2025年普通高等學校招生全國統一考試數學模擬試題1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。2.答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名及考號填寫在答題卡上。3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。A.{x|-1<x≤2}B.{x|-2<x≤0}C.{x|-2<x≤2}D.{x|-1<x≤0}3.已知向量m=(a,2,1),n=(2,-1,1),若(m-n)Ln,則a=4.已知,且,則tan2α=A.(-,-2)B.(一○,-2)C.數學·調研卷I第1頁(共4頁)A.f(10)>30B.f(20)>40C.f(10)<100參考數據：若X～N(μ,o2),則P0.9545,P(μ-3o≤X≤μ+3σ)=0.9973.A.若P(X≥2m+1)=P(X≤m-1),A.若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x,B.若a=1,則函數f(x)在(0,+一)上單調遞增C.若a>e2,則函數f(x)在(1,+一)上的最小值為a-alna-1D.若直線y=kx與雙紐線只有一個公共點，則實數k的取值范圍為(-○,-1)U[1,+一)|數學·調研卷I第2頁(共4頁)15.(本小題滿分13分)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,已知4S=√3(a2+b2-c2).(2)若c=3,求a+b的最大值.16.(本小題滿分15分)已知橢圓C滿足a2-b2=4,點M(2,3)為C上一點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若過點(2,0)的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點，求△OPQ面積的最大值17.(本小題滿分15分)ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.(1)求證：平面ACD⊥平面ABE;(2)若AB=BC=2,求該三棱錐外接球的體積；數學·調研卷I第3頁(共4頁)18.(本小題滿分17分)已知函數,其中m≠0.已知數列a?,a?,as,…,a,如果存在正整數k≤n,使得a?<ak,a?<ak,…,ak-1(1)若一個5項數列為-4,4,-2,2,6,則嘗試寫出所有該數列的階段最大值的k時刻；n≥2.數學參考答案及評分細則本套試卷是為了測試學生對高中階段數學學科所學知識的掌握程度和解決問題的能力而設計的。試卷內容涵蓋了高中學習階段數學學科的主干知識，旨在全面評估學生的學習水1.立足數學核心素養本套試卷涵蓋了數學的六大核心素養——數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，確保全方位考查學生的數學能力。例如，第6題通過對直線與平面所成角的考查，體現了對數學核心素養中直觀想象和數學運算的考查；第14題通過對一組數據概率的考查，體現了對數學核心素養中數據分析和數學運算的考查。2.考查基本方法和基本知識點本套試卷以全面考查學生的雙基為出發點，涵蓋了高中數學的重要知識點，且都是對基本知識的考查，例如，第9題，考查了正態分布的應用；第13題，考查了圓錐曲線的基本性質，第17題，考查了立體幾何中的外接球問題和二面角等，都是高中階段的基本知識和方法。3.命制試題亮點本套試卷中的第8,11題是整套試題的亮點題目，其中第8題考查在函數不等式的基礎上，研究特例函數(數列)的問題，以遞推數列為基礎，考查學生對新穎問題的探索與認知能力，考查學生在新背景、新問題、新知識下的辨別能力；第11題考查新定義下的曲線問題，讓學生在給出定義的基礎上，依靠自己的學習能力和分析能力得到該曲線的相關性質，旨在考查學生的應變能力和學習能力。題號123456789CBADDDCB,故選B.(2,-1,1)=0,即2(a-2)+3×(-1)=0,解得,故選A.,所以,sin(a-β)=,所以,則cos2α=cos[(α+β)+(α-β),所以,故選D.,當且僅,即x=1時等號成立，所以2+a≥0,解得a≥-2,故選D.6.D解析：根據題意，可得AC=2√2,分析可知點A到平面B?CD?的距離為點C?到平面B?CD?的距離的2倍，設點C?到平面B?CD?的距離為h,利用等體積法，Vc?B?cD?=VcB?c?D?,即,解得,所以點A到平面B?CD?的距離為,所以AC與平面B?CD?所成角的正弦值,故選D.7.C解析：根據題意，函數f(x)=3sin2x—cosx在區間[-π,2π]上的零點等價于函數M(x)=sin2x與的交點個數，畫出兩個函數圖象如圖所示，可得零點個數為5,故選C.f(1)+f(1)=4,f(3)>f(2)+f(1)>6,…,f(n)>f(n-1)+f(1)>2n,所以f(20)>40,故選項A不一定正確，選項B正確；此公式沒有明確函數關系的上界，所以選項C,D錯誤.9.ACD解析：對于A,根據正態分布的對稱性可知，2m+1+m-1=2×90,解得m=60,故0.97725,故選項C正確；對于D,4,故選項D正確，故選ACD.f(0))處的切線方程為y=2x,所以有f'(0)=2,即2-2a=2,解得a=0,故選項A錯誤；對于B,若a=1,則f'(x)=2e2-2=2(e2?