篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生，但在面對琳瑯滿目的資料時，總是費時費力才能找到自己心儀的那份。于是，編者就常想，如果是自己來創(chuàng)作一份資料又該怎樣呢？那這份資料在滿足自己教學(xué)需求的同時，還能為他人提供參考。本著這樣的想法，在結(jié)合自己教學(xué)經(jīng)驗和學(xué)生實際情況后，最終創(chuàng)作出了一個既適宜課堂教學(xué)，又適應(yīng)課后作業(yè)，還適合階段復(fù)習(xí)的大綜合系列。《2023-2024學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列》，它基于教材知識和常年真題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、分層試卷篇等四個部分。1.典型例題篇，按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。2.專項練習(xí)篇，從高頻考題和期末真題中選取專項練習(xí)，其優(yōu)點在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇，匯集系列精華，高效助力單元復(fù)習(xí)，其優(yōu)點在于綜合全面，精煉高效，實用性強(qiáng)。4.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和不同水平，主要分為基礎(chǔ)卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點在于考點廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。黃金無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請留言于我改進(jìn)，歡迎您的使用，謝謝！101數(shù)學(xué)創(chuàng)作社2024年2月24日2023-2024學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列第三單元長方體和正方體·總集篇·五種綜合性問題【六大考點】專題解讀本專題是第三單元長方體和正方體·總集篇·五種綜合性問題。本部分內(nèi)容包括長方體和正方體的切拼問題、折疊問題、等積變形問題、排水法求不規(guī)則物體的體積問題、含長方體正方體的不規(guī)則或組合立體圖形的表面積與體積問題、長方體正方體中的注水運(yùn)動問題等，考點遍布各種題型，考題綜合性強(qiáng)，其中大多數(shù)內(nèi)容以思維拓展題型為主，難度極大，建議根據(jù)學(xué)生實際掌握情況和總體水平，選擇性講解部分考點考題，一共劃分為六個考點，歡迎使用。目錄導(dǎo)航TOC\o"1-1"\h\u【考點一】問題其一：長方體和正方體的切拼問題 3【考點二】問題其二：折疊問題 10【考點三】問題其三：等積變形問題 15【考點四】問題其四：排水法求不規(guī)則物體的體積問題 19【考點五】問題其五：不規(guī)則或組合立體圖形的表面積與體積問題 23【考點六】問題其六：長方體正方體中的注水運(yùn)動問題 27典型例題【考點一】問題其一：長方體和正方體的切拼問題。【方法點撥】立體圖形的切拼問題屬于小學(xué)數(shù)學(xué)的典型問題和難點問題，由長方體和正方體的切拼所產(chǎn)生的表面積增減變化，在分析與思考過程中常常具有一定的抽象性，并涉及到基礎(chǔ)的空間想象能力，因此，大部分同學(xué)掌握起來顯得十分困難，建議在理解方面，嘗試?yán)L制示意圖，在解題方面，注意尋找切拼后的變化規(guī)律。1.切片問題。（1）切一刀增加兩個切面，沿著不同的方向切，多出的表面積一般是不一樣的，其中正方體比較特殊，它的表面積的增減變化都是都是正方形在進(jìn)行變化，相對比較簡單。（2）刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。2.拼接問題。（1）長方體或正方體的拼接會使表面積減少，兩個正方體的拼接，有兩個重合面，會減少兩個正方形的面積，同理，三個正方體的拼接會減少四個正方形的面積，與切片問題類似，可以先判斷刀數(shù)，再根據(jù)刀數(shù)去推正方形的個數(shù)，但是長方體的拼接要根據(jù)不同的拼接面來判斷具體減少的面積。（2）段數(shù)-1=刀數(shù)；刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。3.高的變化引起的表面積變化。（1）正方體高的變化，即棱長的增減變化，會引起正方體側(cè)面積的增減變化。（2）長方體高的變化，會引起長方體側(cè)面積的增減變化，長方體的側(cè)面指的是前后左右四個面。【典型例題1】切片問題。把一個大正方體切成三個完全相同的小長方體后，小長方體的表面積之和比原大正方體的表面積增加了144cm2。