試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學解答題系列：四邊形綜合1．如圖，在中，點是邊上的中點．(1)請僅僅用無刻度直尺作圖，畫出邊的中點．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，線段與相交于點，求證：．2．通過學習，同學們知道，我們可以通過平行四邊形轉移邊和角等信息，根據你的學習，完成下面的問題．如圖，已知垂直平分線段，，．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長．(3)已知，如圖，四邊形中，，，，請寫出圖中與相等的線段，并證明．3．請用無刻度的直尺完成畫圖，保留作圖痕跡，不要求說明理由．(1)在圖1中，作中邊上的中線；(2)在圖2中，作中邊上的高；(3)在圖3中，找到點，連接，使得四邊形為平行四邊形，并且過點作直線使其平分平行四邊形的面積．4．如圖，在平面直角坐標系中，是原點，四邊形是邊長為5的正方形，點，分別在軸，軸正半軸上，為邊上任意一點（不與點，重合），連接，過點作，交于點，且，過點作，交于點，連接，，設．(1)求點的坐標：（用含的代數式表示）(2)試判斷線段的長是否隨點位置的變化而變化，并說明理由．5．如圖，點M是正方形的邊上一點，連接，點E是線段上一點，的平分線交延長線于點F．(1)圖1，若G為的中點，延長至N，使，連接，且，連接，求證：四邊形為菱形；(2)如圖2，若點E為線段的中點，，求的長；(3)如圖3，若，求證：．6．已知平行四邊形為邊上的中點，為邊上的一點．(1)如圖，連接并延長交的延長線于點，求證：；(2)如圖，若，求；(3)如圖，若為的中點，為的中點，，求線段的長．7．已知在菱形中，．(1)如圖1．過點作點，連接，點是線段的中點，連接，若，求線段的長度；(2)如圖2，連接．若，點是對角線上的一個動點，求的最小值．8．如圖，在矩形中，，點P在邊上以每秒的速度從點A向點D運動，點Q在邊上，以每秒的速度從點C出發在之間往返運動，兩個動點同時出發，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止運動），設運動時間為t秒．(1)用含t的式子表示線段的長度：_______．(2)當時，運動時間t為多少秒時，以A、P、Q、B為頂點的四邊形是矩形．(3)當時，以P、D、Q、B為頂點的四邊形有沒可能是平行四邊形？若有，請求出t；若沒有，請說明理由．9．如圖，四邊形是平行四邊形．

(1)尺規作圖：作的角平分線，交于E；作的角平分線，交于F；（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作圖中，經過學習小組討論發現，請給出以下證明，請將證明過程補充完整．證明：平分，，平分，①，四邊形為平行四邊形，②，，，即，③，，，，，，，④，．10．在如圖所示的平面直角坐標系中，正方形邊長為2，點C的坐標為．(1)如圖1，動點D在邊上，將沿直線折疊，點B落在點處，連接并延長，交于點E．①當時，點D的坐標是；②若點E是線段的中點，求此時點D與點的坐標；(2)如圖2，動點D，G分別在邊，上，將四邊形沿直線折疊，使點B的對應點始終落在邊上（點不與點O，A重合），點C落在點處，交于點E．設，四邊形的面積為S，直接寫出S與t的關系式．11．【問題情境】已知在四邊形中，為邊上一點（不與點重合），連接，將沿折疊得到，點的對應點為點．【問題初探】（1）如圖（1），若四邊形是正方形，點落在對角線上，連接并延長交于點，直接寫出的度數：___________和的度數：___________．【拓展變式】（2）如圖（2），若四邊形是矩形，點恰好落在的垂直平分線上，與交于點．求證：是等邊三角形；【問題解決】（3）如圖（3），若四邊形是平行四邊形，，點落在線段上，為的中點，連接，求的面積．12．已知平行四邊形中，對角線、相交于點O，．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，，過點C作于點F，連接，過點A作交于點E，求證：．(3)如圖3，在（1）的條件下，點P是直線上的一個動點，將線段繞點A順時針旋轉得到線段，連接，當的值最小時，請直接寫出的面積．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學解答題系列：四邊形綜合》參考答案1．(1)作圖見詳解(2)證明過程見詳解【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質，中位線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，掌握平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質是關鍵．