隨機(jī)取球,每次取1個(gè)球,共取4次,把每次取出的球的標(biāo)號(hào)排成一列數(shù),則這列數(shù)中恰有3個(gè)不同整數(shù)的概率為_(kāi)____.【答案】【解析】有放回取4次球,共有個(gè)結(jié)果.3個(gè)不同的整數(shù),則有1個(gè)整數(shù)未出現(xiàn)3個(gè)不同的整數(shù)有1個(gè)整數(shù)出現(xiàn)兩次4個(gè)數(shù)排順序.【點(diǎn)評(píng)】有放回取球的概率題。可以用排列組合分步計(jì)算,其實(shí)更高效的是分步乘法原理:先選未出現(xiàn)的數(shù)字(4種),再分配重復(fù)數(shù)字的位置(C(4,2)種),最后排列剩余兩個(gè)數(shù)字(2種)。部分同學(xué)可能混淆排列與組合的使用場(chǎng)景。14.在平面四邊形中,,,,若的面積是的面積的2倍,則的長(zhǎng)度為_(kāi)____.【答案】【解析】方法一:設(shè).,.方法二:設(shè),分別過(guò)作于點(diǎn)于點(diǎn)設(shè).【點(diǎn)評(píng)】平面幾何與三角恒等式的綜合題。通過(guò)面積比建立方程,關(guān)鍵在角度θ的引入與三角恒等式轉(zhuǎn)化。部分同學(xué)可能設(shè)角不當(dāng)導(dǎo)致方程復(fù)雜化,建議優(yōu)先考慮幾何構(gòu)造(如作高線或利用余弦定理)。此題檢驗(yàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化的能力。四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(13分)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,且是和8的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.【解析】(1)方法一:因?yàn)槭呛?的等差中項(xiàng),所以,即①.當(dāng)時(shí),,得.當(dāng)時(shí),②,①-②得,得,即所以數(shù)列是以首項(xiàng)為8,公比為2等比數(shù)列.所以.方法二:因?yàn)槭呛?的等差中項(xiàng),所以,即.當(dāng)時(shí),,得.當(dāng)時(shí),,得.當(dāng)時(shí),,得.猜想:.(下面用數(shù)學(xué)歸納法證明)當(dāng)時(shí),可知猜想成立；假設(shè)時(shí),猜想成立,即,依題意,得,得,又,得,則,得.即當(dāng)時(shí),猜想也成立.(2)證明:因?yàn)?得,所以.由于,得,得,所以.【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列與裂項(xiàng)求和的經(jīng)典題。可以使用遞推與數(shù)學(xué)歸納法,部分同學(xué)可能在證明通項(xiàng)公式時(shí)忽略歸納步驟的嚴(yán)謹(jǐn)性。注意:已知與的關(guān)系時(shí),必須驗(yàn)證的初始條件。此題訓(xùn)練數(shù)列通項(xiàng)推導(dǎo)與求和技巧。16.(15分)如圖,直四棱柱的底面是菱形,為銳角,分別為棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且,點(diǎn)在直線上.(1)證明:平面；(2)若直四棱柱的體積為,當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí),求的長(zhǎng).(1)證明:取的中點(diǎn),連接,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,且.又,且,則,且.所以四邊形是平行四邊形,所以.因?yàn)?則為的中點(diǎn).又為的中點(diǎn),則,所以.因?yàn)槠矫?平面,所以平面.(2)方法一:由于直四棱柱的體積為,得,得,由于為銳角,則.分別以直線為軸,以的邊上的高線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè),設(shè)平面的法向量為,直線與平面所成角為,由即取,則平面的一個(gè)法向量為.則當(dāng)時(shí),取得最大值.此時(shí),此時(shí)的長(zhǎng)為.方法二:由于直四棱柱的體積為,得,得,由于為銳角,則.連接,設(shè),連接,設(shè),以為原點(diǎn),分別以直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè),即,則.設(shè)平面的法向量為,直線與平面所成角為,則即令則.則平面的一個(gè)法向量為.則.當(dāng)時(shí),取得最大值,此時(shí).所以的長(zhǎng)為.方法三:由于直四棱柱的體積為,得,得,由于為銳角,則.由(1)知平面且點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)到平面的距離為定值.設(shè)直線與平面所成角為,則.當(dāng)最小時(shí),取得最大值.如圖,過(guò)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接,由于,則平面.又平面,則.則為所求.在中,在中,.【點(diǎn)評(píng)】立體幾何與空間向量的綜合題。用向量法求線面角,部分同學(xué)可能因坐標(biāo)系建立不當(dāng)導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜。建議優(yōu)先尋找?guī)缀侮P(guān)系(如平行性或?qū)ΨQ性)簡(jiǎn)化計(jì)算。