（1）畫出示意圖并標(biāo)注條件中的數(shù)據(jù)。（2）小長方體的長、寬、高分別是多少cm？（3）原大正方體的體積是多少cm3？【答案】（1）見詳解（2）長2cm，寬6cm，高6cm（3）216cm3【分析】（1）畫出把一個大正方體切成三個完全相同的小長方體的示意圖，并標(biāo)注數(shù)據(jù)；（答案不唯一）（2）根據(jù)題意，把一個大正方體切成三個小長方體，要切2次；切一次增加2個截面；切2次增加4個截面，表面積增加4個截面的面積；先用增加的表面積除以4，求出一個截面的面積；這個截面是正方形，根據(jù)正方形的面積＝邊長×邊長，求出正方體的棱長；用正方體的棱長除以3，就是小長方體的長；小長方體的寬和高都等于正方體的棱長；（3）根據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)計算即可。【詳解】（1）如圖：（答案不唯一）（2）144÷4＝36（cm2）36＝6×6所以大正方體的棱長是6cm。小長方體的長是：6÷3＝2（cm）小長方體的寬和高都是6cm。答：小長方體的長是2cm、寬是6cm、高是6cm。（3）6×6×6＝36×6＝216（cm3）答：原大正方體的體積是216cm3。【點睛】掌握正方體切割的特點，明確增加的表面積是哪些面的面積，熟記正方體的體積公式是解題的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習(xí)】一個長方體按以下三種方法分割成了兩個長方體，表面積分別增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原來長方體的表面積是多少平方厘米，體積是多少立方厘米？【答案】94平方厘米；60立方厘米【分析】表面積分別增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面積和就是原來長方體的面積；根據(jù)長×高×2＝40，長×寬×2＝30，寬×高×2＝24，由此求出長方體的體積。【詳解】40＋30＋24＝70＋24＝94（平方厘米）答：原來長方體的表面積是94平方厘米。長×高×2＝40，即長×高＝20＝5×4，長×寬×2＝30，即長×寬＝15＝5×3，寬×高×2＝24，即寬×高＝12＝4×3，即長、寬、高分別是5厘米、4厘米、3厘米。5×4×3＝20×3＝60（立方厘米）答：體積是60立方厘米。【點睛】考查了立體圖形的切拼，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分解質(zhì)因數(shù)求出長、寬、高。【典型例題2】拼接問題。用3個完全一樣的正方體拼成一個長方體，這個長方體的棱長總和是160厘米，這個長方體的表面積是多少平方厘米？【答案】896平方厘米【分析】通過觀察圖形可知，拼成的長方體的棱長總和比原來3個正方體的棱長總和減少了正方體的16條棱的長度，據(jù)此可以求出正方體的棱長；這個長方體的表面積比3個正方體的表面積之和減少了正方體的4個面的面積，根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】160÷（12×3﹣16）＝160÷（36﹣16）＝160÷20＝8（厘米）8×8×6×3﹣8×8×4＝64×6×3﹣64×4＝384×3﹣256＝1152﹣256＝896（平方厘米）答：這個長方體的表面積是896平方厘米。【點睛】此題主要考查長方體、正方體的棱長總和公式、表面積公式的靈活運(yùn)用，求出正方體的棱長是解題的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習(xí)】兩個完全相同的長方體，長是12厘米，寬是7厘米，高是4厘米，現(xiàn)在把它們拼成一個表面積最大的長方體后，則表面積比原來減少了多少平方厘米？。【答案】56平方厘米【分析】將兩個完全的長方體拼成一個大長方體，要使大長方體面積最大，則拼接的一面為小長方體面積最小的一面，根據(jù)題意可得面積最小的一面是寬和高所對應(yīng)的面。此時，大長方體表面積比原來減少了2個這樣的面，據(jù)此可得出答案。【詳解】拼接后要使大長方體表面積最大，則拼接面為面積最小的一面。故表面積比原來減少：7×4×2＝28×2＝56（平方厘米）。答：表面積比原來減少了56平方厘米。【點睛】本題主要考查的是長方體表面積及拼接，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意中得出拼接的面為面積最小的面，進(jìn)而得出答案。【典型例題3】高的變化問題。一個長方體，如果高減少3厘米就變成了一個正方體，表面積就減少了96平方厘米，現(xiàn)在這個正方體的體積與原來長方體的體積相差多少立方厘米？【答案】192立方厘米【分析】根據(jù)題意，長方體的高減少3厘米變成了一個正方體，說明長方體的長和寬都等于正方體的棱長；正方體比原來長方體減少的表面積是4個長為正方體的棱長，寬為3厘米的長方形的面積；先用減少的表面積除以4，求出一個長方形的面積，再除以3，即可求出正方體的棱長，也是長方體的長和寬；那么正方體與原來長方體相差的體積是一個長、寬等于正方體的棱長，高為3厘米的小長方體的體積，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算即可。