山東省德州市六校2024-2025學年初三下第三次考試數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠1）的對稱軸為直線x=2，與x軸的一個交點坐標為（4，1），其部分圖象如圖所示，下列結論：①拋物線過原點；②a﹣b+c＜1；③當x＜1時，y隨x增大而增大；④拋物線的頂點坐標為（2，b）；⑤若ax2+bx+c=b，則b2﹣4ac=1．其中正確的是（）A．①②③ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤2．已知⊙O的半徑為10，圓心O到弦AB的距離為5，則弦AB所對的圓周角的度數是（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°3．在△ABC中，∠C＝90°，，那么∠B的度數為（）A．60° B．45° C．30° D．30°或60°4．在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．某班體育委員對本班學生一周鍛煉(單位：小時)進行了統計，繪制了如圖所示的折線統計圖，則該班這些學生一周鍛煉時間的中位數是()A．10 B．11 C．12 D．136．人的頭發直徑約為0.00007m，這個數據用科學記數法表示（）A．0.7×10﹣4B．7×10﹣5C．0.7×104D．7×1057．下列四個多項式，能因式分解的是()A．a－1 B．a2＋1C．x2－4y D．x2－6x＋98．提出“金山銀山，不如綠水青山”，國家環保部大力治理環境污染，空氣質量明顯好轉，將惠及13.75億中國人，這個數字用科學記數法表示為（）A．13.75×106B．13.75×105C．1.375×108D．1.375×1099．如圖，直角邊長為的等腰直角三角形與邊長為3的等邊三角形在同一水平線上，等腰直角三角形沿水平線從左向右勻速穿過等邊三角形時，設穿過時間為t，兩圖形重合部分的面積為S，則S關于t的圖象大致為（）A． B．C． D．10．已知☉O的半徑為5，且圓心O到直線l的距離是方程x2-4x-12=0的一個根，則直線l與圓的位置關系是（）A．相交B．相切C．相離D．無法確定二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．下列圖形是用火柴棒擺成的“金魚”，如果第1個圖形需要8根火柴，則第2個圖形需要14根火柴，第根圖形需要____________根火柴.12．直線y=x與雙曲線y=在第一象限的交點為（a，1），則k=_____．13．從，0，π，3.14，6這五個數中隨機抽取一個數，抽到有理數的概率是____．14．如圖，菱形的邊，，是上一點，，是邊上一動點，將梯形沿直線折疊，的對應點為，當的長度最小時，的長為__________．15．正八邊形的中心角為______度．16．為了了解貫徹執行國家提倡的“陽光體育運動”的實施情況，將某班50名同學一周的體育鍛煉情況繪制成了如圖所示的條形統計圖，根據統計圖提供的數據，該班50名同學一周參加體育鍛煉時間的中位數與眾數之和為_____．17．若點A(1，m)在反比例函數y＝的圖象上，則m的值為________．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．求∠ABC的度數；求證：AE是⊙O的切線；當BC=4時，求劣弧AC的長．19．（5分）服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元；乙種每件進價60元，售價90元，計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件.（1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500，則甲種服裝最多購進多少件？（2）在（1）條件下，該服裝店在5月1日當天對甲種服裝以每件優惠a（0<a<20）元的價格進行優惠促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應如何調整進貨方案才能獲得最大利潤？20．（8分）在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在CD上，CF=AE，連接BF，AF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．21．（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為CD邊上一點，AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線．(1)作線段AB的垂直平分線交AB于點O，并以AB為直徑作⊙O(要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在(1)的條件下，⊙O交邊AD于點F，連接BF，交AE于點G，若AE＝4，sin∠AGF＝4522．（10分）如圖，某校準備給長12米，寬8米的矩形室內場地進行地面裝飾，現將其劃分為區域Ⅰ（菱形），區域Ⅱ（4個全等的直角三角形），剩余空白部分記為區域Ⅲ；點為矩形和菱形的對稱中心，，，，為了美觀，要求區域Ⅱ的面積不超過矩形面積的，若設米.甲乙丙單價（元/米2）（1）當時，求區域Ⅱ的面積.計劃在區域Ⅰ，Ⅱ分別鋪設甲，乙兩款不同的深色瓷磚，區域Ⅲ鋪設丙款白色瓷磚，①在相同光照條件下，當場地內白色區域的面積越大，室內光線亮度越好.當為多少時，室內光線亮度最好，并求此時白色區域的面積.②三種瓷磚的單價列表如下，均為正整數，若當米時，購買三款瓷磚的總費用最少，且最少費用為7200元，此時__________，__________.23．（12分）某電視臺的一檔娛樂性節目中，在游戲PK環節，為了隨機分選游戲雙方的組員，主持人設計了以下游戲：用不透明的白布包住三根顏色長短相同的細繩AA1、BB1、CC1，只露出它們的頭和尾（如圖所示），由甲、乙兩位嘉賓分別從白布兩端各選一根細繩，并拉出，若兩人選中同一根細繩，則兩人同隊，否則互為反方隊員．若甲嘉賓從中任意選擇一根細繩拉出，求他恰好抽出細繩AA1的概率；請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙兩位嘉賓能分為同隊的概率．24．（14分）為了計算湖中小島上涼亭P到岸邊公路l的距離，某數學興趣小組在公路l上的點A處，測得涼亭P在北偏東60°的方向上；從A處向正東方向行走200米，到達公路l上的點B處，再次測得涼亭P在北偏東45°的方向上，如圖所示．求涼亭P到公路l的距離．（結果保留整數，參考數據：≈1.414，≈1.732）

