第28章《銳角三角函數》章節測試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．在△ABC中，∠A和∠C都是銳角，且sinA=32，tanC=3A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．不能確定2．如圖源于我國漢代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（

）A．34 B．43 C．853．如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分線ED交AC于點D，連接BD，若BC=26，則cos∠BDC的值是（A．65 B．57 C．674.如圖，點C是線段AB的中點，∠A=30°，∠DCB=45°，若AB=10，則BDA．210 B．35 C．435．構建幾何圖形解決代數問題是“數形結合”思想的重要應用．我們已經知道30°，45°，60°角的三角函數值，現在來求tan22.5°的值：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延長CB使BD=AB，連接AD，得∠D=22.5°．設AC=1，則BC=1，AB=AB=2=BD，所以A．3?2 B．2?3 C．36．如圖，網格中的點A、B、C、D都在小正方形頂點上，連接AB、CD交于點P，則∠BPC的正切值是（

）A．2 B．32 C．52 7．如圖，點C在線段AB上，等腰△ADC的頂角∠ADC=120°，點M是矩形CDEF的對角線DF的中點，連接MB，若AB=63，AC=6，則MB的最小值為（

A．9?23 B．9?22 C．8?238．如圖，矩形ABCD中，E為BC延長線上一點，連接AE、DE，若AE平分∠BED，AB=4，tan∠AEB=14，則△ADE的面積為（

A．12 B．17 C．20 D．219．學校某數學興趣小組想測學校旗桿高度如圖，明明在稻香園一樓A點測得旗桿頂點F仰角為45°，在稻香園二樓B點測得點F的仰角為37°．明明從A點朝旗桿方向步行4米到C點，沿坡度i=1:3的臺階走到點D，再向前走5米到旗桿底部E，已知稻香園AB高度為4.5米，則旗桿EF的高度約為（

）（參考數據：sin37°=0.6，cos37°=0.8，A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米10．如圖1是由四個全等的直角三角形組成的“風車”圖案，其中∠AOB=90°，延長直角三角形的斜邊恰好交于另一直角三角形的斜邊中點，得到如圖2，若IJ=2，則該“風車”的面積為（

A．2+1 B．22 C．4?2二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，∠DBC=∠A，若AC=4，tanA=34，則BD12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC邊的中點，過點D作DE⊥AB，垂足為E，如果AD=2，13．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個結論：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正確的結論有.14．如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上一點，∠AED=90°,∠EAD=30°,F是AD邊的中點，EF=4cm，則BE=cm15．如圖，光源A?3,2發出的一束光（y軸）上的點B的反射光線BC交x軸于點C?1,0，再被平面鏡（x軸），則直線CD的解析式為16．如圖，矩形ABCD中，AB:BC=3:5，將矩形ABCD繞點C順時針旋轉得到矩形CEGF，若點E在AD上，連接BF，DF，則BFDF值為三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）計算：(1)3sin30°·cos60°?tan18．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB的中點，BE⊥CD，垂足為E，BC=8，cos∠ABC=(1)求CD的長．(2)求∠DBE的正弦值．19．（8分）小強在學習“銳角三角函數”中發現，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值．你能說明小強這樣做的道理嗎？寫出你的說理過程！20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，將△ABC繞點C順時針旋轉60°得到△A′B′C′，其中點A(1)連接AA′，求證：(2)若BC=1，求點A到直線A′21．（8分）今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中AB=2km，明明位于游客中心A的西北方向的C處．烈日當空，媽媽準備把包里的太陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進．15分鐘后，他們再游客中心A的北偏西37°