（1）根據平行四邊形的判定和性質作圖即可求解；（2）如圖所示，連接，可得，即，證明，得到，由此即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接交于點，連接并延長，交于點，連接交于點，連接并延長交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴點是中點，，，又點是邊上的中點，∴，，同理，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，同理，點是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴點即為所求線段的中點；（2）證明：如圖所示，連接，∵點是邊上的中點，點是邊上的中點，∴，即∴，∴，∴．2．(1)證明見解析；(2)；(3)，理由見解析．【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，勾股定理的應用，等腰三角形的判定等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．（）先證得，求得，從而得到，所以，因為，，所以即可證得；（）先證得平行四邊形是菱形，然后根據勾股定理即可求解；（）過作，交與點，過作于點，于點，連接，四邊形是平行四邊形，則，，再證明，所以，然后證明，根據性質可得，由平行線的性質可得，最后利用等角對等邊即可求證．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形，∴，∵，設，則，∴，即解得：，∴，∴；（3）解：，理由：如圖，過作，交與點，過作于點，于點，連接，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．3．(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查復雜作圖，熟練掌握矩形的性質和平行四邊形的判定與性質是解答本題的關鍵．（1）取格點，連接，交于點，則點為的中點，連接，則即為所求；（2）取格點，連接，則，取格點，連接，交于點，構造，則，即為邊上的高；（3）取格點，連接，與交于點，過點作直線即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，為邊上的高；（3）解：如圖，點，直線即為所作；4．(1)(2)線段的長不隨點位置的變化而變化，為定值5，理由見詳解【分析】本題主要考查了正方形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，坐標與圖形，平行四邊形的性質與判定等知識點，解題的關鍵是熟練掌握以上性質和判定，并靈活應用．（1）作軸于，則，先證出，再證明，得出，，求出，即可得出點的坐標；（2）連接，與交于點，先證明四邊形是正方形，得出，，再證出四邊形是平行四邊形，即可得出．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作軸于，則，，，四邊形是正方形，，，，，，，，在和中，，，，，，點的坐標為；（2）解：線段的長不隨點位置的變化而變化，為定值5，理由如下：如圖所示，連接與交于點，，，，四邊形是矩形，又，，四邊形是正方形，，，四邊形是平行四邊形，．線段的長不隨點位置的變化而變化，為定值5．5．(1)見解析(2)(3)見解析【分析】本題考查了正方形的性質，菱形的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理等，綜合性較強，能夠根據題意準確作出輔助線是解題的關鍵．（1）由中點定義得出，繼而利用對角線互相平分證明四邊形為平行四邊形，由等角對等邊得出，即可根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行證明；（2）設，可得，，再根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得的長度，進而利用勾股定理進行求解即可；（3）過點A作交延長線于H，過點D作于點P，先證明是等腰直角三角形，得到，再證明，把化為，從而三條線段放在了等腰直角三角形中即可證明．【詳解】（1）解：∵G為的中點，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴四邊形為菱形；（2）解：∵四邊形是正方形，∴，∵在中，點E為斜邊的中點，，∴，由勾股定理得，即，∴，∴；（3）證明：過點A作交延長線于H，過點D作于點P，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質，菱形的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理等，綜合性較強，能夠根據題意準確作出輔助線是解題的關鍵．6．