此題考驗(yàn)空間向量法的熟練度和計(jì)算準(zhǔn)確性。17.(15分)已知函數(shù).(1)若,直線與曲線和曲線都相切,求的值；(2)若,求的取值范圍.【解析】(1)方法一:設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為,由于,則,解得,,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),直線,即.由得,由,解得或(舍去),當(dāng)時(shí),得,符合題意,所以.方法二:設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為,由于,則,解得,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),直線,即.當(dāng)時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為,由,得,得.得,即,則.解得.(2)①當(dāng)時(shí),則函數(shù)的定義域?yàn)?由于,則,不符合題意.所以不符合題意.②當(dāng)時(shí),則函數(shù)的定義域?yàn)?顯然.當(dāng)時(shí),由,得,即.令,則.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.則當(dāng)時(shí),取得最小值,其值為.則,即.綜上所述,的取值范圍為.另法:當(dāng)時(shí),由,得,即,得.令,則.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.則當(dāng)時(shí),取得最小值,其值為.則,即.綜上所述,的取值范圍為.【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)與切線的綜合應(yīng)用題。分離參數(shù)求極值,需強(qiáng)調(diào)極值點(diǎn)唯一性的驗(yàn)證。部分同學(xué)可能直接求導(dǎo)后默認(rèn)極值存在唯一解,忽略二次求導(dǎo)或單調(diào)性分析的必要性。此題檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值與最值的轉(zhuǎn)化思維。18.(17分)已知雙曲線的右焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在的右支上,過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線,一條與的左支交于點(diǎn),另一條與的右支交于點(diǎn)(異于點(diǎn)).(i)證明:;【解析】(1)方法一:由題意知.方法二:由于雙曲線的右焦點(diǎn)為,所以.雙曲線的漸近線方程為,即為,由于點(diǎn)到的一條漸近線的距離為,則.解得.所以的方程為.(2)(i)方法一:設(shè)直線的方程為,.方法二:證明:顯然圓的切線的斜率存在,設(shè)切線的方程為,由于切線不平行的漸近線,則.由圓心到切線的距離,得.由消去得,由題意知.設(shè),則,而 則,則.所以,即.(ii)方法一:仿(i)知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(i)中 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,此時(shí)方程:方程:或方程:方程:.方法二:由(i)同理可得,所以三點(diǎn)共線.則的面積.設(shè)切線與圓的切點(diǎn)為,則, 由(i)得,又,則.當(dāng)時(shí),.此時(shí),直線平行軸,則的縱坐標(biāo)絕對(duì)值為圓的半徑.得點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以直線的方程為,直線的方程為.方法三:由(i)同理可得,所以三點(diǎn)共線.則的面積.設(shè)切線與圓的切點(diǎn)為,則.在Rt中,,在Rt中,,則,當(dāng)時(shí),,即的面積的最小值為3.此時(shí),直線平行軸,則的縱坐標(biāo)絕對(duì)值為圓的半徑.得點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以直線的方程為,直線的方程為.方法四:由(i)同理可得,所以三點(diǎn)共線.則的面積.設(shè)切線與圓的切點(diǎn)為,則.在Rt中,,在Rt中,,由于,則,根據(jù)基本不等式得,得,則,即的面積的最小值為3.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知,直線平行軸,則的縱坐標(biāo)絕對(duì)值為圓的半徑.得點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以直線的方程為,直線的方程為.【點(diǎn)評(píng)】古老的模型。整體難度和計(jì)算量都不大！通過(guò)聯(lián)立方程證明垂直。部分同學(xué)可能陷入繁瑣的坐標(biāo)計(jì)算,忽略利用雙曲線對(duì)稱性簡(jiǎn)化證明。此題要求幾何性質(zhì)與代數(shù)運(yùn)算的巧妙結(jié)合。19.(17分)設(shè),集合(為向量),若,定義.(1)若,且,,,寫(xiě)出所有的；(2)若,且,設(shè)滿足的的個(gè)數(shù)為,求的值；(3)從集合中任取兩個(gè)不同的向量,記,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)方法一:坐標(biāo)二、三、四位有兩個(gè)為1,1個(gè)為可得)且在坐標(biāo)一、二、四位有兩個(gè)為1,1個(gè)為可得)或或.方法二:因?yàn)?則所有滿足