【詳解】96÷4＝24（平方厘米）24÷3＝8（厘米）8×8×3＝64×3＝192（立方厘米）答：現(xiàn)在這個正方體的體積與原來長方體的體積相差192立方厘米。【點睛】本題考查立體圖形的切拼以及長方體體積公式的應(yīng)用，明確表面積減少的是哪些面的面積，以此為突破口，求出正方體的棱長是解題的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習(xí)】一個長方體，如果高減少5厘米，就成了一個正方體，這時表面積會比原來少120平方厘米，原來長方體的體積是多少？【答案】396立方厘米【分析】根據(jù)長方體的特征，6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面的面積相等。由題意可知：高減少5厘米，這時表面積比原來減少了120平方厘米。表面積減少的是高為5厘米的長方體的4個側(cè)面的面積。先求出減少部分的1個側(cè)面的面積，120÷4＝30（平方厘米）；根據(jù)長方形的面積公式S＝ab，求出原來長方體的底面邊長就是6厘米。原來的高是6＋5＝11（厘米），再根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】原來長方體的底面邊長是：120÷4÷5＝30÷5＝6（厘米）高是：6＋5＝11（厘米）原來長方體的體積是：6×6×11＝36×11＝396（立方厘米）答：原來長方體的體積是396立方厘米。【點睛】此題解答關(guān)鍵是求出原來長方體的底面邊長，進(jìn)而求出高，再根據(jù)長方體的體積公式解答即可。【典型例題4】最大的正方體。從一塊長12cm、寬9cm、高6cm的長方體陶泥上切下一個最大的正方體，剩下部分的表面積與原長方體的表面積相比，會怎樣變化？列出你想到的所有情況。【答案】①以長方體的一個頂點為正方體的一個頂點切：表面積減小72平方厘米；②不挨頂點，沿棱切：表面積不變。③從長方體里邊切，不挨頂點和棱：表面積增加72平方厘米【分析】，如圖，從一塊長12cm、寬9cm、高6cm的長方體陶泥上切下一個最大的正方體，正方體的棱長是6厘米，①以長方體的一個頂點為正方體的一個頂點切，表面積減少了兩個正方體的面；②不挨頂點，沿棱切：表面積不變；③從長方體里邊切，不挨頂點和棱，表面積增加兩個正方體的面，據(jù)此分析。【詳解】①以長方體的一個頂點為正方體的一個頂點切：表面積減小，6×6×2＝72（平方厘米）。②不挨頂點，沿棱切：表面積不變。③從長方體里邊切，不挨頂點和棱：表面積增加，6×6×2＝72（平方厘米）【點睛】本題考查了立體圖形的切拼，可以畫畫示意圖，做做輔助線。【對應(yīng)練習(xí)】一個長方體長20厘米、寬16厘米、高10厘米，現(xiàn)在從長方體中切下一個最大的正方體，再從剩下的部分中切下一個最大的正方體，最后又從第二次剩下的部分中切下一個最大的正方體，剩下的體積是多少立方厘米？【答案】984立方厘米【分析】根據(jù)題意可知，長方體的長是高的2倍，由此可知，長方體可以切去兩個棱長是10厘米的正方體，即第一次切下一個最大的正方體，正方體的棱長等于長方體的高，即正方體的棱長是10厘米；第二次剩下部分的還可以切下的棱長是10厘米的正方體，最后再把剩下部分的切去一個最大的正方體，正方體的棱長是6厘米；求剩下的體積，就用原來長方體的體積減去棱長是10厘米的正方體的體積，減去棱長10厘米的正方體體積，減去棱長是6厘米的正方體的體積；根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高；正方體的體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，即可解答。【詳解】第一個正方體的棱長是10厘米；第二個正方體的棱長是10厘米第三個正方體的棱長是：16－10＝6（厘米）20×16×10－10×10×10×2－6×6×6＝320×10－100×10×2－36×6＝3200－1000×2－218＝3200－2000－218＝1200－218＝984（立方厘米）答：剩下的體積是984立方厘米。【點睛】解答本題的關(guān)鍵是第二次切去最大的正方體的棱長和第一次切去正方體的棱長相等，第三次切去正方體的棱長等于原長方體的寬與切去最大正方體的棱長差。【考點二】問題其二：折疊問題。【方法點撥】根據(jù)折疊圖，求出長方體對應(yīng)的長、寬、高，再求體積。【典型例題】有一塊長方形鐵皮（如圖），長60分米，寬50分米。在鐵皮的四個角分別剪去一個邊長是5分米的正方形，然后焊成一個長方體容器。（1）做這個無蓋的長方體容器用了多少平方分米的鐵皮？（2）這個長方體容器的容積是多少升？【答案】（1）2900平方分米（2）10000升【分析】（1）觀察圖形可知，做這個無蓋的長方體容器所需鐵皮的面積＝長方形的面積－4個正方形的面積，根據(jù)長方形的面積＝長×寬，正方形的面積＝邊長×邊長，代入數(shù)據(jù)計算求解；（2）從圖中可知，長方體的長是（60－5×2）分米，寬是（50－5×2）分米，高是5分米，根據(jù)長方體的體積（容積）＝長×寬×高，以及進(jìn)率“1立方分米＝1升”求解。