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、B【解析】

由拋物線的對稱軸結合拋物線與x軸的一個交點坐標，可求出另一交點坐標，結論①正確；當x=﹣1時，y＞1，得到a﹣b+c＞1，結論②錯誤；根據拋物線的對稱性得到結論③錯誤；將x=2代入二次函數解析式中結合4a+b+c=1，即可求出拋物線的頂點坐標，結論④正確；根據拋物線的頂點坐標為（2，b），判斷⑤．【詳解】解：①∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠1）的對稱軸為直線x=2，與x軸的一個交點坐標為（4，1），∴拋物線與x軸的另一交點坐標為（1，1），∴拋物線過原點，結論①正確；②∵當x=﹣1時，y＞1，∴a﹣b+c＞1，結論②錯誤；③當x＜1時，y隨x增大而減小，③錯誤；④拋物線y=ax2+bx+c（a≠1）的對稱軸為直線x=2，且拋物線過原點，∴c=1，∴b=﹣4a，c=1，∴4a+b+c=1，當x=2時，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，∴拋物線的頂點坐標為（2，b），結論④正確；⑤∵拋物線的頂點坐標為（2，b），∴ax2+bx+c=b時，b2﹣4ac=1，⑤正確；綜上所述，正確的結論有：①④⑤．故選B．本題考查的是二次函數圖象與系數的關系，二次函數y=ax2+bx+c系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定．2、D【解析】【分析】由圖可知，OA=10，OD=1．根據特殊角的三角函數值求出∠AOB的度數，再根據圓周定理求出∠C的度數，再根據圓內接四邊形的性質求出∠E的度數即可．【詳解】由圖可知，OA=10，OD=1，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=1，AD==，∴tan∠1=，∴∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴∠C=60°，∴∠E=180°-60°=120°,即弦AB所對的圓周角的度數是60°或120°，故選D．【點睛】本題考查了圓周角定理、圓內接四邊形的對角互補、解直角三角形的應用等，正確畫出圖形，熟練應用相關知識是解題的關鍵.3、C【解析】

根據特殊角的三角函數值可知∠A=60°，再根據直角三角形中兩銳角互余求出∠B的值即可.【詳解】解：∵，∴∠A=60°.∵∠C＝90°，∴∠B=90°-60°=30°.點睛：本題考查了特殊角的三角函數值和直角三角形中兩銳角互余的性質，熟記特殊角的三角函數值是解答本題的突破點.4、A【解析】

根據軸對稱圖形的概念判斷即可．【詳解】A、是軸對稱圖形；B、不是軸對稱圖形；C、不是軸對稱圖形；D、不是軸對稱圖形．故選：A．本題考查的是軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．5、B【解析】

根據統計圖中的數據可以求得本班的學生數，從而可以求得該班這些學生一周鍛煉時間的中位數，本題得以解決．【詳解】由統計圖可得，本班學生有：6+9+10+8+7=40（人），該班這些學生一周鍛煉時間的中位數是：11，故選B．本題考查折線統計圖、中位數，解答本題的關鍵是明確題意，會求一組數據的中位數．6、B【解析】

絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】解：0.00007m，這個數據用科學記數法表示7×10﹣1．故選：B．本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．7、D【解析】試題分析：利用平方差公式及完全平方公式的結構特征判斷即可．試題解析：x2-6x+9=（x-3）2．故選D．考點：2．因式分解-運用公式法；2．因式分解-提公因式法．8、D【解析】