(1)求媽媽步行的速度；(2)求明明從C處到D處的距離．22．（8分）【網格中的銳角三角函數】求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出（或構造出一個直角三角形，在網格中更有利于我們發現或構造一些直角三角形．(1)如圖，在邊長為1的正方形網格中，每個小正方形的頂點叫格點．△ABC的頂點都在格點上，則cos∠ABC的值為__________．(2)如圖，在邊長為l的正方形網格中，連接格點D,N和E,C，DN和EC相交于點P，結合下面的分析，直接寫出tan∠CPN的值為__________．【分析】觀察發現問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網格畫平行線等方法實現角的轉移，從而解決此類問題，比如連接格點M,N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到(3)如圖，在邊長為1的正方形網格中，AN與CM相交于點P，則sin∠CPN的值為__________．23．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊的中線，DE⊥BC于E，連接CD，點P在射線CB上（與B，C不重合）(1)如果∠A=30°①如圖1，DE與BE之間的數量關系是______②如圖2，點P在線段CB上，連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉60°，得到線段DF，連接BF，補全圖2猜想CP、BF之間的數量關系，并證明你的結論．(2)如圖3，若點P在線段CB的延長線上，且∠A=α0°<α<90°，連接DP，將線段DP繞點逆時針旋轉2α參考答案選擇題1．C【分析】本題考查了特殊角的三角函數，等邊三角形判定，利用特殊角的三角函數值得出∠A及∠C的度數，繼而可判斷△ABC的形狀．【詳解】解：由題意得，sinA=32，∴∠A=60°，∠C=60°，即△ABC是等邊三角形．故選：C．2．D【分析】本題主要考查了銳角三角函數，勾股定理等，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握銳角三角函數的定義，難點是設置適當的未知數，利用勾股定理構造方程求出三角形的邊．【詳解】解：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，設直角三角形中較短的直角邊為a，則較長的直角邊是a+1，其中a>0，由勾股定理得：a2整理得：a解得：a1=3，∴a+1=4，∴cosα=4故選：D．3．B【分析】本題考查了線段的垂直平分線，勾股定理，余弦函數的計算，設BD=AD=x，則CD=AC?BD=12?x，根據勾股定理12?x2【詳解】∵∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分線ED交AC于點D，BC=26∴設BD=AD=x，則CD=AC?BD=12?x，∴12?x2解得x=7，∴CD=12?x=5，∴cos∠BDC=故選：B．4．D【分析】本題考查了特殊角的三角函數值，勾股定理，過點D作DM⊥AB，交AB的延長線于點M，根據正切和勾股定理計算即可．【詳解】解：過點D作DM⊥AB，交AB的延長線于點M，∵點C是線段AB的中點，AB=10∴AC=CB=5，設DM=x，∵∠DCB=45°，∴CM=DM=x，BM=CM?CB=x?5，∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=解得x=5∴BM=x?5=5∴BD=D故選D．5．B【分析】本題考查了正切值的求解勾股定理，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB使BD=AB，連接AD，得∠D=15°，設AC=1，則BA=BD=2【詳解】解：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB使BD=AB，連接AD設AC=1，則BA=BD=2，∴CD=BC+BD=2+3在Rt△ACDtan15°=故選：B．6．A【分析】本題考查了正切函數，勾股定理，正方形的性質等，連接BE、AE，∠BDC=∠DBE=∠BED=∠AED=45°，由平行線的性質得∠BPC=∠ABE，由勾股定理求出AE、BE的長，由正切函數求出tan∠ABE的值；掌握正切函數的定義，作出輔助線使得∠BPC=∠ABE，構建直角三角形求解是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接BE、AE，由正方形的性質得：∠BDC=∠DBE=∠BED=∠AED=45°，∴BE∥CD，∴∠BPC=∠ABE，∴AE=22+BE=12+∴tan∠ABE=AEBE∴tan∠BPC=2故選：A．7．A【分析】本題主要考查了矩形的性質，線段垂直平分線的性質，特殊角的三角函數等知識．連接EC，過點M作MJ⊥CD于J，交AB于T，根據矩形的性質得DM=CM，從而得出點M的運動路徑，再利用特殊角的三角函數進行計算即可．