【詳解】（1）60×50－5×5×4＝3000－100＝2900（平方分米）答：做這個無蓋的長方體容器用了2900平方分米的鐵皮。（2）（60－5×2）×（50－5×2）×5＝（60－10）×（50－10）×5＝50×40×5＝10000（立方分米）10000立方分米＝10000升答：這個長方體容器的容積是10000升。【點睛】本題考查長方體的表面積、體積公式的靈活運(yùn)用，在求長方體的容積時，找出長方體的長、寬、高是解題的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習(xí)1】一塊長方形鐵皮（如下圖），從四個角各切掉一個邊長5厘米的正方形后，沿虛線折起來，做成一個無蓋的鐵盒。（1）這個鐵盒用了多少平方厘米的鐵皮？（2）這個鐵盒的容積是多少？（厚度忽略不計）【答案】（1）500平方厘米；（2）1000立方厘米【分析】（1）從圖中可知，用長30厘米、寬20厘米的長方形的面積減去4個邊長5厘米的正方形的面積，就是這個鐵盒用的鐵皮的面積。根據(jù)長方形的面積＝長×寬，正方形的面積＝邊長×邊長，代入數(shù)據(jù)計算即可。（2）這個長方體鐵盒的長是（30－5×2）厘米，寬是（20－5×2）厘米，高是5厘米，根據(jù)長方體的體積（容積）＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算求出這個鐵盒的容積。【詳解】（1）30×20－5×5×4＝600－100＝500（平方厘米）答：這個鐵盒用了500平方厘米的鐵皮。（2）長方體的長：30－5×2＝30－10＝20（厘米）長方體的寬：20－5×2＝20－10＝10（厘米）長方體的容積：20×10×5＝200×5＝1000（立方厘米）答：這個鐵盒的容積是1000立方厘米。【點睛】（1）理解長方體的表面積就是長方形的面積減去四個小正方形的面積；（2）關(guān)鍵是找出長方體的長、寬、高，然后運(yùn)用長方體的體積（容積）公式，列式計算。【對應(yīng)練習(xí)2】用一張長90厘米、寬80厘米的長方形鐵皮，在它的四個角各剪去一個邊長10厘米的小正方形（如圖），焊接成一個無蓋的鐵皮箱，這個鐵皮箱的表面積是多少平方厘米？它的容積是多少升？如果每升裝機(jī)油0.8千克，可以裝機(jī)油多少千克？【答案】6800平方厘米；42升；33.6千克【分析】鐵皮箱的表面積＝長方形鐵皮的面積－4個小正方形的面積，根據(jù)長方形的面積＝長×寬，正方形的面積＝邊長×4，代入數(shù)據(jù)計算即可求出這個鐵皮箱的表面積；從圖中可以看出，焊接成的鐵皮箱是一個長為（90－10×2）厘米，寬為（80－10×2）厘米，高為10厘米的長方體，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算求出鐵皮箱的體積；再根據(jù)進(jìn)率：1升＝1000立方厘米，將體積換算成“升”，最后乘每升裝機(jī)油的質(zhì)量，求出這個鐵皮箱可以裝機(jī)油的質(zhì)量。【詳解】（平方厘米）（立方厘米）42000立方厘米＝42升（千克）答：這個鐵皮箱的表面積是6800平方厘米，它的容積是42升，可以裝機(jī)油33.6千克。【點睛】靈活運(yùn)用長方體表面積、體積公式是解題的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習(xí)3】小強(qiáng)要用家里的一塊長方形紙板做一個物品收納盒。這塊紙板長20厘米，寬16厘米，四個角減去相同的小正方形（如圖所示），就能圍成無蓋的長方體收納盒。（1）如果減去的小正方形的邊長是5厘米，圍成的長方體收納盒的容積是多少？（2）減去的小正方形的邊長還可以是多少厘米（長度取整厘米數(shù)）？這時圍成的長方體收納盒的表面積是多少？（3）如果用a厘米表示要減去的小正方形的邊長，請你用字母公式表示出這個無蓋長方體收納盒的容積或表面積。【答案】（1）300立方厘米（2）2厘米；304平方厘米（3）長方體收納盒表面積：20×16－4a2，或長方體收納盒容積：（20－2a）×（16－2a）×a【分析】（1）如果減去的小正方形的邊長是5厘米，那么這個收納盒的長為（20－2×5）厘米，寬為（16－2×5）厘米，高為5厘米；再根據(jù)收納盒的容積＝長×寬×高，計算出結(jié)果即可；（2）根據(jù)題意，減去的小正方形的邊長必須要小于16厘米的一半，并且長度取整厘米，答案不唯一，取值符合實際；收納盒的表面積＝長方形的面積－4個小正方形的面積，代入數(shù)據(jù)正確計算即可；（3）如果用a厘米表示要減去的小正方形的邊長，那么這個收納盒的長為（20－2a）厘米，寬為（16－2a）厘米，高為a厘米；再根據(jù)收納盒的容積＝長×寬×高，收納盒的表面積＝長方形的面積－4個小正方形的面積，列出算式化簡即可。