2025年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練--二次函數(shù)1.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、C，與y軸交于點(diǎn)B，并且經(jīng)過(guò)不同的兩點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，總有．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接．

(1)求b的值；(2)請(qǐng)求出四邊形的面積；(3)直線l繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與直線重合時(shí)終止運(yùn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線l與線段交于點(diǎn)P，點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)．①過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中的大小是否發(fā)生變化，若不變化，求出的度數(shù)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；②在①的條件下，連接，直接寫(xiě)出線段的最小值．2．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．3.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線M：的頂點(diǎn)為A．(1)如圖1，若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)在拋物線M上，求t的值；(2)如圖2，若，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、C，用b表示點(diǎn)A到直線l的距離d，并求出d取得最小值時(shí)拋物線M的解析式；(3)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)P叫做“整點(diǎn)”，如點(diǎn)，都是“整點(diǎn)”．若，當(dāng)拋物線與其關(guān)于x軸對(duì)稱拋物線所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有9個(gè)整點(diǎn)，求a的取值范圍．4.如圖1，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，與軸的交點(diǎn)為，，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與直線相交于點(diǎn).圖1 圖2 備用圖（1）如圖2，若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn).①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值；（2）拋物線的頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)問(wèn)與能否相等？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由.5．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接．（1）求此拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)作軸，與拋物線交于點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，連接，，將沿著翻折，得，若四邊形恰好為正方形，直接寫(xiě)出的值．6.如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣1，0），C（2，3），拋物線與y軸的焦點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)焦點(diǎn)為D，點(diǎn)M為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)線段PM的長(zhǎng)為1，當(dāng)t為何值時(shí)，1的長(zhǎng)最大，并求最大值；（先根據(jù)題目畫(huà)圖，再計(jì)算）（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，△PAD的面積最大？并求最大值；（4）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使△PAD為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．7.在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，且．(1)若拋物線與軸交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，且．直接寫(xiě)出的大小關(guān)系．(2)當(dāng)時(shí)，拋物線與軸交于點(diǎn)，作直線．①求拋物線的解析式．②如圖2，點(diǎn)是線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)問(wèn)線段是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．③如圖3，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作線段（點(diǎn)在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．8．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)，使，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（3，0），D（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OB=OD．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，連接BE，AB，請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使∠QBA=∠BEM，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接BF，點(diǎn)G是x軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)B，F(xiàn)，G，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10.如圖，直線y＝﹣x+n與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．（1）求拋物線的解析式．（2）M是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)連接BM，CM，求BM+CM的最小值．（3）若E（m，0）為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線ED⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)P，連接BP，BC，當(dāng)∠PBD+∠CBO＝45°時(shí)，請(qǐng)求出m的值．11．如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)小B，與y軸分別交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式并確定形狀；（2）點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作交于D，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是位于線段上方的拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)恰好等于中的某個(gè)角時(shí)，直接寫(xiě)出M的坐標(biāo)．12.如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為其頂點(diǎn)，對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)D，拋物線上C、E兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)G是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)G，使△ODG與△CGE相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）平移拋物線，其頂點(diǎn)P在直線y＝x+3上運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)后的拋物線與直線y＝x+3的另一交點(diǎn)為M，與原對(duì)稱軸l交于點(diǎn)Q，當(dāng)△PMQ是以PM為直角邊的直角三角形時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．13．已知拋物線，其頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若直線：與拋物線第一象限交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的值；（3）若有兩個(gè)定點(diǎn)，，請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，并求出周長(zhǎng)的最小值．14.如圖，二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），與x軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（3，0）．點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式；（2）連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C．若四邊形POP′C為菱形，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ACPB的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積．15．已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），點(diǎn)D是該拋物線在第四象限上的一個(gè)點(diǎn)，連接AD、AC、CD，CD交x軸于E．（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）當(dāng)S△DAE=S△ACD時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAD中的一個(gè)角等于2∠BAD?若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)S△NBC=S△ABC時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）問(wèn)的條件下，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸，動(dòng)點(diǎn)P（m，3）在直線l上，動(dòng)點(diǎn)Q（m，0）在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當(dāng)m為何值時(shí)，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．