【詳解】解：如圖，連接EC，過點M作MJ⊥CD于J，交AB于T，∵四邊形EFCD是矩形，點M是DF的中點，∴點M是DF，EC的交點，∴MD=MC，∵MJ⊥CD，∴DJ=JC，∴點M在CD的垂直平分線上運動，當BM⊥MJ時，BM的值最小，∵DA=DC，∠ADC=120°，AC=6，∴∠A=∠DCA=30°，∴CD=3∴CJ=DJ=3∴CT=CJ÷cos30°=2∵AB=63，AC=6∴BT=BC+CT=6∵∠CJT=90°，∠JCT=30°，∴∠BTM=60°，∴BM=BT?sin60°=∴MB的最小值為9?23故選：A．8．B【分析】由矩形的性質可得出AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，結合已知條件可得出∠DAE=∠AED，由等角對等邊可得出AD=DE，解直角三角形可得出BE=16，設AD=DE=BC=x，CE=16?x，利用勾股定理解出x，再根據三角形面積公式計算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BED，∴∠DEA=∠BEA∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE，∵tan∠AEB=ABBE=∴BE=16，設AD=DE=BC=x，∴CE=16?x，∵C∴4+16?x∴x=∴△ADE的面積：12故選∶B9．B【分析】本題考查的是解直角三角形的應用?仰角與俯角問題以及坡度問題，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．延長FE、AC交于點G，作DH⊥AG于H，BM⊥FE于M，則△AFG是等腰直角三角形，得FG=AG=BM，由CD的坡度得CH=3DH，設EG=DH=x米，則CH=3x米，BM=FG=AG=9+3x米，FM=4.5+3x米，在Rt△BFM中，由三角函數定義得出4.5+3x9+3x【詳解】解：如圖，延長FE、AC交于點G，作DH⊥AG于H，BM⊥FE于M，則BM=AG，GM=AB=4.5米，GH=DE=5米，EG=DH，∠MBF=37°，∠GAF=45°，∴△AFG是等腰直角三角形，∴FG=AG=BM，∵CD的坡度i=1:3，∴DHCH∴CH=3DH，設EG=DH=x米，則CH=3x米，∴BM=FG=AG=GH+CH+AC=5+3x+4=9+3x∴FM=FG?GM=9+3x?4.5=4.5+3x在Rt△BFM中，tan∠MBF=FM∴4.5+3x9+3x解得：x=3，∴FG=18米，EG=3米，∴EF=FG?EG=18?3=15米；故選：B．10．B【分析】連接AC,由題意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，進而說明△OAC為等腰直角三角形，再說明分CD、GI垂直平分AB，進而說明∠OBH=∠OHB=45°，然后再運用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面積，最后求風車面積即可．【詳解】解：如圖：連接AC由題意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC,∠OAB=∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC為等腰直角三角形又∵∠OAB=∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形頂角∠CAD的角平分線即∠DAJ=12∠CAD=1易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA=2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°設OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO∴IH設IH=（2?1∴IH+IA=2x=2∴S△ABH又∵S∴S△BOH∴S∴S風車故選B．二．填空題11．15【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，由銳角三角函數求出BC，再由銳角三角函數求出CD，利用勾股定理即可求出BD的長度，掌握解直角三角形是解題的關鍵．【詳解】解：∵∠C=90°，tanA=3∴BCAC∵AC=4，BC4∴BC=3，∵∠DBC=∠A，∴tan∠DBC=tanA=3∴CDBC即CD3∴CD=9∴BD=B故答案為：15412．5【分析】本題主要考查了解直角三角形，先由線段中點的定義得到AC=4，則由勾股定理可得BC=25，則cosB=BCAB=5【詳解】解：∵D是AC邊的中點，AD=2，∴AC=2AD=4，∵∠C=90°，∴由勾股定理得BC=A∴cosB=BC∵DE⊥AB，∴∠A+∠ADE=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，∴cos∠ADE=cosB=故答案為：5313．①②③④【分析】根據∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用銳角三角函數的定義可列式進行逐項判斷．