【詳解】（1）20－5×2＝20－10＝10（厘米）16－5×2＝16－10＝6（厘米）10×6×5＝60×5＝300（立方厘米）答：圍成的長方體收納盒的容積是300立方厘米。（2）16÷2＝8（厘米）減去的小正方形的邊長還可以是1cm、2cm、3cm、4cm、6cm或7cm。例如，減去的小正方形的邊長是2厘米。20－2×2＝20－4＝16（厘米）16－2×2＝16－4＝12（厘米）20×16－2×2×4＝320－16＝304（平方厘米）答：減去的小正方形的邊長還可以是2厘米（長度取整厘米數(shù)），這時圍成的長方體收納盒的表面積是304平方厘米。（3）長方體收納盒容積：（20－2a）×（16－2a）×a或長方體收納盒表面積：20×16－4a2（寫出一個即可）【點睛】此題考查了長方體的體積、表面積以及展開圖的知識，關(guān)鍵能夠正確找出長、寬、高再解答。（寫出一個即可）【考點三】問題其三：等積變形問題。【方法點撥】長方體、正方體的等積變形問題是較常考察的題型之一，總體來說，難度不大，關(guān)鍵是掌握體積不變這一思路，再根據(jù)體積不變?nèi)ソ鉀Q問題。【典型例題】在一個長15分米，寬12分米，高5分米的水池中注入一半的水，然后把兩條長6分米，寬3分米，高7分米的石柱立著放入池中，現(xiàn)在水深是多少？【答案】3.125分米【分析】根據(jù)題意可知，水池中水的體積不變，先根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，求出水池中水的體積；然后把兩條石柱立著放入池中，那么水池中水的底面積＝水池的底面積－兩條石柱的底面積，再根據(jù)長方體的高＝體積÷底面積，代入數(shù)據(jù)計算，即可求出現(xiàn)在水的深度。【詳解】15×12×（5÷2）＝15×12×2.5＝450（立方分米）450÷（15×12－6×3×2）＝450÷（180－36）＝450÷144＝3.125（分米）答：現(xiàn)在水深3.125分米。【點睛】本題考查長方體體積公式的靈活運(yùn)用，抓住水的體積不變，明確放入兩條石柱后，水池中水的底面積發(fā)生了變化，水的深度也隨之發(fā)生了變化。【對應(yīng)練習(xí)1】棱長是5分米的正方體容器裝滿水，把容器里的水全部倒入一個長方體水箱，水箱從里面量長10分米，寬5分米，高7分米。倒入水箱里面的水深是多少分米？要注滿水箱應(yīng)再倒入多少升水？【答案】2.5分米；225升【分析】把正方體容器里的水倒入一個長方體水箱里，那么水的體積不變；先根據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，求出水的體積；再根據(jù)長方體的高＝體積÷（長×寬），求出水箱里面的水深；求要注滿水箱應(yīng)再倒入多少升水，就是求長方體水箱無水部分的體積；用長方體水箱的高是7分米減去水箱里水的深度，得到無水部分的高度，再根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算即可，最后根據(jù)進(jìn)率1立方分米＝1升換算單位。【詳解】5×5×5＝25×5＝125（立方分米）125÷（10×5）

＝125÷50＝2.5（分米）10×5×（7－2.5）＝10×5×4.5＝50×4.5＝225（立方分米）

225立方分米＝225升

答：倒入水箱里面的水深是2.5分米，要注滿水箱應(yīng)再倒入225升水。【點睛】抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”，靈活運(yùn)用正方體、長方體的體積計算公式是解題的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習(xí)2】如圖，甲是空的長方體容器，乙長方體容器中水深24厘米，要將長方體容器乙的水倒一部分給長方體容器甲中，使兩個長方體容器中水的高度相同，這時水深多少厘米？【答案】8厘米【分析】已知乙長方體容器中水深24厘米，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，求出乙容器中水的體積；要將長方體容器乙的水倒一部分給甲，使兩個長方體容器中水的高度相同，可以想成將兩個容器拼在一起，則底面積是（40×30＋30×20）平方厘米，根據(jù)長方體高＝體積÷底面積，即可求出這時兩個容器中水的深度。【詳解】30×20×24＝600×24＝14400（立方厘米）14400÷（40×30＋30×20）＝14400÷（1200＋600）＝14400÷1800＝8（厘米）答：水深8厘米。【點睛】本題考查長方體體積公式的靈活運(yùn)用，也可以列方程求解，用甲容器中水的體積＋乙容器中水的體積＝原來乙容器中水的體積，據(jù)此列出方程。【對應(yīng)練習(xí)3】有甲、乙兩種長方體容器。甲容器長、寬、高分別為10cm、3cm、10cm，乙容器長、寬、高分別是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中裝有水，將其傾斜，水面剛好如下圖所示。乙容器是空的。（1）甲容器中水的體積是多少？