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到，根據平行線的性質得到，根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；（2）根據平行四邊形的性質得到，連接并延長交的延長線于點，由（1）可得推出，根據等腰三角形的性質得到，根據平行線的性質即可得到結論；（3）連接并延長交的延長線于點，由（1）可得，根據等腰三角形的性質得到，求得，根據平行線的性質得到，得到為直角三角形，設，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，為邊上的中點，，，；（2）解：四邊形是平行四邊形，，連接并延長交的延長線于點，由（1）可得，，，，，，，；（3）解：連接并延長交的延長線于點，由（1）可得，，，，，，，，，為直角三角形，為的中點，為的中點，設，，，，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定與性質，等邊對等角，勾股定理，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．7．(1)(2)【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性質求出，從而得到，利用勾股定理求出，再運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案；（2）過點在直線的上方作，分別過點、作于點，于點，交于點，連接，則，，當點與重合時，的值最小，當點與重合時，．再根據菱形性質和等腰直角三角形性質即可求得答案．【詳解】（1）解：，，則，，，，在菱形中，，在中，，點是線段的中點，；（2）如圖，過點在直線的上方作，分別過點、作于點，于點，交于點，連接，則，由菱形的性質可知，、關于直線對稱，，，當點與重合時，的值最小，當點與重合時，．當點與不重合時，．四邊形是菱形，，，又，，，∴，則，∵，，即的最小值是．的最小值是．【點睛】本題是菱形綜合題，考查的是軸對稱最短路徑問題、點到直線的距離垂線段最短，菱形的性質、直角三角形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等，掌握軸對稱最短路徑的確定方法、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．8．(1)(2)(3)有可能，【分析】本題主要考查了矩形的性質，平行四邊形的性質，正確根據題意列出方程求解是解題的關鍵．（1）先根據題意求出，再由即可求出答案；（2）根據矩形的性質得到，由此建立方程求解即可；（3）利用平行四邊形的性質得到，然后分兩種情況分析：當時，點從點向點運動；當時，點從點向點運動，列出方程求解即可．【詳解】（1）解；由題意得，∴，故答案為：；（2）四邊形是矩形，∴，，當時，四邊形是矩形，當時，點從點向點運動，，解得；（3）以、、、為頂點的四邊形有可能是平行四邊形，∵，當時，四邊形是平行四邊形，當時，點從點向點運動，由得，解得；當時，點從點向點運動，由得，解得，

綜上所述：．9．(1)見詳解；(2)①；②；③；④四邊形為平行四邊形【分析】本題考查了尺規作圖，平行四邊形的性質以及判定，熟記相關定理內容是解題關鍵．（1）以點為圓心，任意長為半徑畫弧與、相交，再以兩交點為圓心，任意長為半徑畫弧即可作出的角平分線；同法可作出的角平分線；（2）根據推理過程即可求解；【詳解】（1）解：如圖，、為所作；

（2）證明：平分，，平分，，四邊形為平行四邊形，，，，即，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，．故答案為：①；②；③；④四邊形為平行四邊形．10．(1)①；②點的坐標為，點的坐標為(2)【分析】（1）①由折疊的性質得出，則可得出答案；②連接．證明，得出，設，則，由勾股定理可求出點坐標，證出，由可得出答案；（2）連接，設，則，設，則，解得．由梯形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）解：①∵正方形邊長為2，點的坐標為，，∵將沿直線折疊，，又∵，，，∴點的坐標是，故答案為：；②如圖，連接，∵點是線段的中點，，由折疊的性質可得，又∵，，在和中，，∴，，設點的坐標為，則，，，在中，，，解得，∴點的坐標為，，，又，，，，∴點的坐標為．（2）解：如圖，連接，設，則．設，則，在中，，，解得，，設，則，在中，．在中，，由折疊可知垂直平分，，，即，解得：，，，即．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．11．（1），；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據正方形的性質，得到，由折疊的性質可知，，，進而推出，即可求出的度數；再根據等邊對等角和三角形外角的性質，即可求出的度數；（2）根據垂直平分線的性質和折疊的性質，得到，取的中點，連接，證明是等邊三角形，得出，進而推出，即可證明結論；（3）連接，延長、交于點G，先證明為等邊三角形，再解直角三角形，得到，，根據平行四邊形的性質證明，從而得出，即可求出的面積．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，，由折疊的性質可知，，，，，，由折疊的性質可知，，，，故答案為：，；（2）證明：垂直平分線段，，，，由折疊的性質可知，，，，如圖，取的中點，連接，，，是等邊三角形，，，即，，，，，為等邊三角形；（3）解：如圖，連接，延長、交于點G，，，由折疊的性質得，，為等邊三角形，為