-1),由f'(x)>0可得x>0,所以f(x)在(0,+一)上單調遞增，故選項B正確；對于C,f'(x)=2e2?-2a,當a>e2時，函數f(x)在(1,In√a)上單調遞減，在(In√a,+一)上單調遞增，故f(x)mn=f(In√a)=a-2aln√a-1=a-alna-1,故選項C正確；a-2aln√a-1=a-alna-1=h(a),因為h1=-Ina,分析可得，h(a)在(0,1)上單調遞增，在(1,+一)上單調遞減，所以h(a)≤0,所以a=1,故選項D正確，故選BCD.11.ACD解析：對于A,設雙紐線上任意一點M(x,y),則坐標滿足曲線方程為√(x+a)2+y2×√(x-a)2+y2=a2,即(x2+y2)2=2a2(x2-y2),則點M關于原點的對稱點M'(-x,-y)也適合曲線方程，所以雙紐線的圖象關于原點對稱，故選項A正確；對于B,雙紐線的方程為(x2+y2)2=2a2(x2-y2),故選項B錯誤；對于C,設雙紐線上任意一點P(x,y),當P為原點時，到原點的距離為0,滿足題意；當P不為原點時，x2+y,所以點P(x,y)到原點的距離d=√x2+y2≤√2a,且d>0,故選項C正確；對于D,直線y=kx恒過原點(0,0),且雙紐線經過(0,0),則直線與曲線至少有一個公共點，又因為y=kx與雙紐線只有一個公共點，故除原點外無其他公共點.聯立'消y得x?(1+k2)2-2a2x2(1-k2)=0,當1-k2=0時，方程x?=0僅一解x=0,滿足題意；當1-k2≠012.解析：根據題意，設函數,分析可得函數h(x)為奇函數，所以h(0)=0,即,解得,經驗證滿足題意，故實數a的值為13.√15解析：根據題意，點P在第一象限，所以|AP|<|BP|,因為△ABP為等腰三角形，則|AP|=|AB|=2a,設△ABP的外接圓半徑為r,則πr2=16πa2,可得r=4a,由正弦定理可得,所以直線PB的斜率為√15.123456123456的樣本點有6+5+4+3+2+1=21個；第二類：a=2時，滿足“a≤b≤c”的樣本點有5+4+3+2+1=15個；第三類：a=3時，滿足“a≤b≤c”的樣本點有4+3+2+1=10個；第四類：a=4時，滿足“a≤b≤c”的樣本點有3+2+1=6個；第五類：a=5時，滿足“a≤b≤c”的樣本點有2+1=3個；第六類：a=6時，滿足“a≤b≤c”的樣本點有1個.由分類加法計數原理，滿足“a≤b≤c”的樣本點共有21+15+10+6+3+1=56個，而總共有63=216個樣本點，因結果有限，且每個樣本點發生的可能性相等，故是古典概型.則“a≤b≤c”的概率為又C∈(0,π),所以…………………(6分)(2)因為c=3,利用余弦定理可得,即a2+b2-9=ab,………………………(9分),即(a+b)2≤36,當且僅當a=b=3時取等號，…………………………(12分)16.解：(1)設橢圓C的半焦距為c,左、右焦點分別為F?,F?,根據題意可知，c=2,……………(1分)所以F?(-2,0),F?(2,0),則|MF?|=5,|MF?|=3,故橢圓C的標準方程.…………(5分)(2)當直線L斜率為0時，不存在△OPQ,故設直線L的方程為x=my+2,………………(7分)整理得(3m2+4)y2+12my-36=0,則…………利用弦長公式可得,……………(10分)所以△OPQ的面積為所以△OPQ的面積為,………(13分)當t=1時，△OPQ的面積取得最大值為6,17.解：(1)因為平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,所以AB⊥平面BCD,因為BC=BD,點E為CD的中點，所以BE⊥CD,(3分)過點M做AB的平行線，在此線上取點O,使得OA=OB,則O為三棱錐A-BCD外接球的球心，分析可得外接球的半徑R=OA=√12+22=√5,……………(7分)所以三棱錐A-BCD外接球的體積為.…………………(9分)(3)如圖，以點B為坐標原點，直線AB,BD分別為z軸，x軸，建立空間直角坐標系，則B(0,0,0),CV3,-1,0),A(0,0,2),D(0,2,0),E),F(0,1,0),AB=(0,0,-2),),AF=(0,1,-2),CF=(-√3,2,0),…(11分)設平面ABE的法向量為n=(x?,y?,z?),則即取x?=1,則y?=-√3,z?=0,即，即，取x?=2,則y?=√3,所以,………(13分)設平面ABE與平面ACF的夾角為θ,所以平面ABE與平面ACF的夾角的余弦值為…………………(15分)18.解：(1)當時,令f'(x)>0可得x>3,令f'(x)<0可得x<3,所以函數f(x)在(-0,3)上單調遞減，在(3,+一)上單調遞增.……………(5分)分析可得，若函數f(x)只有唯一極值點，則函數無變號零點，令),即,………………………(7分)設函數所以函數g(x)在(-0,1)上單調遞增，在(1,+一)上單調遞減，作圖如下，所以可得，……………………(10分)由函數f(x)有三個極值點x?,X?,x?,分析可得,即有兩個不同于3的解，(12分)設的兩個解分別為x?,x?(x?<x?),令函