（2）如果將甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一樣高，那么需要從甲容器中倒出多少水？【答案】（1）150cm3；（2）60cm3【分析】（1）根據(jù)圖意可知，甲容器中裝水的體積是甲容器體積的一半，根據(jù)長方體的體積公式V＝abh，進(jìn)行解答即可；（2）用甲容器中水的體積除以甲、乙容器的底面積之和，求出容器中水面的高度，再根據(jù)長方體的體積公式V＝abh，求出乙容器中水的體積，即是從甲容器倒出的水的體積，據(jù)此進(jìn)行解答。【詳解】（1）10×10×3÷2＝100×3÷2＝150（cm3）答：甲容器中水的體積是150cm3。（2）150÷（10×3＋5×4）＝150÷（30＋20）＝150÷50＝3（cm）5×4×3＝60（cm3）答：需要從甲容器中倒出60cm3的水。【點睛】本題考查了長方體體積的實際應(yīng)用，靈活運(yùn)用長方體的體積公式求解。【考點四】問題其四：排水法求不規(guī)則物體的體積問題。【方法點撥】排水法求形狀不規(guī)則物體的體積是立體圖形中的必考題型之一，具有一定的抽象性，注意熟練掌握排水法的計算方法：①V物體=V現(xiàn)在－V原來；②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)；③V物體=S×h升高。【典型例題】實驗小學(xué)為普及生態(tài)文明教育，打算在教學(xué)樓入口處飼養(yǎng)一些魚類，需要準(zhǔn)備3個同樣大小的無蓋玻璃魚缸，尺寸如圖所示。（1）做這些魚缸需要多大的玻璃？（損耗忽略不計）（2）將其中一個魚缸裝滿水后，把一根長為1米，橫截面積為20平方厘米的長方體鐵棒豎直插入水中，插到底后豎直取出。這時水面的高度是多少厘米？【答案】（1）315平方分米；（2）34.75厘米【分析】（1）根據(jù)無蓋長方體的表面積公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把數(shù)據(jù)代入公式求出做一個魚缸需要和玻璃的面積，然后再乘3即可。（2）根據(jù)題意可知，把這根鐵棒從魚缸中取出后，水面下降的體積等于鐵棒被水淹沒的體積，說明下降的高等于鐵棒被水淹沒的體積除以魚缸的底面積，然后用魚缸的高減去水面下降的高即可。【詳解】（1）7×4＋7×3.5×2＋3.5×4×2＝28＋49＋28＝105（平方分米）105×3＝315（平方分米）答：做這些魚缸需要315平方分米的玻璃。（2）4×7＝28（平方分米）28平方分米＝2800平方厘米3.5分米＝35厘米35×20＝700（立方厘米）700÷2800＝0.25（厘米）35－0.25＝34.75（厘米）答：這時水面的高度是34.75厘米。【點睛】此題主要考查長方體的表面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。【對應(yīng)練習(xí)1】如下圖，一個長、寬、高分別為30厘米、16厘米、21厘米的長方體容器中水位高度是10厘米，如果將另一個長方體（長、寬、高分別為16厘米、10厘米、36厘米的鐵塊豎直）放入左邊的容器中（貼底面齊平），那么這個容器中的水會溢出嗎？如果不溢出，那么容器中水位將上升至多少高度？如果溢出，那會溢出多少立方厘米的水量？【答案】不會溢出；15厘米【分析】根據(jù)題意可知，長方體容器中水是一個長30厘米、寬16厘米、高10厘米的長方體，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，求出水的體積；放入鐵塊后，水面會上升，底面積由（30×16）平方厘米變成了（30×16－16×10）平方厘米，水的體積不變，根據(jù)長方體的高＝體積÷底面積，求出此時容器內(nèi)水的高度；用此時容器內(nèi)水的高度與長方體容器的高度進(jìn)行比較，如果小于或等于容器的高度，則水不會溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水會溢出，進(jìn)而求出溢出水的體積。【詳解】容器內(nèi)水的體積：30×16×10＝480×10＝4800（立方厘米）放入鐵塊后水深：4800÷（30×16－16×10）＝4800÷（480－160）＝4800÷320＝15（厘米）15＜21答：這個容器中的水不會溢出，容器中水位將上升至15厘米。【點睛】本題考查長方體體積公式的靈活運(yùn)用，抓住水的體積不變是解題的關(guān)鍵，掌握放入的物體沒有完全浸沒時，水上升高度的求法。【對應(yīng)練習(xí)2】如圖一個長方體的玻璃魚缸，長9分米，寬7分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一塊棱長為5分米的正方體鐵塊，缸里的水溢出多少升？