參考答案1.(1)(2)15(3)①不變化，；②2.解：（1）依題意得：，解之得：，∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3【喂，可由A（1，0），對(duì)稱軸為直線x=﹣1，得B（-3,0），也可設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x+3),把C（0，3）代入，求得a=-1拋物線解析式為y=-(x-1)(x+3)=﹣x2﹣2x+3.】∵對(duì)稱軸為x=﹣1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，得，解之得：，∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；（2）設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=﹣1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直線y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為（﹣1，2）；設(shè)P（﹣1，t），∵B（﹣3，0），C（0，3），由勾股定理或兩點(diǎn)之間距離公式，得：∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；綜上所述P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．3.(1)(2)當(dāng)時(shí)，d有最小值，此時(shí)拋物線M的解析式為(3)4.解：（1）①拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，把代入，得，解得：，，該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；②設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，直線的解析式為，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，，解得：，，，，，，的值為.（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6或或或.附答案如下：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，①如圖2-1，當(dāng)，存在，圖2-1設(shè)，，則，，，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，在中，，，.②如圖2-2中，當(dāng)時(shí)，存在.圖2-2過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同法，，.圖③如圖2-3中，當(dāng)時(shí)，存在，圖2-3，，，，，同法，，.④當(dāng)時(shí)，同法，，圖2-4綜上所述.點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6或或或.5．（1）；（2）①點(diǎn)坐標(biāo)為或；②或6.解：（1）把點(diǎn)B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，則有，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，∴D（3，0），且A（0，3），∴直線AD解析式為y=﹣x+3，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∵0＜t＜3，∴點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，∴l(xiāng)=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時(shí)，l有最大值，l最大=；∵S△PAD=×PM×（xD﹣xA）=PM，∴PM的值最大時(shí)，△PAD的面積中點(diǎn)，最大值=×=．∴t=時(shí)，△PAD的面積的最大值為．（4）如圖設(shè)AD中點(diǎn)為K，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）．∵△PAD是直角三角形，∴PK=AD，∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2=×18，整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0，解得t=0或3或，∵點(diǎn)P在第一象限，∴t=.7.(1)(2)①；②存在最大值，的面積最大值為：，此時(shí)；③滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍為：或8．（1）；（2）存在，，9.解：（1）把A（3，0），D（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c得到，解得，、∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）如圖1中，∵y=﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），∵A（3，0），B（0，1），∴直線BE的解析式為y=3x+1，直線AB的解析式為y=﹣x+1，∵3×（﹣）=﹣1，∴BE⊥AB，作BQ⊥EM交EM于Q，∵∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，∴∠ABQ=∠BEM，滿足條件，此時(shí)Q（1，1）．當(dāng)點(diǎn)Q在AB的下方時(shí)，設(shè)Q（1，m），AB交EM于K．易知K（1，）∵∠QBK=∠BEM，∠BQ′K=∠BQ′E，∴△Q′BK∽△Q′EB，∴Q′B2=Q′K?Q′E，∴12+（m﹣1）2=（﹣m）?（4﹣m），解得m=，∴Q（1，），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，1）或（1，）．（3）如圖3中，由題意知當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為±2時(shí)，以點(diǎn)B，F(xiàn)，G，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，當(dāng)y=2時(shí)，﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，可得N1（1+，2），N4（1﹣，2），當(dāng)y=﹣2時(shí)，﹣x2+2x+3=﹣2，解得x=1±，可得N2（1+，﹣2），N3（1﹣，﹣2），當(dāng)N與E重合，G與M重合時(shí)，四邊形BNFG是平行四邊形，此時(shí)N5（1，4），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（1+，2）或（1﹣，2）或（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）或（1，4）．10.（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）BM+CM的最小值為；（3）或511．（1），直角三角形；（2）；（3）M點(diǎn)坐標(biāo)為或12.解：（1）用兩點(diǎn)式表示函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝3，函數(shù)對(duì)稱軸為x＝1，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)E的坐標(biāo)（2，3）；（2）如圖2，設(shè)GO＝n，則CG＝3﹣n，△ODG與△CGE相似，則，或，其中OD＝1，CE＝2，GO＝n，則CG＝3﹣n，將上述數(shù)值代入比例關(guān)系得：n＝1或2，即點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，1）或（0，2）；（3）設(shè)圖象向左平移m個(gè)單位，則沿y＝x+3，相當(dāng)于向下同時(shí)平移了m個(gè)單位，則平移后點(diǎn)P坐標(biāo)（1﹣m，4﹣m），平移后拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x+m﹣1）2+（4﹣m）…①，當(dāng)x＝1時(shí)，y=﹣（1+m﹣1）2+（4﹣m）＝﹣m2﹣m+4，即點(diǎn)Q（1，﹣m2﹣m+4），直線表達(dá)式為y＝x+3…②，聯(lián)立①②并求解得：M（﹣m，3﹣m），直線PM表達(dá)式中的k值為：＝1，同理直線PQ表達(dá)式中的k值為：﹣m，同理直線PM表達(dá)式中的k值為：1﹣m，①當(dāng)∠MPQ＝90°時(shí)，1×（﹣m）＝﹣1，解得：m＝1，②當(dāng)∠PMQ＝90°時(shí)，同理可得：m＝2，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，2）或（1，﹣2）．13．（1）；（2）的值為45°；（3）的周長(zhǎng)的最小值為14.解：（1）將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，二次函數(shù)的解析是為y=﹣x2+2x+3；（2）若四邊形POP′C為菱形，則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上，如圖1，連接PP′，則PE⊥CO，垂足為E，∵C（0，3），∴E（0，），∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，當(dāng)y=時(shí)，即﹣x2+2x+3=，解得x1=，x2=（不合題意，舍），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）如圖2，P在拋物線上，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得．直線BC的解析為y=﹣x+3，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，OA=1，AB=3﹣（﹣1）=4，S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ=AB?OC+PQ?OF+PQ?FB=×4×3+（﹣m2+3m）×3=﹣（m﹣）2+，當(dāng)m=時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．當(dāng)m=時(shí)，﹣m2+2m+3=，即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）時(shí)，四邊形ACPB的最大面積值為．15．（1）；（2）；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為綜上所述：，、、、，．16.解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（