用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|<10，n為整數，據此判斷即可．【詳解】13.75億=1.375×109.故答案選D.本題考查的知識點是科學記數法，解題的關鍵是熟練的掌握科學記數法.9、B【解析】

先根據等腰直角三角形斜邊為2，而等邊三角形的邊長為3，可得等腰直角三角形沿水平線從左向右勻速穿過等邊三角形時，出現等腰直角三角形完全處于等邊三角形內部的情況，進而得到S關于t的圖象的中間部分為水平的線段，再根據當t=0時，S=0，即可得到正確圖象【詳解】根據題意可得，等腰直角三角形斜邊為2，斜邊上的高為1，而等邊三角形的邊長為3，高為，故等腰直角三角形沿水平線從左向右勻速穿過等邊三角形時，出現等腰直角三角形完全處于等邊三角形內部的情況，故兩圖形重合部分的面積先增大，然后不變，再減小，S關于t的圖象的中間部分為水平的線段，故A，D選項錯誤；當t＝0時，S＝0，故C選項錯誤，B選項正確；故選：B本題考查了動點問題的函數圖像，根據重復部分面積的變化是解題的關鍵10、C【解析】

首先求出方程的根,再利用半徑長度,由點O到直線a的距離為d,若d<r,則直線與圓相交;若d=r,則直線與圓相切;若d>r,則直線與與圓相離.【詳解】∵x2-4x-12=0，

(x+2)(x-6)=0，

解得:x1=-2(不合題意舍去)，x2=6，

∵點O到直線l距離是方程x2-4x-12=0的一個根，即為6，

∴點O到直線l的距離d=6，r=5，

∴d＞r，

∴直線l與圓相離.故選：C本題考核知識點：直線與圓的位置關系.解題關鍵點：理解直線與圓的位置關系的判定方法.二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、【解析】

根據圖形可得每增加一個金魚就增加6根火柴棒即可解答.【詳解】第一個圖中有8根火柴棒組成，第二個圖中有8+6個火柴棒組成，第三個圖中有8+2×6個火柴組成，……∴組成n個系列正方形形的火柴棒的根數是8+6（n-1）=6n+2.故答案為6n+2本題考查數字規律問題，通過歸納與總結，得到其中的規律是解題關鍵.12、1【解析】分析：首先根據正比例函數得出a的值，然后將交點坐標代入反比例函數解析式得出k的值．詳解：將(a，1)代入正比例函數可得：a=1，∴交點坐標為(1，1)，∴k=1×1=1．點睛：本題主要考查的是利用待定系數法求函數解析式，屬于基礎題型．根據正比例函數得出交點坐標是解題的關鍵．13、【解析】分析：由題意可知，從，0，π，3.14，6這五個數中隨機抽取一個數，共有5種等可能結果，其中是有理數的有3種，由此即可得到所求概率了.詳解：∵從，0，π，3.14，6這五個數中隨機抽取一個數，共有5種等可能結果，其中有理數有0，3.14，6共3個，∴抽到有理數的概率是：．故答案為．點睛：知道“從，0，π，3.14，6這五個數中隨機抽取一個數，共有5種等可能結果”并能識別其中“0，3.14，6”是有理數是解答本題的關鍵.14、【解析】如圖所示，過點作，交于點.在菱形中，∵，且，所以為等邊三角形，．根據“等腰三角形三線合一”可得，因為，所以．在中，根據勾股定理可得，．因為梯形沿直線折疊，點的對應點為，根據翻折的性質可得，點在以點為圓心，為半徑的弧上，則點在上時，的長度最小，此時，因為．所以，所以，所以．點睛:A′為四邊形ADQP沿PQ翻折得到，由題目中可知AP長為定值，即A′點在以P為圓心、AP為半徑的圓上，當C、A′、P在同一條直線時CA′取最值，由此結合直角三角形勾股定理、等邊三角形性質求得此時CQ的長度即可.15、45°【解析】

運用正n邊形的中心角的計算公式計算即可.【詳解】解：由正n邊形的中心角的計算公式可得其中心角為，故答案為45°.本題考查了正n邊形中心角的計算.16、17【解析】∵8是出現次數最多的，∴眾數是8，∵這組數據從小到大的順序排列，處于中間位置的兩個數都是9，∴中位數是9，所以中位數與眾數之和為8+9=17.故答案為17小時.17、3【解析】試題解析：把A（1，m）代入y＝得：m=3.所以m的值為3.三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）60°;(2)證明略;(3)【解析】