【答案】87.4升【分析】根據(jù)題意可知，把鐵塊放入玻璃缸中，溢出水的體積等于浸入水中鐵塊的體積減去玻璃缸內(nèi)無水部分的體積，但正方體鐵塊的高為5分米，不會全部浸入水中，所以浸入水中鐵塊的體積實際是一個長和寬都為5分米，高為4分米的長方體，根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】5×5×4－9×7×（4－3.8）＝100－63×0.2＝100－12.6＝87.4（立方分米）87.4立方分米＝87.4升答：缸里的水溢出87.4升。【點睛】此題主要考查長方體的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是明確正方體不會全部浸入到水中，其次因為原來長方體玻璃缸有一部分空余的空間，所以溢出水的體積不完全等于浸入的正方體鐵塊的體積。【對應(yīng)練習(xí)3】一個長方體玻璃魚缸（無蓋），量得它的長是8分米，寬是5分米，高是6分米，水深5.2分米。（玻璃厚度忽略不計）（1）做這個長方體玻璃魚缸至少需要玻璃多少平方分米？（2）如果在這個魚缸里投入一個棱長是3分米的正方體鐵塊，魚缸里的水會不會溢出？請你通過計算說明。（3）如果會溢出，魚缸里會溢出多少升水？如果不會溢出，現(xiàn)在水深是多少分米？【答案】（1）196平方分米（2）不會溢出（3）5.875分米【分析】（1）根據(jù)題意，長方體玻璃魚缸（無蓋）缺少上面（長和寬組成的長方形），所以玻璃的面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2；（2）先求出水的體積與正方體鐵塊的體積之和，再計算魚缸體積，如果水和鐵塊的體積比魚缸體積大就會溢出，如果比魚缸體積小則不會溢出，根據(jù)公式：長方體的體積＝長×寬×高，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長；（3）根據(jù)（2）中計算可知水不會溢出，水深＝水與鐵塊的體積÷魚缸底面積；據(jù)此解答。【詳解】（1）8×5＋（8×6＋5×6）×2＝40＋78×2＝40＋156＝196（平方分米）答：做這個長方體玻璃魚缸至少需要玻璃196平方分米。（2）8×5×5.2＋3×3×3＝40×5.2＋27＝208＋27＝235（立方分米）8×5×6＝40×6＝240（立方分米）240＞235答：魚缸里的水不會溢出。（3）235÷（5×8）＝235÷40＝5.875（分米）答：現(xiàn)在水深是5.875分米。【點睛】此題考查了長方體的表面積、體積計算，關(guān)鍵靈活運(yùn)用公式解答。【考點五】問題其五：不規(guī)則或組合立體圖形的表面積與體積問題。【方法點撥】不規(guī)則或組合立體圖形的體積是圖形計算和實際應(yīng)用中的常考題型，其中組合立體圖形的體積等于各部分規(guī)則立體圖形的體積之和。【典型例題】從一個長方體中鋸掉一個正方體后，成了下圖所示的形狀。求現(xiàn)在這個物體的表面積和體積。（單位：厘米）【答案】352平方厘米；320立方厘米【分析】觀察圖形可知，在長方體木塊上鋸掉一個正方體，減少了正方體的3個面，同時又露出了正方體的3個面，所以剩下部分的表面積和原來長方體的表面積一樣大，它的表面積沒有發(fā)生變化，根據(jù)長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數(shù)據(jù)計算求解；在長方體木塊上鋸掉一個正方體，那么體積就減少這個正方體的體積，所以現(xiàn)在這個物體的體積＝長方體的體積－鋸掉的正方體的體積，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)計算求解。【詳解】表面積：（12×4＋12×8＋4×8）×2＝（48＋96＋32）×2＝176×2＝352（平方厘米）體積：12×4×8－4×4×4＝384－64＝320（立方厘米）答：現(xiàn)在這個物體的表面積是352平方厘米，體積是320立方厘米。【點睛】本題考查正方體、長方體表面積、體積公式的運(yùn)用，在計算有缺口的立體圖形的表面積時，要注意缺口的位置，原來這個位置有幾個面，挖掉后露出了幾個面，與原來的面相比較，是否一樣，還是多或少了，進(jìn)而得出結(jié)論。【對應(yīng)練習(xí)1】一塊正方體木料，棱長是6厘米，在6個面的中央各挖走一個棱長是2厘米的正方體洞孔。這時它的表面積、體積各是多少？【答案】312平方厘米；168立方厘米【分析】觀察圖形可知，在正方體木料的6個面中央各挖走一個棱長2厘米的正方體洞孔，則每個面都減少了1個（2×2）的面，同時又露出了5個（2×2）的面，所以每個面比原來增加了4個（2×2）的面，那么表面積比原來增加了6個（2×2×4）的面積；先根據(jù)正方體的表面積＝棱長×棱長×6，求出棱長為6厘米的正方體木料的表面積，再加上6個（2×2×4）的面積，即是此時立體圖形的表面積。此時立體圖形的體積＝正方體木料的體積－6個小正方體洞孔的體積，根據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)計算求解。【詳解】表面積：6×6×6＋2×2×4×6＝216＋96＝312（平方厘米）體積：6×6×6－2×2×2×6＝216－48＝168（立方厘米）答：這時它的表面積是312平方厘米，體積是168立方厘米。