【詳解】∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正確；sinβ=sinC，故②正確；∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=AC∴sinB=cosC，故③正確；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正確；故答案為①②③④．14．6【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解AD,再利用銳角三角函數依次求解AE,BE即可得到答案．【詳解】解：∵∠AED=90°,F是AD邊的中點，EF=4cm∴AD=2EF=8,∵∠DAE=30°,∴AE=cos30°×AD=8×3∵矩形ABCD，∴AD//∴∠AEB=∠DAE=30°,∴BE=AE·cos30°=4故答案為：6.15．y=?【分析】根據反射定律，∠ABD=∠CBE，設點B0,b，由tan∠ABD=tan∠CBE，得到2?b3=b1，得到直線AB的解析式，根據兩直線平行k值相等，設直線CD本題考查了待定系數法求一次函數解析式、正切定義，解題的關鍵是：設出點B坐標．【詳解】解：設點B的坐標為0,b，過點B作y軸的垂線，過點A作垂直于該直線的垂線相交于點D，作CE⊥BD，垂足為E，根據反射定律，∠ABD=∠CBE，∴tan∠ABD=tan∠CBE，∴2?b3=b∴B0,設直線AB的解析式為y=kx+m，將點A?3,2，B0,12代入得：∴直線AB的解析式為：y=?1∵AB∥CD，∴直線AB和CD解析式中的k值相等，設直線CD的解析式為y=?12x+n，將點C?1,0代入得：∴直線CD的解析式為：y=?1故答案為：y=?116．130【分析】過F作FP⊥CD于點P，交AB于點Q，由旋轉和矩形的性質可得：AB=CD=CF，BC=CE，∠ECF=∠BCD=90°，設AB=CD=CF=3a，則CE=BC=5a，根據勾股定理求出CD=4a，進而得到cos∠DEC=45，根據同角的余角相等可得∠DEC=∠PCF，推出cos∠PCF=PCCF=45，可求出PC=125a，進而求出PF、PD和【詳解】解：如圖，過F作FP⊥CD于點P，交AB于點Q，由旋轉和矩形的性質可得：AB=CD=CF，BC=CE，∠ECF=∠BCD=90°，∵AB:BC=3:5，∴設AB=CD=CF=3a，則CE=BC=5a，在Rt△CDE中，CD=∴cos∠DEC=DE∵∠DEC+∠DCE=90°，∠PCF+∠DCE=90°，∴∠DEC=∠PCF，∴cos∠PCF=cos∠DEC=PC∴PC=cos∠PCF·CF=4∴PF=CF2∴DF=P∵∠ABC=∠BCD=∠CPQ=90°，∴四邊形BCPQ是矩形，∴BQ=PC=125a∴QF=PQ+PF=5a+9a∴BF=B∴BFDF故答案為：1303三．解答題17．（1）3=3×==5（2）解：tan==318．（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cos∠ABC=∴cos∠ABC=BC∴AB=8×5∵D是邊AB的中點，∴CD=1所以CD的長為5．（2）解：∵D是斜邊AB的中點，∴CD=BD=1∴∠BCE=∠ABC，∴cos∠BCE=cos∠ABC=4∵BE⊥CD，∴cos∠BCE=CEBC=解得CE=32∴DE=CE?CD=7∴sin∠DBE=DE所以∠DBE的正弦值為72519．解：設AB=x，∵將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，∴AB=BE=x，∠AEB=∠EAB=45°，∴AE=2∵還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，∴AE=EF=2x，∴∠FAB=90°?22.5°=67.5°，∴tan∠FAB=tan20．（1）證明：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴AC=3∵將△ABC繞點C順時針旋轉60°得到△A∴CA=C′A′，∴△CBB′為等邊三角形，∴AA′=AC=∴AA（2）解：如圖，過點A作AD⊥A

∵BC=1，∴AC=3∴CD=1∵△CAA∴∠CAA∴∠CAD=30°．∵tan∠CAD=CD∴AD=3∴點A到直線A′C的距離為21．（1）解：根據題意可知：AB=2km∴BD=AB·tan37°≈2×0.75=1.5∴1.5÷15答：媽媽步行的速度為6km/h（2）解：如圖，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E，

∵∠CAE=45°,∠AEC=90°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE=CE，設AE=CE=akm過點D作DF⊥CE于點F，得矩形BEFD，∴EF=DB=1.5km，DF=BE=AE?AB=∴CF=CE?EF=a?1.5在Rt△CDF中，tan∠DCF=∴tan30