（1）根據∠ABC與∠D都是劣弧AC所對的圓周角，利用圓周角定理可證出∠ABC=∠D=60°；

（2）根據AB是⊙O的直徑，利用直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，結合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，從而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切線；

（3）連結OC，證出△OBC是等邊三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半徑等于4，可得劣弧AC所對的圓心角∠AOC=120°，再由弧長公式加以計算，可得劣弧AC的長．【詳解】（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切線；（3）如圖，連接OC，∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC=4，∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的長為==．本題考查了切線長定理及弧長公式，熟練掌握定理及公式是解題的關鍵.19、（1）甲種服裝最多購進75件,（2）見解析.【解析】

（1）設甲種服裝購進x件，則乙種服裝購進（100-x）件，然后根據購進這100件服裝的費用不得超過7500元，列出不等式解答即可；（2）首先求出總利潤W的表達式，然后針對a的不同取值范圍進行討論，分別確定其進貨方案．【詳解】（1）設購進甲種服裝x件，由題意可知：80x+60（100-x）≤7500，解得x≤75答：甲種服裝最多購進75件,（2）設總利潤為W元，W=（120-80-a）x+（90-60）（100-x）即w=（10-a）x+1．①當0＜a＜10時，10-a＞0，W隨x增大而增大，∴當x=75時，W有最大值，即此時購進甲種服裝75件，乙種服裝25件；②當a=10時，所以按哪種方案進貨都可以；③當10＜a＜20時，10-a＜0，W隨x增大而減小．當x=65時，W有最大值，即此時購進甲種服裝65件，乙種服裝35件．本題考查了一元一次方程的應用，不等式的應用，以及一次函數的性質，正確利用x表示出利潤是關鍵．20、（1）證明見解析（2）【解析】分析：（1）由已知條件易得BE=DF且BE∥DF，從而可得四邊BFDE是平行四邊形，結合∠EDB=90°即可得到四邊形BFDE是矩形；（2）由已知易得AB=5，由AF平分∠DAB，DC∥AB可得∠DAF=∠BAF=∠DFA，由此可得DF=AD=5，結合BE=DF可得BE=5，由此可得AB=8，結合BF=DE=4即可求得tan∠BAF=.詳解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四邊形BFDE是矩形；（2）在Rt△BCF中，由勾股定理，得AD=，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．∵AF平分∠DAB∴∠DAF=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴DF=AD=5,∵四邊形BFDE是矩形，∴BE=DF=5，BF=DE=4，∠ABF=90°，∴AB=AE+BE=8，∴tan∠BAF=．點睛：（1）熟悉平行四邊形的性質和矩形的判定方法是解答第1小題的關鍵；（2）能由AF平分∠DAB，DC∥AB得到∠DAF=∠BAF=∠DFA，進而推得DF=AD=5是解答第2小題的關鍵.21、（1）作圖見解析；（2）⊙O的半徑為52【解析】

（1）作出相應的圖形，如圖所示；（2）由平行四邊形的對邊平行得到AD與BC平行，可得同旁內角互補，再由AE與BE為角平分線，可得出AE與BE垂直，利用直徑所對的圓周角為直角，得到AF與FB垂直，可得出兩銳角互余，根據角平分線性質及等量代換得到∠AGF=∠AEB，根據sin∠AGF的值，確定出sin∠AEB的值，求出AB的長，即可確定出圓的半徑．【詳解】解：(1)作出相應的圖形，如圖所示(去掉線段BF即為所求)．(2)∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°.∵AE與BE分別為∠DAB與∠CBA的平分線，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°.∵AB為⊙O的直徑，點F在⊙O上，∴∠AFB＝90°，∴∠FAG＋∠FGA＝90°.∵AE平分∠DAB，∴∠FAG＝∠EAB，∴∠AGF＝∠ABE，∴sin∠ABE＝sin∠AGF＝45＝AE∵AE＝4，∴AB＝5，∴⊙O的半徑為52此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：圓周角定理，平行四邊形的判定與性質，角平分線性質，以及銳角三角函數定義，熟練掌握各自的性質及定理是解本題的關鍵．22、（1）8m2;（2）68m2;(3)40，8【解析】

（1）根據中心對稱圖形性質和,,,可得,即可解當時，4個全等直角三角形的面積；（2）白色區域面積即是矩形面積減去一二部分的面積，分別用含x的代數式表示出菱形和四