【點睛】本題考查正方體的表面積、體積公式的運(yùn)用，在求有缺口的立體圖形的表面積時，要注意缺口的位置，原來這個位置有幾個面，挖掉后露出了幾個面，與原來的面相比較，是否一樣，還是多了或少了，進(jìn)而根據(jù)公式列式計算。【對應(yīng)練習(xí)2】如圖所示，有一個棱長為40厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個大小相同、棱長為2厘米的小正方體后。請問：挖后的表面積是多少平方厘米?【答案】9624平方厘米【分析】在角上挖掉一個小正方體，表面積沒有變化；在棱上挖掉一個小正方體，表面積會增加左右2個面；在面上挖掉一個小正方體，表面積會增加上下左右4個面。分別求出原來正方體的表面積和增加的面積，便可求出挖后的表面積。【詳解】40×40×6＋2×2×6＝9600＋24＝9624（平方厘米）答：挖后的表面積是9624平方厘米【點睛】分別確定在角上、棱上、面上各挖掉一個小正方體后表面積的變化情況是解答此題的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習(xí)3】如圖是一個棱長4厘米的正方體，在正方體上面正中向下挖一個棱長是2厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中再向下挖一個棱長是1厘米正方體小洞，最后得到的立方體圖形的表面積是多少平方厘米？【答案】116平方厘米【分析】把棱長是2厘米的正方體的底面向上平移，把棱長是1厘米的正方體底面向上平移，則容易看出：求最后得到的立方體圖形的表面積，即棱長為4厘米的正方體的表面積與棱長為2厘米的正方體四個側(cè)面和棱長為1厘米的正方體四個側(cè)面的面積之和；根據(jù)“正方體的表面積＝棱長2×6”求出棱長為4厘米的正方體的表面積，根據(jù)“正方體的側(cè)面積＝棱長2×4”分別求出棱長為2厘米的正方體四個側(cè)面和棱長為1厘米的正方體四個側(cè)面的面積，然后相加即可。【詳解】42×6＋22×4＋12×4＝96＋16＋4＝116（平方厘米）答：最后得到的立方體圖形的表面積是116平方厘米。【點睛】解答此題的關(guān)鍵是明確：兩個小正方體，每個正方體中向上的一個面，經(jīng)過平移能夠填補(bǔ)完整大正方體上面的一個面。【考點六】問題其六：長方體正方體中的注水運(yùn)動問題。【方法點撥】注水運(yùn)動問題常使用實驗的方式考察長方體和正方體的體積在實際生活中的綜合應(yīng)用，審題過程中，關(guān)鍵在于讀懂圖形給到的信息，需要很巧妙地把給到的注水“實驗”過程圖形（高度與時間的關(guān)系）與實際注水過程節(jié)點關(guān)聯(lián)起來，比較考驗學(xué)生的數(shù)學(xué)“實驗”邏輯思考能力，其在獨立招生考試或是在小升初入學(xué)分層考試中較為常見。【典型例題】如圖：一個長方體水槽寬40厘米，高10厘米，水槽正中間有一塊高6厘米的隔板，將水槽下面分成了相等的2部分。現(xiàn)在同時往左右兩邊注水，已知左邊注水速度為每分鐘2升。注水3分鐘后，右邊水面高度已與隔板齊平。又經(jīng)過1.5分鐘，左邊水面高度也與隔板齊平。（1）水槽的容積是多少？（2）注滿水槽共需幾分鐘？【答案】（1）60升（2）7.5分鐘【分析】（1）設(shè)右邊每分鐘注水x升，根據(jù)有隔板的左右兩部分體積相等，當(dāng)3分鐘之后，右邊的水會流到左邊，那么3分鐘之后經(jīng)過的1.5分鐘左邊的水的注入量是右邊和左邊一起注入的，據(jù)此列方程解出右邊每分鐘注水多少。再根據(jù)長方體的體積公式變形a＝V÷b÷h，求出水槽左邊（或右邊）的長，進(jìn)而求出整個水槽的長，然后把數(shù)據(jù)代入體積公式解答。（2）用整個水槽的容積除以左右兩個水管每分鐘共注水的體積即可解答。【詳解】（1）解：設(shè)右邊每分鐘注水x升。3×2＋1.5×（2＋x）＝3x6＋1.5×2＋1.5x＝3x6＋3＋1.5x＝3x9＝3x－1.5x1.5x＝9x＝9÷1.5x＝63×6＝18（升）18升＝18000立方厘米18000÷6÷40＝3000÷40＝75（厘米）75×2＝150（厘米）150×40×10＝6000×10＝60000（立方厘米）60000立方厘米＝60升答：水槽的容積是60升。（2）60÷（2＋6）＝60÷8＝7.5（分鐘）答：注滿水槽共需7.5分鐘。【點睛】此題考查長方體的體積（容積）公式的靈活運(yùn)用及列方程解決問題的方法。【對應(yīng)練習(xí)1】有一個無水的長方體玻璃水缸，尺寸如左下圖所示，一個水龍頭從上午9：00開始向玻璃缸內(nèi)注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03關(guān)閉水龍頭停止注水。接著馬上在缸內(nèi)放入一個高為8厘米的長方體鐵塊，使之全部浸沒水中，玻璃缸的水面高度從注水到放入鐵塊的變化情況如下圖所示。（1）圖中點()的位置表示停止注水。（從A、B、C中選擇）（2）9：03時玻璃缸水面高度為多少厘米？（3）求出長方體鐵塊的底面積。【答案】（1）B；（2）30厘米；（3）200平方厘米【分析】（1）由圖可